2022年数学教学中要善于挖掘逆向思维训练素材.docx

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1、2022年数学教学中要善于挖掘逆向思维训练素材数学教学中要擅长挖掘逆向思维训练素材会宁县郭城农业中学 周旭东逆向思维，是与人们长期形成的思维习惯相悖的思维方式，具有很强的创建性。数学史上，正是由于探求尺规三等分随意角的失败，才使人们从反面论证了其作法的不行能性；非欧几何的诞生，更是逆向思维的宏大杰作。实践证明，逆向思维可使人的大脑产生剧烈的兴奋感。因此，在数学教学中，注意对学生的逆向思维训练，对激发学生的学习爱好，培育学生良好的思维品质是非常必要的，也是特别重要的。教学中要擅长挖掘逆向思维训练素材，不失时机的对学生进行训练。笔者在长期教学活动中特殊注意从以下几方面挖掘逆向思维素材。一 、 概念

2、教学中“定义法”是常见的一种解题方法，定义的逆用，往往更能有效的解决问题，更能使学生深刻理解概念的本质。例1 已知函数f（x）单调递减的奇函数，x 且f（a）+f（a ）0，求a的范围。解: f（a）+ f（a ）0 可变为f（a）-f（a ）。 f（x）是奇函数，有 f（-x）=-f（x）。 f（a）-f（a ）= f（-a ） （逆用奇函数定义） 又 f（x）为减函数，a a （逆用减函数定义）从而解得 -1a0 。逆用定义，不仅“汲取”了-f（a ）前的“-”号,“剥去”了f(a)> f（a ）的”壳”,而且更能使学深刻理解奇函数,减函数概念的意义.二 、 公式 法则教学中对于公式

3、法则既要驾驭其正用，又要敏捷驾驭其逆用变用。逆用和变用就是逆向思维。例2 化简 2lg -lg7+2lg3+ lg .解: 逆用对数运算法则：原式=lg =lg100=2.例3 化简 sin(36 +2x)cos(54 -2x)+cos(36 +2x)sin(54 -2x).解： 逆用和角正弦公式：原式= sin(36 +2x)+(54 -x)=sin90 =1.三 数学方法教学中1反证法 被誉为数学家最精良的武器之一，是从假设结论的反面动身，推出冲突，从而推翻假设，确定原结论的一种证明方法。这种应用逆向思维的证明方法，可使很多问题的解决相当简捷且更具劝服力。2分析法 分析法的实质是“执果索因

4、”。即从结论动身，探求使其成立的充分条件，判定条件具备，从而确定结论成立。这也是逆向思维的详细运用。3待定系数法例4 已知f（x）= 8x +12x -6x -11 x +3x +3x-1，且f（x）是另一个整系数多项式g(x) 的立方，求g(x).分析 由多项式理论可知，g(x) 必为二次多项式，且二次项系数为2，常数项为-1，现只需求一次项系数。为此，将g(x)据其特征先设为g(x)=2x +bx-1,然后将其代入题设条件，使其“活化”，从而解出b.解： 设g(x)= 2x +bx-1则8x +12x -6x -11 x +3x +3x-1=(2x +bx-1)令x=1,得8=(b+1)

5、,b=1g(x)= 2x +x-1.4. 换元法（代换法） 这也是常见的一种解题方法。有些问题往往需依据其结构特征，逆向寻求代换，将问题转化，有“柳暗花明”之效。例5 证明：任给七个实数中，必存在两个实数a和b,满意0 （a-b）1+ab.分析 此题为存在性问题，本难解决。但若将结论变形为0 时，对 寻求与其结构相像的式子，有 =tan( )，因而考虑三角代换。证明： 设 x =tan , (- , ), k=1,2, ,7。为随意七个实数. 将(- , )分成六个长度相等的小区间： （- ，- 、（- ，- 、（- ，0、（0， 、（ ， 、（ , ）.这时，七个 中至少有两个落入同一个小区

6、间内设其中的 和 落在同一个小区间内，不妨设 则有0tan( - )tan即0 令a=tan ,b=tan ,有0 由ab知1+ab0,存在a、b满意0 (a-b）1+ab.5间接法（解除法）有些问题其正面状况比较困难，较难入手，但若逆向考虑其反面，便能很快得解。这种方法通常被人们习惯的称为间接法或解除法.例6 有关于x的三个方程x +4mx+3=0; x +(m-1)x+m =0; x +2mx-2m=0.它们中至少一个有实根，求实数m的范围。分析 “至少一个有实根”包括只有一个有实根；其中两个方程有实根；三个方程都有实根三种状况。但我们考虑问题的反面：m为何实数时，三个方程均无实根。问题变

7、得简洁易解。解： 若三个方程均无实根，则有 - m-1 其补集m- 或 m -1 为所求m的取值范围。6运算技巧教学中例7 化简解； 原式=cos10 -sin10式子的化简或证明，一般遵循“由繁到简”的原则。但为达整体化简的目的，有时需做“有简到繁”的工作。如本例中的“1”。例8 求和 1 +2 +3 +n . 解：（k+1） -k =3k +3k+1，将k=1,2,3,n分别代入后迭加得到 （n+1） -1=3(1 +2 +3 +n )+3(1+2+3+n)+n=3(1 +2 +3 +n )+ +n1 +2 +3 +n =(n+1) - 1- - n= n(n+1)(2n+1).习惯上，总

8、是试图“降次”、“降维”，但有些状况却恰恰须要去考察问题的更高级。再如几何中的“等积分”等。例9 有甲乙丙三堆火柴，首先从甲堆中拿出等于乙丙两堆之和的火柴，并按乙丙两堆火柴数分别放入乙丙两堆中，乙堆中取处等于甲丙两堆火柴之和的火柴，并按甲丙两堆的火柴数分别放入甲丙两堆中，最终从丙堆中取出等于甲乙两堆之和的火柴，并按甲乙两堆火柴数分别放入甲乙两堆中.这时三堆火柴均为8根，问各堆原有几根火柴？分析 此问题中，由最终各堆均有8根火柴知道，共有24根火柴，前后3次调整，我们根据与活动依次相反的方向去考虑。 甲 乙 丙 第三次调整后火柴堆放状况888第三次调整前火柴堆放状况（从甲，乙中各取一半还入丙中）

9、4416其次次调整前火柴堆放状况（从甲，丙中各取一半还入乙中）2148第一次调整前火柴堆放状况（从乙，丙中各取一半还入甲中）1374火柴原来各堆分别是甲13根，乙7根，丙4根。可见，有些问题按其发生依次去解，令人茫然，若从结果逆推，极易得解。四、反例数学离不开猜想 假设，但有些猜想往往是错误的。若从正面证明其错误性，又相当困难。但假如能找出反例，便可轻而易举的将其推翻。如费尔马对F =2 +1算出当n=1,2,3时，F 、F 、F 是质数，就猜想当n为随意数时，F =2 +1都是质数。欧拉对其感到怀疑，1732年他举出当n=5时，2 +1=6416700417不是质数，否定了费尔马的猜想。反例，在解诸如填空 推断 选择题时，更是一种简洁易行的方法；在解题后，对解题过程和结果的检验，也是一种行之有效的方法；在审题时，可帮助我们找出由于种种缘由而出现的错题，以避开奢侈精力和时间。如此等等，不能低估了反例的作用。数学被誉为“思维体操”，思维的多样性 敏捷性更是其显著特点。以上所谈逆向思维训练素材，仅是“管中窥豹”。我们在教学中应深化广泛地挖掘思维素材，对学生进行有效的训练，从而培育学生良好的思维品质，提高学生的数学素养。