八年级数学重要知识点整理：公因式.docx

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1、八年级数学重要知识点整理：公因式八年级数学重要学问点整理：全等图形 八年级数学重要学问点整理：全等图形 一，全等三角形教学目标：1.理解全等三角形及相关概念，能够从图形中找寻全等三角形，探究并驾驭全等三角形的性质。2.在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培育学生的几何直觉。3.使学生在视察、发觉生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体念数学的乐趣，并能够利用性质解决简洁的问题。4三角形全等的“边边边”的条件5三角形全等的“边角边”的条件6三角形全等的条件：角边角、角角边重点难点：1.探究全等三角形的性质2.三角形全等的表示方法与精确找出全等三角形中的对应元素。3.寻求三角形全

2、等的条件4.敏捷运用三角形全等条件证明全等三角形的概念：在同一平面内能够完全重合（大小，形态都相等的三角形）的两个三角形称为全等三角形。对应顶点:当两个三角形完全重合时，相互重合的顶点叫做对应顶点。对应边：相互重合的边叫做对应边，对应角：相互重合的角叫做对应角。1.全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。2.全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。3.有公共边的，公共边肯定是对应边。4.有公共角的，角肯定是对应角。5.有对顶角的，对顶角肯定是对应角。全等三角形的性质：1全等三角形的对应角相等。2全等三角形的对应边相等。3全等三角形的对应边上的高对应相

3、等。4全等三角形的对应角的角平分线相等。5全等三角形的对应边上的中线相等。6全等三角形面积相等。7全等三角形周长相等。判定公理:1三边对应相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条是三角形具有稳定性的缘由。2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称SAS或“边角边”)。3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称ASA或“角边角”)。4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简称AAS或“角角边”)。5直角三角形全等条件有：斜边及始终角边对应相等的两个直角三角形全等(简称HL或“斜边，直角边”)。SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角形全等的定理。

4、留意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另始终角边也确定，属于SSS)，因为这两种状况都不能唯一确定三角形的形态。另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等。找对应元素的常用方法有三种：（一）从运动角度看1平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素2翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发觉对应元素3旋转法：三角形绕某一点旋转肯定角度能与另一三角形重合，从而发觉对应元素（二）依据位置元素来推理1全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边2全等三角形对应边

5、所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角（三）依据阅历来推断1.大边对应大边，大角对应大角2.公共边是对应边，公共角是对应角做题技巧:一般来说考试中线段和角相等须要证明全等。因此我们可以来实行逆思维的方式。1.想要证全等，则须要什么条件2.要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。3.然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。4.有时还须要画协助线帮助解题。常用的协助线有：倍长中线，截长补短等。 一、三角形全等的条件首先我们看只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形肯定全等吗？只给定一条边时(如图中的实线)由图可知：这三个

6、三角形不全等只给定一个角时夹角(如图中的实线)由画图可知：这三个三角形也不全等因此，只给出一个条件时，不能保证所画出的三角形肯定全等接下来我们探究：给出两个条件时，所画的三角形肯定全等吗？（1）三角形的一个内角为30，一条边为3厘米（如图）这三个三角形不全等（2）三角形的两个内角分别为30和50（如图）它们看起来的形态一样，但大小不一样这两个三角形不能重合，所以也不全等（3）三角形的两条边分别为4cm、6cm（如图）它们也不全等我们通过画图、视察、比较知道，只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形肯定全等那么给出三个条件时，又怎样呢？假如给出三个条件画三角形，有四种可能即：三条边，

7、三个角，两边一角和两角一边下面我们来逐一探究1已知三角形的三个内角假如已知一个三角形的三个内角分别为40、60、80能画出这个三角形，但有的能完全重合，有的不重合，所以它们不肯定重合（如图）通过比较得知：给出三角形的三个内角，得到的三角形不肯定全等2已知三角形的三条边假如已知一个三角形的三条边分别是4cm，5cm和7cm画出这个三角形如图比较可知：这样的全部三角形都是全等的由此可知：已知三角形的三边，则画出的全部三角形都全等这样就得到了三角形全等的条件：三边对应相等的两个三角形全等简写为：“边边边”或“SSS”如下图这是用符号语言来表示该三角形全等的条件留意：三边对应相等是前提条件，三角形全等

8、是结论3已知三角形的“两角一边”假如“两角一边”条件中的边是两角所夹的边如：三角形的两个内角分别是60和80，它们所夹的边为2cm，我们来画出这个三角形（如图）经过比较，它们全等也就是说已知一个三角形的两个内角及其夹边，那么由此得到的三角形都是全等的由此我们得到了判定三角形全等的另一条件：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写为：“角边角”或“ASA”如图，在ABC和DEF中在“两角一边”中，除“两角及其夹边”外，还有两角及一角的对边假如“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，如：三角形的两个角分别为60和45，一边长为3cm（如图）已知两角及一角的对边画三角形时，不简单画，但假如把“

9、两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”时，就可以了因为三角形的内角和为180，已知两个内角，那么第三个内角就可求出，这样就把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”（1）假如60角所对的边为3cm时，画出的图形如下：经比较：这样得到的三角形都全等（2）假如45角所对的边为3cm时，画出的图形如下经比较：这样条件的全部三角形都全等由此我们又得到了判定三角形全等的另一条件：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等简称“角角边”或“AAS”如图在ABC和DEF中4已知三角形的两边及一角假如已知一个三角形的两边及一角，有两种状况：两边及这两边的夹角，两边及一边的对角先看第一种状况下，两个三角形

10、是否全等假如“两边及一角”条件中的角是两边的夹角如：三角形的两条边分别为2.5cm、3.5cm它们的夹角为40（如图）经过比较，假如已知三角形的两边及其夹角，那么所得的三角形都全等由此我们得到了三角形全等的条件：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等简称“边角边”或“SAS”如图，在ABC和DEF中接下来我们探讨其次种状况假如“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角如：两条边分别为2.5cm、3.5cm长度为2.5cm的边所对的角为40（如图）按上述条件画的三角形不唯一，存在不同的三角形满意上述条件，如图由图可知：这两个三角形不全等所以，两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不肯定全等因此

11、可知：“两边及一角”中的两种状况中只有一种能判定三角形全等即：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等二、三角形的稳定性假如我们取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，所得到的框架的形态固定吗？用四根木条钉成的框架的形态固定吗？图(1)是用三根木条钉成的三角形框架，它的大小和形态是固定不变的，三角形的这特性质叫做三角形的稳定性三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的如：房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚实和稳定图(2)的形态是可以变更的，它不具有稳定性那么要使图(2)的框架不能活动，在相对的顶点上钉一根木条，使它变为两个三角形框架即可在生活中常常会看到采纳三角形的结构去建筑就是用到了它的

12、稳定性小结：通过上表可以看出，两个三角形全等至少要有三个条件对应相等；我们常用主要是“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS” 八年级数学重要学问点整理：相交线 八年级数学重要学问点整理：相交线 学问点总结一、相交线：性质：两条直线相交，有且只有一个交点。二、对顶角、邻补角：1.对顶角：如图，直线AB和CD相交于点O，1与2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。说明：两个角是对顶角必需满意两个条件：（1）有公共顶点；（2）两边互为反向延长线。2.邻补角：如图，1和2有一条公共边OC，它们的另一条边OA、OB互为反向延长线，明显它们互补。具有这种关系的两个角叫做互为

13、邻补角。 3.性质：（1）对顶角相等；（2）互为邻补角的两个角的和等于。三、有关垂线的概念和性质：1.概念：假如两条直线相交所成的四个角中，有一角是直角，就说这两条直线相互垂直，其中的一条叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。说明：垂直是相交的一种特别状况。2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。说明：垂线是直线，而垂线段是一条线段，点到直线的距离不是指垂线段，而是指垂线段的长度。3.平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。平行线间的距离到处相等。4.性质：（1）相互垂直的两条直线相交所成的四个

14、角都是直角；（2）过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线，并且只能画出一条垂线；（3）连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短。简洁地说：垂线段最短；（4）平行线间的距离到处相等。四、同位角、内错角、同旁内角：如图，直线AB、CD被第三条直线EF所截，构成八个角，简称“三线八角”。 1.同位角：1与5，2与6,3与7，4与8，它们分别在AB、CD同侧，且在EF同侧。同位角呈“F”形；2.内错角：3与5，4与6，它们分夹在AB、CD之间，同时又各在EF两侧。内错角呈“Z”形；3.同旁内角：4与5，3与6，它们分别夹在AB、CD之间，同时又在EF同侧。同旁内角呈“U”形。说明：（1）同

15、位角、内错角、同旁内角是指具有特别位置关系的两个角；（2）这三类角都是由两条直线被第三条直线所截形成的；（3）同位角特征：截线同旁，被截两线的同方向；内错角特征：截线两旁，被截两线段之间；同旁内角特征：截线同旁，被截两线段之间；（4）两条直线被第三条直线所截成的八个角中，同位角4对，内错角2对，同旁内角2对。常见考法（1）对顶角、邻补角、同位角、内错角和同旁内角，在中考中必有所涉及，一般是综合其它学问一起考查；（2）垂线段最短的性质在生活中有广泛应用，在中考中一般以填空、作图出现，主是依据要求作出垂线段或用性质说明理由。误区提示（1）对顶角、邻补角以及垂线的概念理解有误；（2）在困难图形中分辨

16、同位角、内错角、同旁内角时产生遗漏或错认。【典型例题】如图，BAC=90，ADBC，则下面的结论中，正确的个数是（）个。点B到AC的垂线段是线段AB；线段AC是点C到AB的垂线段；线段AD是点D到BC的垂线段；线段BD是点B到AD的垂线段.A1B2C3D4 【解析】是错误的，其余的均是正确的，故本题选C 一、目标与要求1.理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中分辨;2.驾驭对顶角相等的性质和它的推证过程;3.通过在图形中分辨对顶角和邻补角，培育学生的识图实力。二、重点在较困难的图形中精确分辨对顶角和邻补角;两条直线相互垂直的概念、性质和画法;同位角、内错角、同旁内角的概念与识别。三、难点在较困难

17、的图形中精确分辨对顶角和邻补角;对点到直线的距离的概念的理解;对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质;能区分平行线的性质和判定，平行线的性质与判定的混合应用。四、学问框架五、学问点、概念总结1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。3.对顶角和邻补角的关系4.垂直：两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，假如交角成直角，叫做相互垂直。5.垂线：两条直线相交成直角时，叫做相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线。6.垂足：假如两直线的夹角为直角，那么就说这两

18、条直线相互垂直，它们的交点叫做垂足。7.垂线性质(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(2)连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短。简洁说成：垂线段最短。(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。8.同位角、内错角、同旁内角：同位角：1与5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。内错角：2与6像这样的一对角叫做内错角。同旁内角：2与5像这样的一对角叫做同旁内角。9.平行：在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。10.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。11.命题

19、：推断一件事情的语句叫命题。12.真命题：正确的命题，即假如命题的题设成立，那么结论肯定成立。13.假命题：条件和结果相冲突的命题是假命题。14.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动肯定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。15.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。16.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。17.垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短。18.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：假如两条直线都

20、与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。19.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。性质2：两直线平行，内错角相等。性质3：两直线平行，同旁内角互补。20.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。判定2：内错角相等，两直线平行。判定3：同旁内角相等，两直线平行。充要条件。 八年级数学重要学问点整理：探究规律 八年级数学重要学问点整理：探究规律 探究规律探究规律的题目，通常根据肯定的依次给出一系列量，要求我们依据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，经常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较简单发觉其中的奇妙。驾驭探究的一般方法是解决此类问题的关键。（

21、1）驾驭探究规律的方法，可以通过详细到抽象、特别到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；（2）恰当合理的联想、猜想，从简洁的、局部的特别状况到一般状况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，找寻出一般性规律，从而求解问题。探究规律题题型和解题思路:1.探究条件型:结论明确,须要探究发觉使结论成立的条件的题目;探究条件型往往是针对条件不充分、有改变或条件的发散性等状况，解答时要留意全面性，类似于探讨；解题应从结论着手，逆推其条件，或从反面论证，解题过程类似于分析法。2.探究结论型:给定条件,但无明确的结论或结论不唯一,而要探究发觉与之相应的结论

22、的题目;探究结论型题的特点是结论有多种可能，即它的结论是发散的、稳定的、隐藏的和存在的；探究结论型题的一般解题思路是：（1）从特别情形入手，发觉一般性的结论；（2）在一般的状况下，证明猜想的正确性；（3）也可以通过图形操作验证结论的正确性或转化为几个熟识的简单解决的问题逐个解决。3.探究规律型:在肯定的条件状态下,需探究发觉有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；图形运动题的关键是抓住图形的本质特征，并仿照原题进行证明。在探究递推时，往往从少到多，从简洁到困难，要通过比较和分析，找出每次改变过程中都具有规律性的东西和不易看清的图形改变部分。4.探究存在型:在肯定的条件下,需探究发觉某种数学关

23、系是否存在的题目.而且探究题往往也是分类探讨型的习题,无论从解题的思路还是书写的格式都应当让学生明白基本的规范,这也是数学学习实力要求。探究存在型题的结论只有两种可能：存在或不存在；存在型问题的解题步骤是：假设存在；推理得出结论（若得出冲突，则结论不存在；若不得出冲突，则结论存在）。解答探究题型，必需在缜密审题的基础上，利用学具，根据要求在动态的过程中，通过归纳、想象、猜想，进行规律的探究，提出观点与看法，利用旧学问的迁移类比发觉接替方法，或从特别、简洁的状况入手，找寻规律，找到接替方法；解答时要留意方程思想、函数思想、转化思想、分类探讨思想、数形结合思想在解题中的应用；因此其成果具有独创性、

24、新奇性，其思维必需严格结合给定条件结论，培育了学生的发散思维，这也是数学综合应用的实力要求。 典型例题现有一根长为1的铁丝：若把它围成图1所示的矩形框，当矩形框的长a与矩形框的宽b满意a=_b时所围成的矩形框面积最大；若把它围成图2所示的矩形框，当矩形框的长a与矩形框的宽b满意a=_b时所围成的矩形框面积最大；若把它围成图n所示的矩形框(图中共有n+1条宽)，当矩形框的长a与矩形框的宽b满意a=_b时所围成的矩形框面积最大 答案：1解析:通过视察图形，分析、归纳并发觉其中的规律解：依据题意：中有2（a+b）=1，且s=ab的最大值当且仅当矩形为正方形时，即a=b时取到；中，有2个a，有3个b，

25、当且仅当矩形为正方形时，即2b=3a时，s=ab取得最大值；故中，按此规律，有2个a，有（n+1）个b，故当且仅当矩形为正方形时，即（n+1）b=2a时，s=ab取得最大值最新试题1.探究规律：依据图中箭头指向的规律，从2022到2022再到2022，箭头的方向是()A. B. C. D. 2.视察下列各题：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52依据上面各式的规律，请干脆写出1+3+5+7+9+99=_3.如图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子视察图形的改变规律，写出第9个小房子用了_块石子第n个小房子用了_块石子 4.一张长方形桌子需配6

26、把椅子，按如图方式将桌子拼在一起，那么8张桌子需配椅子_把 5.如图所示，由一些圆组成形如正方形，每条“边”(包括两个顶点)有n(n1)个圆：(1)请干脆写出，当n=5时，这个图形总的圆数是_(2)当n=6时，这个图形总的圆数是_(3)当每边有n个圆时，则总圆数s是多少？ 6.视察表格，当输入8时，输出_输入123456输出3456787.如图是用棋子成的“T”字图案从图案中可以出，第一个“T”字图案须要5枚棋子，其次个“T”字图案须要8枚棋子，第三个“T”图案须要11枚棋子 (1)照此规律，摆成第八个图案须要几枚棋子？(2)摆成第n个图案须要几枚棋子？(3)摆成第2022个图案须要几枚棋子？

27、8.视察下面一列有规律的数：，由规律可知，第n个数为_9.一串好玩的图案按肯定的规律排列(如图)： 按此规律在右边的圆中画出的第2022个图案： (把详细图形补充到圈里面)10.如图，下列图案是相同的小正方形按肯定的规律拼搭而成：第一个图案有2个小正方形，第2个图案有4个小正方形，依次规律，第10个图案有小正方形的个数是() A.54个B.55个C.56个D.57个 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页