正余弦函数的图象.docx

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1、正余弦函数的图象余弦函数图象与性质 余弦函数图象与性质年级高一学科数学课题余弦函数图象与性质授课时间撰写人刘报时间2022-10-24学习重点正弦函数y=cosx的图象性质求周期及对称学习难点正弦函数y=cosx的图像性质的应用。学习目标驾驭余弦函数图象的性质，并能结合图像加以理解；会求余弦函数定义域、值域、最值、单调区间、周期，会推断一些函数的奇偶性。教学过程一自主学习1.函数叫余弦函数，从图像上看正弦函数的定义域是值域是2余弦函数的性质函数 定义域值域奇偶性周期性单调性增减最值对称性 二师生互动例1五点作图法画下列函数在图像 12。 例2求下列函数的定义域与值域 1.2。 例3.求下列函数

2、的单调区间并推断其奇偶性 （1）（2） 例4.比较下列各组数的大小(1)(2)(3) 三巩固练习1求下列函数的最值（1）y=9cosx+1；（2）2、推断下列函数的奇偶性（1）y=cosx+2；（2）y=cosxsinx. 3、求函数的最小正周期 4、求函数的单调区间5、求函数的单调区间 四课后反思 五课后巩固练习 1.求下列函数的最大值及取得最大值时自变量的集合(1)(2)2.求下列函数的值域(1)(2) 正弦函数、余弦函数的图象教学案例正弦函数、余弦函数的图象教学案例【案例背景】在接到青年老师教学优质课竞赛的任务没多久，我又被级组给予另一项艰难而宏大的使命优质班会课评比。当两个优质课碰撞时

3、，或许就只能成全一个优质了！刚从班会优质课的赛场退下来，还没来得及喘口气，便又匆忙的投入几天后即将实行的教学优质课。虽然我早已不是一位新手，我的年龄也正在踩线，青年老师的青春头衔将不再属于我，可是，面对教研处浓重组织的这场教学竞赛，我还是心惊胆战！一是对手实在太强大；二是已有好几年没有教高一；三是三角函数是个公认不好讲、不易出彩的内容；四是我的打算不足够，留给我的时间太少了。面对这么多的不利因素，我只能勇往直前，不怕失败！首先，确定主题。怎样跳出三角函数那些枯燥的公式，平淡的性质，以学生为主体，新授课上出探究味呢？经过思索、对比，唯有图象，能当此重任。它有形的直观，有多媒体的动态，更有学生参加

4、画图的空间。于是，我将主题定为正弦函数、余弦函数的图象。这是一个承前启后的章节，它的推导要利用前面讲过的三角函数线，它的出现又将为后面探讨性质铺路。这也是一个学问联系丰富的内容，从正弦到余弦，只需用诱导公式和图象变换可以实现；从三角函数线几何法作图，到简化的五点法作图，再到敏捷的图象变换，方法多样，内涵丰富。另外，这节课的画图，须要强大的信息技术支持，课件的动画效果和设计，干脆影响到本课的难点突破。在这方面，我也花了大量心血，最终的课件效果令人满足，被其他老师借用。共享是一种欢乐和美德！【案例描述】本节课须要用到许多以前的学问，比如，一起先给出正弦函数的定义，这须要以函数的定义为基础。而函数概

5、念放了很久，学生普遍会遗忘。再如，由正弦曲线图象得出余弦曲线的图象，要借助诱导公式五、六。画正弦曲线的几何方法，要利用正弦线。所以，在课前的学案中，我设计了【温故知新】环节，帮助学生回顾。本课还有一个难点，画正弦曲线时怎样引导学生联想到三角函数线中的正弦线？从而用几何法精确作图。为此，我又设计了一个铺垫。用问题串来引导，启发学生如何精确的画出纵坐标，从一个详细的点入手，从而有效突破难点。部分课堂实录：一课题导入师:同学们，通过前面的学习，我们知道，当角的概念推广之后，在弧度制下，实数集与角的集合之间就形成了一一对应的关系，而当角确定之后，正弦值随之确定，余弦值也随之确定，这样，随意给定的一个实

6、数x,有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应。由这个法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数).师:正弦函数和余弦函数的定义域是多少？生：定义域为R.师:在遇到一类新的函数时，我们通常会先作出它的图象，然后通过图像来探讨它的性质.通过图象可以探讨函数的哪些性质？生：值域、单调性、奇偶性、最大值、最小值等.师:这节课我们首先来探讨正弦函数和余弦函数的图象.（老师板书，引出课题：正弦函数、余弦函数的图象）师:在探讨正弦函数和余弦函数图象之前,请同学们观看一个物理试验.（多媒体展示简谐运动的位移和时间关系图象，让学生经验从生活世界到科学世界，感受三角函数改变的特定

7、规律，并从直观上相识正弦函数和余弦函数图象.）二讲授新课1利用单位圆中的正弦线作函数y=sinx，x0，2的图象师:以前我们用描点法作函数图象的时候，一般分哪几个步骤？生：列表、描点、连线师:在0,2p范围内取哪些点？生：取特别角：等。师：那么的值是精确值还是近似值？师生共同探讨总结描点法的弊端,当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，不易描出对应点的精确位置.师:（进一步提出问题）为了得到比较精确的正弦函数的图象，如何从几何的角度用图形表示纵坐标？比如，怎样用几何法描出点？（老师引导学生进行分析：要作出比较精确的正弦函数的图象，关键是要把列表中的点的纵坐标精确的标出来，留意到点的纵

8、坐标其实都是正弦值，因此，问题转化成如何在坐标系中表示正弦值。结合在前面已经学过的三角函数线三角函数线从形的角度刻画了三角函数值的大小，这样学生很自然的想到利用单位圆中的正弦线来表示点的的纵坐标正弦值）生：学生先探究，然后上黑板展示她的成果。（这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律）师:既然我们能够利用正弦线精确描点，那么请同学们再多找一些点，画出正弦函数y=sinx，x?0,2p的图象。（留时间给学生作图，老师巡察，学生画好后投影展示，并请学生讲解作图步骤。）师:在学生讲解完后，老师再利用多媒体的动画效果演示一下作图过程，加深印象。（对作图过程进行小结，让学生进一步体会用正弦线描点的

9、精确性）师:我们知道正弦函数的定义域是R，但是刚才得到的仅仅是0,2上的图象提出问题：如何由y=sinx，x?0,2p的图象得到y=sinx，x?R的图象2由函数y=sinx，x0，2的图象得到函数y=sinx，xR的图象老师结合图形，引导学生接着探讨2,4上的图象，让学生视察，发觉：2,4上的图象和0,2上的图象都是由相同的正弦线通过平移过去得到的，因此，2,4上的图象和0,2上的图象在形态上是完全一样的，只是位置不同，即要得到2,4上的图象只需把0,2上的图象像右平移2个单位，其他区间上的图象也可以用类似的方法得到师生形成共识:把函数y=sinx,x0,2的图象沿x轴左右平移，每次平移2个

10、单位，就可以得到y=sinx,xR的图象.师：多媒体演示由y=sinx,x0,2的图象得到y=sinx,xR的图象的过程师:（小结）由y=sinx,x0,2的图象得到y=sinx,xR的图象的过程中，我们事实上依据的是诱导公式一：sin(x+2kp)=sinx,k?Z（先让学生从直观上感受2,4上的图象，再用诱导公式一从理论的高度上说明、相识，学生较简单接受，假如一下就利用诱导公式一来说明由y=sinx,x0,2的图象得到y=sinx,xR的图象的过程，比较抽象，学生不易理解）由正弦函数的图象得到余弦函数的图象师:（过渡）到这里，我们这节课的第一个问题正弦函数的图象就解决了，对于余弦函数的图象

11、，我们是否可以用类似的方法来探讨？生:可以，但比较麻烦师:想走捷径，就得利用前人的成果！能否以正弦函数的图象为基础，结合诱导公式快速作出余弦函数的图象？探究：你能依据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图象变换得到余弦函数的图象吗？（老师组织学生探讨、沟通引导学生利用诱导公式由正弦函数的图象得出余弦函数的图象，并动态演示过程）师：我们学过的哪个诱导公式能够实现正弦和余弦的互化？是须要把正弦化余弦，还是余弦化正弦？生1：把余弦化正弦，；师：（接着引导）还有没有其它的诱导公式能够实现余弦化正弦？生2：；师：（对学生的回答表示确定与赞许）特别好！要作的图象，只要作或的图象。从函数图象变换的角

12、度考虑，如何由ysinx的图象得到或的图象，哪一个更简洁？生：由ysinx的图象得到的图象，须要经过两次图象变换，而由ysinx的图象得到的图象只要经过一次变换即向左平移个单位，所以后者更简洁.师：这样，我们通过平移，就得到了余弦函数的图象（通过探究，使学生从函数解析式之间的关系思索函数图象之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，向学生渗透化归转化的数学思想）4用五点法作正弦函数的简图师:我们在作正弦函数y=sinx,x0,2的图象时，描出了12个点，但其中起关键作用的点是哪些？分别说出它们的坐标。(学生回答，老师动画演示)师:在精确度要求不高的状况下，我们常用五点画图法作出正弦

13、函数的简图。师：你们能类比说出余弦函数的五个关键点吗？（师生一起总结：五点作图法是我们画三角函数简图的基本方法。师：（小结）到这里，我们这节课的两个问题就都解决了.我们主要是学习了作三角函数图象的两种方法：利用三角函数线作正弦函数的图象和利用五点法作正弦函数、余弦函数的简图.用三角函数线作函数的图象虽然精确但比较麻烦，在今后的学习中，我们更多的是用五点法，它更好用.下面我们就一起用五点法来作与正弦函数和余弦函数有关的简洁函数的图象.三典例讲解示例1:（1）用五点法作函数y=1+sinx,x0,2上的简图；（2）用五点法作函数y=-cosx,x0,2上的简图.（对于（1），老师重点、具体讲解，并

14、多媒体演示过程,对于（2），则由学生练习，独立完成.）师：（进一步提出思索，引导学生从图象变换的角度了解图象间的关系）你能否从函数图象变换的角度动身，利用y=sinx，x?0,2p的图象，得到y1sinx,x?0,2p的图象？同样的，如何利用y=cosx，x?0,2p的图象，得到y=-cosx，x?0,2p的图象？2、巩固练习四、课堂小结师:这节课的探讨学习就到这里了,请大家回顾一下这节课的探究和收获.生1:我们学习了用三角函数线作图,五点法作图；生2:复习了诱导公式，并利用诱导公式从正弦函数图象变换得到余弦函数的图象。师:（在学生自行总结的基础上补充总结）说的好！这些正是这节课的重点所在.正

15、余弦函数的性质 1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)教学目的：学问目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；实力目标：驾驭正、余弦函数的奇、偶性的推断，并能求出正、余弦函数的单调区间。德育目标：激发学生学习数学的爱好和主动性，陶冶学生的情操，培育学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习看法和勇于创新的精神。教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用教学过程：一、复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？二、讲解新课：1.奇偶性请同学们视察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？

16、(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-)=,f()=,即f(-)=f()；由于cos(x)=cosxf(-x)=f(x).以上状况反映在图象上就是：假如点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。 (2)正弦函数的图形视察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。也就是说，假如点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称

17、的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。 2.单调性从ysinx，x的图象上可看出：当x，时，曲线渐渐上升，sinx的值由1增大到1.当x，时，曲线渐渐下降，sinx的值由1减小到1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.3.有关对称轴视察正、余弦函数的图形，可知y=sinx的对称轴为x

18、=kZy=cosx的对称轴为x=kZ练习1。（1）写出函数的对称轴；（2）的一条对称轴是（C）(A)x轴，(B)y轴，(C)直线，(D)直线思索：P46面11题。 4.例题讲解例1推断下列函数的奇偶性(1)(2) 例2函数f(x)sinx图象的对称轴是；对称中心是. 例3P38面例3 例4不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；例5求函数的单调递增区间；思索：你能求的单调递增区间吗？ 练习2：P40面的练习 三、小结：本节课学习了以下内容：正弦、余弦函数的性质1单调性2奇偶性3周期性五、课后作业：习案作业十。 随意角的正余弦函数 随意角的正弦、余弦函数 年级高一 学科数学 课题 随意角的正弦

19、、余弦函数 授课时间 撰写人 时间 学习重点 随意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 学习难点 随意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 学习目标 1.驾驭随意角的正弦、余弦、正切的定义；2.理解随意角的三角函数不同的定义方法；3.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值. 教学过程 一自主学习 y P（a，b）rOM 问题1：将点取在使线段的长的特别位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：； 如图，设是一个随意角，

20、它的终边与单位圆交于点，那么：（1）叫做的正弦(sine)，记做；（2）叫做的余弦(cossine)，记做；（3）叫做的正切(tangent)，记做. 即：， 试试：角与单位圆的交点坐标为，则， 反思：当时，的终边在轴上，终边上随意一点的横坐标都等于， 所以无意义.假如知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?在直角坐标系中，设是一个随意角，终边上随意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，则： ；=； 二师生互动 例1求的正弦、余弦和正切值. 变式：求的正弦、余弦和正切值. 小结：作角终边求角终边与单位圆的交点利用三角函数定义来求. 例2已知角的终边经过

21、点P(2，3)(如图)，的正弦、余弦和正切值. 变式：已知角a的终边经过P(4,-3)，求2sina+cosa的值. 三巩固练习 1.（）.A.1B.C.D.2.（）.A.B.C.D.3.假如角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴重合，终边在函数的图象上，那么的值为（）.A.5B.5C.D.4.5.已知点在角的终边上，则=.6.已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值. 7.求下列各角的正弦、余弦和? （1）0；（2）；（3）；（4）. 四课后反思 五课后巩固练习 1.已知角的终边经过（），求的值2.已知角的终边在直线y2x上，求的正弦、余弦 3.已知是第三象限角，试推断的符号。第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页