八年级上册《三角形的高、中线与角平分线》学案.docx

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1、八年级上册三角形的高、中线与角平分线学案八年级数学上11.1.2三角形的高、中线与角平分线（人教版） 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 【教学目标】1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.2.精确区分三角形的高、中线与角平分线.3.能够独立完成与三角形的高、中线和角平分线有关的计算.【重点难点】重点：1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.2.能利用三角形的高、中线和角平分线的性质进行简洁计算.难点：1.能用自己的语言说出三角形的高、中线与角平分线的概念.2.娴熟运用三角形的高、中线和角平分线的性质进行有关计算. 教学过程设计教学过程设计意图一、创设情境，导入新课问题1：数一数，图中

2、共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来.学生回答：图中共有5个三角形.它们分别是：ABC，ABD，ACD，ADE，CDE.问题2：利用ABC的一条边长为4cm，面积是24cm2这两个条件，你能得出什么结论？学生回答：能够得出ABC的高是12cm.通过对已学学问的回忆来巩固基础学问，并借此引入新课.二、师生互动，探究新知1.通过作图探究三角形的高学生画出三角形全部的高，并视察这些高的特点.问题1：依据画高的过程说明什么叫三角形的高？学生探讨回答，老师完善并归纳.问题2：在这些三角形中你能画出几条高？它们有什么相同点和不同点？学生回答：每个三角形都能画出三条高.相同点：三角形的三条高交于同一

3、点.不同点：锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点.问题3：如图所示，假如AD是ABC的高，你能得到哪些结论？学生回答，老师引导总结.2.类比探究三角形的高的过程探究三角形的中线问题1：如图，假如点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？学生回答：ACBC12AB.问题2：如图，假如点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为ABC的中线.类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？由三角形的中线能得到什么结论？学生回答，老师总结.问题3：画出下列三角形的全部的中线，并探讨说明三角形的中线有什么特点？学生回答，老师引导指引.问题4：如图所示，

4、在ABC中，AD是ABC的中线，AE是ABC的高.试推断ABD和ACD的面积有什么关系？为什么？学生回答.问题5：通过问题4你能发觉什么规律？学生回答：三角形的中线将三角形的面积平均分成两份.3.通过类比的方法探究三角形的角平分线问题1：如图，若OC是AOB的平分线，你能得到什么结论？学生回答：AOCBOC12AOB.问题2：如图，在ABC中，假如BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称AD是ABC的角平分线.类比探究三角形的高和中线的过程，你能得到哪些结论？三角形的角平分线与角的角平分线相同吗？为什么？学生回答，老师归纳并总结.通过经验画三角形的高的过程，使学生在头脑中留下清楚形象，并能结

5、合这些详细形象叙述高的定义.三角形的高的概念在书中并没有详细给出，所以在授课时要留给学生足够的时间进行思索和探讨，老师须要强调：三角形的高是一条线段.问题3是要将三角形的高用符号语言表示出来，这也是为以后学习证明打基础. 利用类比的方法进行探究，可以留给学生更多思索与探究的空间，有利于拓展学生的思维，培育学生自主探究的学习习惯.问题4和问题5的设立是对三角形中线的学问进行扩展，并不是教科书中的内容，但能够使学生更深刻地体会三角形中线的特点，同时，依据课堂时间，对于这两个问题的讲授，老师可以自行调整.对于三角形的角平分线的探究，老师要给学生足够的空间和时间，假如漏下了哪一点没有探究到，老师可以赐

6、予提示.三、运用新知，解决问题1.如图，在ABC中画出这个三角形的高BD，中线CE和角平分线BF.第1题图第2题图2.如图，已知AD，BE，CF都是ABC的角平分线，则112_，2_12_，ABC2_.通过比较练习，帮助学生驾驭三角形的高、中线和角平分线的基本性质，娴熟基本技能.四、课堂小结，提炼观点1.本节主要学习三角形的高、中线和角平分线的概念与性质.2.本节涉及的数学思想方法是类比思想.3.师生共同总结本节课需留意的问题.五、布置作业，巩固提升1.必做题：教材第8页第3、4题.2.选做题：教材第9页第8题. 【板书设计】三角形的高、中线与角平分线作图练习三角形的高、中线、角平分线【教学反

7、思】本节内容主要介绍三角形的高、中线和角平分线的概念及基本性质，重点是性质的应用.老师要引导学生从熟识的学问入手，并利用类比的方法自主探究新的学问.在教学过程中，让学生以独立思索为主，并在必要时进行互助沟通，让学生经验得出结论的过程，培育学生解决问题的实力. 三角形的角平分线 三角形的角平分线定理 李逵 教学目标：1、理解三角形的内外角平分线定理； 2、会证明三角形的内外角平分线定理； 3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作协助线的方法； 4、培育逻辑思维实力。 教学重点：1、几何证明中的证法分析； 2、添加协助线的方法。 教学难点：如何添加有用的协助线。 教学关键：抓住相像三角形的判定和

8、性质进行教学。 教学方法：“四段式”教学法，即读、议、讲、练。 一、阅读课本，留意问题 1、复习旧学问，回答下列问题 在等腰三角形中，怎样从等边得出等角？又怎样从等角得出等边？请画图说明。 协助线的作法中，除了过两个点连接一条线段外，最常见的就是过某个已知点作某条已知直线的平行线。平行线有哪些性质？ 怎样推断两个三角形是相像的？相像三角形最基本的性质是什么？ 几何证明中怎样构造有用的相像三角形？ 2、阅读课本，弄清晰教材的内容，并留意教材上是怎样讲的。 提示：课本上在这一节讲了三角形的内外角平分线定理，每个定理各讲了一种证明方法。为了叙述定理的须要，课本上还讲了线段的内分点和外分点两个概念。最

9、终用一个例题来说明怎样运用三角形的内外角平分线定理。阅读时要留意课本上有关问题的叙述、分析以及作协助线的方法。通过适当的联想和揣测，找出一些课本上尚未出现的新的证明方法。 A B C D 3、留意下列问题： 如图，等腰中，顶角的平分线交底边于，那么，图中出现的相等线段是，即，。通过比较得到。 A B C D 假如上面问题中的换成随意三角形，即右图的，平分，交于，那么，是不是还成立？请同学们用刻度尺量一量线段、的长度，计算？，？，然后再比较（小的误差忽视不计）。 三角形的内角平分线定理说的是什么意思？课本上是怎样写已知、求证的？ 课本上是怎样进行分析、证明的？都用了哪些学过的学问？证明的依据是什

10、么？ 课本上证明的过程中是怎样作协助线的？这样作协助线的目的是什么？ 过、三点能不能作出有用的协助线？假如能，协助线应当怎样作？各能作出几条？ 就作出的协助线，怎样找寻证明的思路和方法？分析的过程中用到了哪些学问？ 你能不能类似地叙述三角形的外角平分线定理？ 回答练习中的第一题。 总结证明方法和作协助线的方法。 留意内分点和外分点两个概念及其应用。 4、阅读指导丛书平面几何其次册。 留意协助线中平行线的作法，通过对图、的视察分析，找出解决问题的证明方法。 丛书利用正弦定理中的面积公式来证明三角形的内角平分线定理，既把有关的学问联系起来、拓展了解题思路，又为我们供应了一种比较简洁的解决问题的方法

11、，值得我们借鉴。要留意三角形面积的几种不同的计算方法。 二、相互探讨，解答疑点 1、上面提出的问题，希望大家独立思索、独立完成。依据已有的思路和线索，参照课本上的方法进行分析。 2、思索中实在是有困难的同学，可以和四周的同学相互探讨，发表看法；也可以请老师帮助、提示或指引。 3、把同学之间探讨的结果，整理成一个完整的证明过程，写出每一步证明的依据。最终，适当地总结一些解题的阅历和方法。 三、讲评订正，整理内容 1、把学生探讨的结果归纳出来，加以补充说明，订正错误后进行适当的分类总结，点明证题法中的要点。 证明比例式的依据是平行截割定理的推论，因此，我们作的协助线都是平行线。 A B C D 从

12、上述几种证明方法可以看出，证明的关键在于通过作协助线把某些线段“移动”到适当的位置，以便依据平行截割定理的推论得出所要的结论。 协助平行线的作法，只能是过、三点分别作不过、三点的边（线段）的平行线，和另一条边（线段）的延长线相交，构成一个等腰三角形，达到“移动”的目的。 2、整理教学内容 线段的内分点和外分点 （）定义： 在线段上，把线段分成两条线段的点叫做这条线段的内分点。 在线段的延长线上的点叫做这条线段的外分点。 （）举例 点在线段上，把线段分成了和两条线段，所以，点是线段的内分点，线段和叫 A B C D 做点内分线段所得的两条线段。 点在线段的延长线上，和、两个端点构成了、两条线段，

13、所以，点是线段的外分点，线段和叫做点外分线段所得的两条线段。 （）条件 内分点的条件：a）在已知线段上； b）把已知线段分成另外两条线段。 外分点a）在已知线段的延长线上； b）和已知线段的两端点构成另外的两条线段。 （）特别状况 a）线段的中点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的中点？ b）线段的黄金分割点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的黄金分割点？ c）一条已知线段有几个中点？有几个黄金分割点？有几个内分点？几个外分点？ 三角形的内角平分线定理 （）定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。 （）已知：中，平分，交于。 求证：。 （）简洁分析 A B

14、C D 从结论来考虑，横着看，两个比的前项、在中，两个比的后项、在中。根据相像三角形的性质，只要，那么，结论就是成立的。但是，与不是一对相像三角形，所以，不行能用相像三角形来证明。竖着看，有和，事实上，不成一个三角形。若是从“平行线分两条线段所得的线段对应成比例”（平行截割定理的推论）来考虑，明显，图中也没有平行线。因此，要想得到结论，只有把其中的某条线段进行适当的移动，使其构成相像三角形的对应边，或者成为两条直线上被平行线截得的对应线段。这样，我们就确定了协助线的作法以平行线为主。 A B C D E 例如，把线段围着它的端点旋转适当的角度到图中的位置（即的延长线）。由于旋转不变更线段的长度

15、，所以，从旋转状况可得。由于平分，所以，连接后可以证明。因此，实际证明时，一般都叙述为“过点作交的延长线于”。不管是哪种说法，其结果都是一样的。类似地，我们还可以把线段围着它的端点旋转适当的角度到端点落在线段的延长线上，同样也可以证明。 （）证法提要 A B C D E 证法一：如上图，过点作交的延长线于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到结论。同样，过点作的平行线和边的延长线相交，也可以证得结论，证明的方法是完全一样的。 证法二：如右图，过点作交的延长线于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和

16、的延长线相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。 A B C D E 证法三：如右图，过点作交于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）；c)。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。 证法四：如下页图，过点作交于，依据三角形的面积公式可得：； 又依据正弦定理的面积公式有： A B C D E ； 通过比较就可以得到：所要的结论。 三角形的外角平分线定理 （）定理：三角形的外角平分线外分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。 A B C D E （）已知：中，是的一个外角，平分，交的延长线于。 求证：。 （）简洁

17、分析：（类同内角平分线定理的分析方法） （）证法提要；（类同内角平分线定理的分析方法） 四、小结全节，练习巩固 1、小结 两个定理 （）三角形的内角平分线定理 （）三角形的外角平分线定理 证明方法 分为四大类共七种方法。 2、练习 教材，2、3两题。 补充题： 画随意一个三角形的某个角的内外角平分线，说明内外角平分线之间的关系，证明你的结论。 画等腰三角形的外角平分线，说明外角平分线和底边之间的关系，证明你的结论。 3、作业 教材，17、18两题。 八年级数学上11.1.2三角形的中学线与角平分线学案新版新人教版 课题：11.1.2三角形的高、中线与角平分线【学习目标】1、了解三角形的高、中线

18、与角平分线的概念；2、精确区分三角形的高、中线与角平分线；3、能够独立完成与三角形的高、中线与角平分线有关的计算。【学习重点】1、了解三角形的高、中线与角平分线的概念；2、能利用三角形的高、中线与角平分线的性质进行简洁的计算。【学习难点】1、能用自己的语言说出三角形的高、中线和角平分的概念；2、娴熟运用三角形的高、中线与角平分线的性质进行有关计算。【学习过程】学问链接1、利用长为3，5，6，9的四条线段可以组成几个三角形？为什么？ 2、利用ABC的一条边长为4cm，面积是24cm2这两个条件，你能求出这条边上的高吗？ 3、阅读教材第4至第5页，用红笔对有关概念进行勾画并找出自己的怀疑和要探讨的

19、问题，打算在课堂上探讨质疑合作与探究：探究1：三角形的高1、请你画出下列三角形的全部的高。 依据所做，得出以下结论：1、从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作_，连接_和_之间的_，称为三角形的高。2、依据上面的操作，可以发觉每个三角形都能画出_条高；锐角三角形的三条高交于三角形_一点，直角三角形的三条高交于_的顶点，钝角三角形的三条高_交于一点，钝角三角形的三条高所在的直线交于_；全部三角形三条高所在的直线_一点。三角形高线的交点叫做三角形的_心。探究1的应用：如右图所示，假如AD是ABC边BC上的高，则有：_BC于点D，ADB=ADC=_探究2：三角形的中线1、中线的定义:连接顶点和它对

20、边中点的线段，称为三角形的中线如图，假如D是线段BC的中点，则线段AD是ABC的线2、请你画出下列三角形的全部的中线。依据所做，得出以下结论：1、在三角形中，连接一个顶点和它对边_的线段，称为三角形这边上的中线。2、依据上面的操作，可以发觉每个三角形都有_条中线；并且三角形的中线都会交于_点；三角形中线的交点都在三角形的_部，三角形中线的交点叫做三角形的_心。探究2的应用1：如右图所示，假如D是线段BC的中点，则有：AD是ABC边BC上的_，BD=CD=_BC探究2的应用2：如图所示，在ABC中，AD是ABC的中线，AE是ABC的高，试推断ABD和ACD的面积有什么关系？并说明理由。依据探究2

21、的应用2，得出以下结论：三角形的_将三角形的面积平均分成两份。探究3：三角形的角平分线1、如右图，若OC是AOB的平分线，则有：AOC=BOC=_AOB3、请你画出下列三角形的全部的角平分线。 3、依据所做，得出以下结论：1、三角形一个内角的平分线与它的_相交，这个角的顶点与交点之间的线段，称为三角形的角平分线。2、可以发觉每个三角形都有_条角平分线；并且三角形的角平分线在三角形内部交于_点，三角形角平分线的交点叫做三角形的_心。3、三角形的角平分线与角的平分线不一样，三角形的角平分线是一条_，有长度，角的平分线是一条_，没有长度。随堂检测1、如图1，在ABC中画出这个三角形的高BD，中线CE

22、和角平分线BF。2、如图2，已知AD、BE、CF都是ABC的三条中线，则有：AE=_=_AC；BC=2_=2_；AF=_。3、如图3，已知AD、BE、CF都是ABC的三条角平分线，则有：1=_BAC；2=_ACB；ABC=2_。拓展提高1、如图，在直角三角形中，ACBC，AC=8，BC=6，AB=10，求顶点C到AB边的高。 2、如图，ABC中，AC=12cm，BC=18cm，ABC的高AD与BE的比是多少？ 3、如图，在ABC中，AD是角平分线，DE/AC,DF/AB，试推断3与4的关系。 教（学）后反思：_（实际运用课时_节） 第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页