生活中的优化问题举例导学案及练习题.docx

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1、生活中的优化问题举例导学案及练习题生活中的优化问题举例3.4生活中的优化问题举例教学目标：1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式，依据实际问题确定函数的定义域；2.要娴熟驾驭应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.重点：求实际问题的最值时，肯定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。难点：在实际问题中，有经常仅解到一个根，若能推断函数的最大（小）值在的改变区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。教学方法：尝试性教学教学过程：前置测评：（1）求曲线y=x2+2在

2、点P(1,3)处的切线方程.（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。【情景引入】生活中常常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题例1.汽油的运用效率何时最高材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的冲突突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活亲密相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有肯定的关系。如何使汽车的汽油运用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？通过大量统计分析，得到汽油每小时

3、的消耗量g(L/h)与汽车行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系g=f(v)如图3.4-1，依据图象中的信息，试说出汽车的速度v为多少时，汽油的运用效率最高？解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v这样，问题就转化为求g/v的最小值，从图象上看，g/v表示经过原点与曲线上点（v,g）的直线的斜率。接着视察图像，我们发觉，当直线与曲线相切时，其斜率最小，在此点处速度约为90km/h，从树枝上看，每千米的耗油量就是途中切线的斜率，即f(90),约为0.67L.例2.磁盘的最大存储量问题【背景学问】计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。

4、磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，依据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的辨别率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求全部磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域是不是越小，磁盘的存储量越大？为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数每磁道的比特数。设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信

5、息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必需装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以推断，不是越小，磁盘的存储量越大（2）为求的最大值，计算令，解得当时，；当时，因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为例3.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否留意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景学问】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造

6、商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【引导】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.（1）半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值（2）半径为cm时，利润最大【思索】依据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤.【总结】（1）仔细分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；（2）求，解方程，得出全部实数根；（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，依据问题的

7、实际意义确定函数的最大值或最小值。作业：P114习题3.4第2、4题142生活中的优化问题举例（2） 142生活中的优化问题举例（2）【学情分析】：在基本方法已经驾驭的基础上，本节课重点放在提高学生的应用实力上。【教学目标】：1驾驭利用导数求函数最值的基本方法。2.提高将实际问题转化为数学问题的实力.提高学生综合、敏捷运用导数的学问解决生活中问题的实力3体会导数在解决实际问题中的作用.【教学重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题【教学难点】：将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。【教法、学法设计】：练-讲-练.【教学过程设计】：教学环节教学

8、活动设计意图(1)复习引入：1、建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键2、要留意不能漏掉函数的定义域为课题作铺垫.(2)典型例题讲解例1、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，假如所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5)/4=(3.2-2x)m则3.22x0,x0,得0x1.6.设容器体积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.22x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0x1.6)y=-6x2+4.4x+1.6,令y=0得

9、x=1或x=-4/15(舍去），当0x1时，y0,当1x1.6时，y0,在x=1处，y有最大值，此时高为1.2m,最大容积为1.8m3。选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解。(4)加强巩固1例2、有甲、乙两个工厂，甲厂位于始终线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？（注：不计河宽）解：设，（0）,.设总的水管费用为().依题意,有()=）+.()=.令(

10、)=0,得.依据问题的实际意义,当时,函数取得最小值,此时,即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省。使学生能娴熟步骤.(5)加强巩固2例3、已知某厂生产件产品的成本为C=（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为y元，则.令,得,当在旁边左侧时,0;在=1000旁边右侧时,0,故当=1000时,y取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产1000件产品.(2)利润函数为,.令,解得.当在旁边左侧时,0;在旁边右侧时,0.故当时,L取得极大值.由于函数只有一个使的点,且函数在该点有

11、极大值,那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产6000件产品.提高提高问题的综合性，熬炼学生实力。(6)课堂小结1、让学生自己总结生活中的最优化问题的设计背景主要有：立体几何、解析几何、三角函数等。2、自变量的引入不是固定的，要留意引入自变量的技巧。(7)作业布置:教科书P104A组4,5,6。(8备用题目：1、用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各剪去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角剪去的正方形的边长为（B）ABCD 3、做一个容积为底面为正方形的无盖长方体水箱，它的高为4时，最省料。4、某公司规定：对于小于或等

12、于150件的订购合同，每件售价为280元，对于多于150的订购合同，每超过一件，则每件售价比原来削减1元，当公司的收益最大时订购件数为215。5、某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；房间的单价每增加元，就会有一个房间空闲假如游客居住房间，宾馆每天每间需花费元的各种修理费房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(18010x)元时，宾馆的利润最大其中6、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10km,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使航行1km的费用总和最小?解:设船速为

13、(0),航行1km的费用总和为,设每小时燃料费为则.（其中）；.令,解得.当，即以每小时20公里的速度航行时，航行1km的费用总和最小。 141生活中的优化问题举例(1) 141生活中的优化问题举例(1)【学情分析】：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。【教学目标】：1.驾驭利用导数求函数最值的基本方法。2.提高将实际问题转化为数学问题的实力.提高学生综合、敏捷运用导数的学问解决生活中问题的实力3体会导数在解决实际问题中的作用.【教学重点】

14、：利用导数解决生活中的一些优化问题【教学难点】：将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。【教学突破点】：利用导数解决优化问题的基本思路：【教法、学法设计】：【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)复习引入：提问用导数法求函数最值的基本步骤学生回答：导数法求函数最值的基本步骤为课题作铺垫.(2)典型例题讲解例1、把边长为cm的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正方形(如图示)，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积最大？ 解设剪去的小方形的边长为，则盒子的为，求导数，得，选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，令得或，其中不合题意，

15、故在区间内只有一个根：，明显，因此，当四角剪去边长为cm的小正方形时，做成的纸盒的容积最大让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。(3)利用导数解决优化问题的基本思路：1、生活中的优化问题转化为数学问题2、立数学模型（勿忘确定函数定义域）3、利用导数法探讨函数最值问题使学生对该问题的解题思路清析化。(4)加强巩固1例2、铁路AB段长100千米，工厂C到铁路的距离AC为20千米，现要在AB上找一点D修一条马路CD，已知铁路与马路每吨千米的运费之比为3:5，问D选在何处原料从B运到C的运费最省?解：设AD的长度为x千米，建立运费y与AD的长度x之间的函数关系式，则CD，BD100-x，马路运

16、费5k元Tkm，铁路运费3k元Tkmy，求出f(x)，令f(x)0，得36009x225x2解得x115，x2-15(舍去)，y(15)330ky(0)400k，y(100)510k原料中转站D距A点15千米时总运费最省。使学生能娴熟步骤.(5)加强巩固2例3、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是令解得（舍去）当时，；当时，当半径时

17、，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，它表示单调递减，即半径越大，利润越低（1）半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值（2）半径为cm时，利润最大换一个角度：假如我们不用导数工具，干脆从函数的图像上视察，会有什么发觉？有图像知：当时，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值当时，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm时，利润最小提高提高问题的综合性，熬炼学生实力。(6)课堂小结1、建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键2、要留意不能漏掉函数的

18、定义域3、留意解题步骤的规范性(7)作业布置:教科书P104A组1,2,3。(8备用题目：1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为（A）ABCD2、设正四棱柱体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（A）ABCD3、设8分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为4。4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是4。5、某厂生产产品固定成本为500元，每生产一单位产品增加成本10元。已知需求函数为：，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：先求出利润函数的表达式：再求导函数：求得极值点：q80。只有一个极值点，就是最值点。故得：q80时，利润最大。最大利润是：留意：还

19、可以计算出此时的价格：p30元。6、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然后把四边翻转90度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为xcm，容器的体积为V(x)，则 正余弦定理应用举例导学案及练习题【学习目标】1复习巩固正弦定理、余弦定理2能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题【学习重难点】能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题【复习巩固】（课前完成）1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA_csinC2R(在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，R是ABC的

20、外接圆半径)2应用：利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：已知两角与一边，解三角形；已知两边与其中一边的对角，解三角形做一做：在ABC中，a4，b3，A30，则sinB等于()A1B.12C.38D.342余弦定理：三角形中任何一边的_等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的_倍即：在ABC中，a2b2c22bccosA，b2_，c2a2b22abcosC.(2)推论：cosAb2c2a22bc，cosB_，cosCa2b2c22ab.应用：利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：已知三边，解三角形；已知两边及其夹角，解三角形做一做：在ABC中，AB3，BC13，AC4

21、，则A_.【典例分析】题型一测量从一个可到达的点到一个不行到达的点之间的距离问题例题1：如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点之间的距离，先在岸边取基线AC，测得AC120m，BAC45，BCA75，求A，B两点间的距离题型二测量两个不行到达的点之间的距离问题例题2：如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距3km的C，D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，求两个目标A，B之间的距离【课堂达标】1已知A，B两地相距10km，B，C两地相距20km，且ABC120，则A，C两地相距()A10kmBCD2设A，B

22、两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出A，C的距离是100m，BAC60，ACB30，则A，B两点的距离为_m.3(2022北京朝阳二模)如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它接着沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距nmile，则此船的航行速度是_nmile/h.第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页