相似三角形的性质(1)教学案.docx

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1、相似三角形的性质(1)教学案相像三角形的性质 其次十一讲相像三角形的性质两个相像三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相像比，可以想到这两个相像三角形中其他一些对应元素也与相像比有肯定的关系1相像三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相像比；2相像三角形周长之比等于相像比；3相像三角形面积之比等于相像比的平方以上诸多相像三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的学问方法，开阔了探讨角、面积等问题的视野 例题求解【例1】如图，梯形ABCD中，ADBC(ADBC)，AC、BD交于点O，若SOAB=S梯形ABCD，则AOD与BOC的周长之比是(浙江省绍兴市中考题)思路点拨

2、只需求的值，而题设条件与面积相关，应求出的值，留意图形中隐含的丰富的面积关系注相像三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用人类第一次运用相像原理进行测量，是2000多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊闻名学者，有“科学之父”的美称他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确性使教学具有不行动摇的说明力【例2】如图，在平行四边形ABCD中E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SDEF：SEBF：SABF=()A4：10：25B4：9：25C2：3：5D2：5：25(黑龙江省中考题) 思路点拨运用与面积相关学问，把面积比转化为线段比

3、【例3】如图，有一批形态大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知C=90，AB=5cm，BC=3，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长 思路点拨要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形全部顶点应落在ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出注本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、推理、构思可能的方案，再通过比较、鉴别、筛选出最佳的设计方案，问题虽简洁，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路【例4】如图在ABC的内部选取一点P，过P点作3条分别与ABC的三边平行的直线，这样所得的3个三角形、的面积分

4、别为4、9和49，求ABC的面积(美国数学邀请赛试题) 思路点拔图中有相像三角形、平行四边形，通过相像三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相像比，留意等线段的代换追求形式上的统一【例5】如图，ABC中D、E分别是边BC、AB上的点，且l2=3，假如ABC、EBD、ADC的周长依次是、m1、m2，证明：(全国初中数学联赛试题) 思路点拨把周长的比用相应线段比表示，力求统一，得到同线段比的代数式，通过代数变形证明注例4还隐舍着下列重要结论：(1)FDPIPEPHGABC；(2)；(3)学力训练1如图，已知DEBC，CD和BE相交于O，若SDOE：SCOB=9：16，则AD：DB=2如图，把正方

5、形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形ABCD的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=，则正方形移动的距离AA是(江西省中考题) 3若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为(武汉市中考题)4阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相像形的概念推广到空间：假如两个几何体大小不肯定相等，但形态完全相同就把它们叫做相像体如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相像体，它们的一切对应线段之比都等于相像比：a：b，设S甲：S乙分别表示这两个正方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个正

6、方体的体积，则(1)下列几何体中，肯定属于相像体的是()A两个球体B两个圆锥体C两个圆柱体D两个长方体(2)请归纳出相像体的3条主要性质：相像体的一切对应线段(或弧)长的比等于；相像体表面积的比等于；相像体体积的比等于(江苏省泰州市中考题)5如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=acm，宽BC=b，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b于()A：1B1：C：1D1：(2022年南京市中考题) 6如图，D为ABC的边AC上的一点，DBC=A，已知BC=，BCD与ABC的面积的比是2：3，则CD的长是()ABCD7如

7、图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有()AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD(2022年杭州市中考题)8如图，已知ABC中，DEFGBC，且AD：FD：FB=1：2：3，则SADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于()A1：9：36Bl：4：9C1：8：27D1：8：369如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ACD=B，求证： 10如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD于E，连结AE，F为AE上一点，且BFE=C(1)求证：ABFEAD；(2)若AB=4，BAE=30，求AE的长；(3)在(1)、(2)的条件下，若AD=3，求

8、BF的长(2022年长沙市中考题)11如图，在ABC中，AB5，BC=3，AC=4，PQAB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上(1)当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；(3)试问：在AB上是否存在点M，使得PQM为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由，若存在，恳求出PQ的长(厦门市中考题)12如图，在ABC中，ABAC，BC=2，在BC上有100个不同的点Pl、P2、P100，过这100个点分别作ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2P100E100F100G100，设每个内接矩形的

9、周长分别为L1、L2，L100，则L1+L2+L100=(安徽省竞赛题)13如图，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则ABC的面积为 14如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是厘米2(“希望杯”邀请赛试题)15如图，正方形ABCD中，AEEF=FB，BG=2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，以下说法中，不正确的是()AAGFDBAQ：QG6，7CEP：PD=2：11DS四边形GCDQ：S四边形BGQF=17：9(2

10、022年重庆市竞赛题)16如图，梯形ABCD中，ABCD，且CD=3AB，EFCD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于()A2BCD 17如图，正方形OPQR内接于ABC，已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是S1=1，S2=3和S3=1，那么正方形OPQR的边长是()ABC2D318在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为a、b、c，且abcd，问正方形的2个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大? 19如图，PQR和PQR，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF，设这个六边形

11、的边长为AB=a1，BC=b1，CD=a2，DE=b2，EF=a3，FA=b3求证：a1+a2+a3=b1+b2+b320如图，在ABC中，AB=4，D在AB边上移动(不与A、B重合)，DEBC交AC于E，连结CD，设SABC=S，SDEC=S1(1)当D为AB中点时，求的值；(2)若AD=x，求与x之间的关系式，并指出x的取值范围；(3)是否存在点D，使得成立?若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由(福州市中考题)21已知AOB=90，OM是AOB的平分线，按以下要求解答问题：(1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D在图甲中，证明：PC=PD；在

12、图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求POD与PDG的面积之比(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，始终角边与边OB交于点D，OD=1，另始终角边与直线OA，直线OB分别交于点C、E，使以P、D、E为顶点的三角形与OCD相像，在图丙中作出图形，试求OP的长(绍兴市中考题) 相像三角形的性质(2)导学案 第十一课时相像三角形的性质（2）教学目标：1、运用类比的思想方法，通过实践探究得出相像三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相像比；2、会运用相像三角形对应高的比与相像比的性质解决有关问题；3、经验“操作视察探究说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达实力。教学重

13、点：探究得出相像三角形，对应线段的比等于相像比教学难点：利用相像三角形对应高的比与相像比的性质解决问题教学设计：一、情境创设全等三角形的对应边上的高相等。相像三角形的对应边上的高又有怎样的关系呢？二、探究活动：1、如图，ABCABC，相比为k，AD与AD分别是ABC和ABC的高，说明：AD/AD=k由此引出：相像三角形对应高的比等于相像比2、全等三角形的对应线段（中线、角平分线）有何关系？那么相像三角形的对应线段（中线、角平分线）又有怎样的关系呢？3、小结相像三角形对应线段的关系。三、例题教学1、见课本P107的例题2练习：见课本P1081、2、 2、如图：已知梯形上下底边的长分别为36和60

14、，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？ 3、ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件EFGH，使正方形的一边HG在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是什么？ 变题1：若四边形EFGH为矩形，且EF：EH=2：1，求矩形EFGH的面积。变题2：已知：直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为3和4，如图所示，分别采纳（1）（2）两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由。4、如图，在ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，PQA

15、B，P点在AC上（与点A、C不重合），点Q在B、C上。（1）当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；（2）当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；（3）在AB上是否存在点M，使得PQM是等腰直角三角形？若存在，求出PQ的长。 相像三角形的判定1 相像三角形的判定（一）教学目标：1使学生在经验探究相像三角形判定方法的过程中，初步驾驭相像三角形的判定定理，理解定理的证明方法，初步会运用定理来解决有关问题.2培育学生运用类比联想，猜想命题，再加以证明的探讨问题的方法以及化归的思想.3通过视察、猜想、归纳、探究等数学活动，给学生创建胜利机会，使他们爱学、乐学、会学，同时

16、培育学生勇于探究、主动合作的精神.教学重点和难点：重点：相像三角形的判定定理的理解和初步应用；难点：相像三角形的判定定理的证明.教学方法：自主探究与小组合作相结合 教学过程设计一、创设情境，提出问题请学生出示课前按要求剪好的三角形，老师利用已知三角形模板验证两个三角形是否全等的同时请学生回答他裁剪方法的理论依据，借此复习全等三角形的判定方法.1SAS；2ASA；3AAS；4SSS。在此基础上老师要求学生动手剪一个三角形与已知三角形相像.学生可能立刻利用平行线截一个三角形，老师要求学生说出这种裁剪方法的依据预备定理.在确定答案的同时提出，那么如何推断三角形相像呢？目前你驾驭的方法有哪些？1相像三

17、角形的预备定理；2定义老师提出：判定两三角形相像时，定义的条件过多，预备定理的运用要求具有局限性，那么是否还有其它的判定方法呢？本节课我们接着探讨：相像三角形的判定（二）.你认为我们可以从哪儿入手探讨呢？引导学生类比全等三角形的判定方法进行猜想.学生类比联想，自主探究猜想相像三角形的判定方法：1利用投影展示一般三角形全等的判定定理（1）ASA：若A=A,B=B,，则有ABCABC（2）AAS：若A=A,B=B,则有ABCABC3）SAS：若,A=A,则有ABCABC4）SSS：若，则有ABCABC2猜想相像三角形的判定方法引导学生利用相像三角形与全等三角形的区分与联系，把上述全等三角形判定定理

18、中比值为1改成比值为正数“k”，就可得到相像三角形的判定方法，得到猜想.猜想一（类比角边角公理和角角边定理）ABC与ABC中，若A=A,B=B，则ABCABC.猜想二（类比边角边公理）ABC与ABC中，若,A=A,则有ABCABC.猜想三（类比边边边公理）换元ABC与ABC中，若，则有ABCABC.二、小组合作，探究新知得到猜想后学生分组动手实践，进一步探究猜想的正确性。合作探究后，以猜想1为例分析证明思路.猜想1两角对应相等，两三角形相像。已知：ABC与ABC中，AA，BB。求证：ABCABC。启发学生结合刚才的动手实践思索，若平移ABC得到ADE，则可转化为预备定理的形式.如何实现平移是关

19、键，在此可让学生集思广益阐述观点.方法之一：由A=A,B=B，能实现上述平移.证明法一：在AB上截取ADAB，且过点D作DEBC交AC于E.ADEB，BBBADE又AA，ADABADEABC（ASA）又DEBCADEABC，ABCABC法二：截取ADAB且作ADEB交AC于E.证法：略师生共同总牢固现上述化归的思路：（1）利用添加协助线的方法将问题化归为相像三角形的预备定理（图中，DEBC则ADEABC）.（2）利用平移变换将证明三角形相像转化为证明三角形全等（图中ADEABC）.利用上述思路，证明猜想，得到判定定理1：假如一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形

20、相像.简记：两角对应相等，两三角形相像.判定定理2，3的证明过程由学生仿照定理1的证明完成.请二人上黑板板演.猜想证明完毕，让学生视察、对比三个定理的证明方法，在证明过程中是否有共性？证法的本质是什么？让学生深化思索，感受三个判定定理的证法本质是一样的，即：将相像三角形的判定利用平移的方法，化归为预备定理的形式，最终转化为推断两个三角形全等，区分就在于全等的证明方法不同.请学生分别说出三个定理的推理形式且提出：假如不是“夹角”，结论是否仍旧成立，请学生分析并举出反例.在ABC与ABC中，已知BB，但ABC不相像于ABC 三、实战演练，巩固新知例在ABC和DEF中，A=40,B=80,E=80,

21、F=60.求证：ABCDEF.思索题：如图，已知，在ADC和ACB中,A=A,请你添加一个条件,使ADCACB。 四、复习小结，归纳新知师生共同回忆并总结：今日你有什么收获？新知的获得采纳了什么方法？类比、转化你还有困难与困惑吗？老师依据学生的回答总结类比学习方法及转化思想的重要意义. 五、作业整理课上定理证明. 六、板书设计： 第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页