《角平分线的性质》导学案.docx

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1、角平分线的性质导学案角的平分线的性质学案 1、通过探究理解角平分线的性质并会运用2、驾驭尺规作图作角平分线1、怎样用尺规作角的平分线？2、角的平分线上的点到角的两边的距离有什么关系？（一）课前巩固1、如图，ABAD，BCDC，求证AC是DAB的平分线（二）自学：教材P19（三）用尺规作一个角的平分线1、已知：AOB，2、练习，画出下列角的平分线求作：AOB的平分线OC 3、练习，教材P19 角平分线的性质1、探究，教材P202、归纳，角平分线的性质是：角平分线上的到角两边的相等。3、用三角形全等证明性质，如图，已知：BAF=CAF,点O在AF上，OEAB,ODAC,垂足分别为E,D.求证：OE

2、=OD证明：F 符号语言：ABC中，AD是它的角平分线，且BDCD，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F,求证EBFC 如图，ABC的B的外角平分线BD与C的外角的平分组CE相交于P,求证点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。 角的平分线的性质 12.3角的平分线的性质 1角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等(2)书写格式如图所示，点P在AOB的角平分线上，PDOA，PEOB，PDPE.谈重点角平分线的性质的理解和应用(1)运用角的平分线的性质有两个条件：点在角的平分线上；过这一点作角的两边的垂线段结论是：这点到角的两边的距离相等，即两条垂线段相等(2)角的平

3、分线的性质是证明两线段相等的方法之一，而且不用再证明两个三角形全等(3)假如已知一个点在角的平分线上，常作出该点到角两边的垂线段，运用性质得到两线段相等【例1】如图，在ABC中，C90，ABC的平分线BD交AC于点D.若CD2cm，则点D到直线AB的距离是_cm.解析：因为点D在ABC的角平分线上，所以点D到直线AB的距离等于点D到直线BC的距离，即点D到直线AB的距离等于CD的长答案：22角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上(2)书写格式如图所示，PDOA，PEOB，PDPE，点P在AOB的角平分线上(3)作用运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条

4、射线是角的平分线警误区角的平分线的性质和判定适用的条件在运用角的平分线的性质和判定时，往往错误地将一线段当作“距离”，主要缘由是不能正确理解角平分线的性质和判定，因此在运用角的平分线的性质和判定时，肯定要留意“距离”必需有垂直的条件【例2】如图所示，BECF，BFAC于点F，CEAB于点E，BF和CE交于点D，求证：AD平分BAC.证明：BFAC，ABCE，DEBDFC90.在BDE和CDF中，DEBDFC，BDECDF，BECF，BDECDF(AAS)DEDF.又BFAC，ABCE，AD平分BAC(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)3运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线

5、的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中经常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可运用角平分线的性质解决实际问题时，肯定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，经常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法4运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，假如出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)然后依据已知某点到角两边的距离相等，则经常联想到用角的平分线的判定得到角

6、的平分线来解决问题解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能依据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点5综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，依据角平分线的性质得线段相等同样，欲证明某射线为角平分

7、线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可【例3】如图，某考古队为进行探讨，找寻一座古城遗址依据资料记载，该城在森林旁边，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m依据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址你能运用学过的学问在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试(比例尺为1100000)解：如图作法：(1)以点C为圆心，以随意长为半径画弧，交两河岸于A，B两点，分别以A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点O，过C，O作射线CO.(2)按比例尺计算得古塔与P的图上距离为3cm，以古塔为圆心，以3cm长为半径画弧交CO于点P，则点P即为所求【例4】如图所示，有

8、一名民警在值班，他位于到平行的大街两侧以及过街天桥AB的距离相等的点P处此时，这位民警发觉有一可疑分子从天桥A处走向B处，请问民警在凝视可疑分子从A处走到B处时，他的视线转过了多大角度？解：连接PA，PB.点P到BE，AF，AB的距离相等，PA，PB分别是FAB，EBA的角平分线，即PBA12EBA，PAB12FAB.BEAF，EBAFAB180.PBAPAB12(EBAFAB)90.APB180(PBAPAB)1809090，即民警的视线转过的角度为90.【例5】如图，AP，CP分别是ABC的外角MAC与NCA的平分线，它们相交于点P，PDBM于点D，PFBN于点F，求证：BP为MBN的平分

9、线分析：要证BP为MBN的平分线，只需证PDPF，而AP，CP为外角平分线，故可过点P作PEAC于点E，依据角平分线的性质有PDPE，PFPE，所以PFPD.因此BP为MBN的平分线证明：过点P作PEAC于点E.AP，CP分别是MAC与NCA的平分线，PDBM于点D，PFBN于点F，PDPE，PFPE(角平分线上的点到角两边的距离相等)PDPF.又PDBM于点D，PFBN于点F，点P在MBN的平分线上(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)BP为MBN的平分线6运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，经常用到角的平

10、分线的性质来解决尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是找寻角的平分线的一种比较简洁的方法三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线肯定过此交点三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个【例6】如下图所示，三条马路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现安排修建一个商品超市，要求这个超市到三条马路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形

11、的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；ACB，ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在CAB的平分线上，且到马路l1，l2，l3的距离相等；同理还有BAC，BCA的外角平分线的交点；BAC，CBA的外角平分线的交点，因此满意条件的点共有4个作法：(1)如右图所示，作出ABC两内角BAC，ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出ACB，ABC的外角平分线的交点O2，BAC，BCA的外角平分线的交点O3，BAC，CBA的外角平分线的交点O4；故满意条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处 角平分线（1）导学案 1.4角平分线（一）一、提出问题：

12、1.角平分线的定义：_2.问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？假如是，你能证明它？定理归纳：二、基础训练：用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明. 三、例题说明：例：如图，已知AD为ABC的角平分线，ABC=90，EFAC，交BC于点D，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF. 四、课堂检测1.OM平分BOA，P是OM上的随意一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（）A：PD=PEB：OD=OEC：DPO=EPOD：PD=OD如图所示，AD平分BAC，DEAB，垂

13、足为E，DFAC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:AEGAFGB:AEDAFDC:DEGDFGD:BDECDF3.ABC中,ABC.ACB的平分线交于点O，连结AO，若OBC=25，OCB=30，则OAC=_4.与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条相互垂直的直线上D：以上都不对5.AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_.6.在RTABC中，C=90，AD是BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是_.7.如图在两条交叉的马路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中转站，使它到两条马路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试. 中考真题：如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，CEAG于E，CFAB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由. 第8页 共8页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页