第一章集合与简易逻辑章末总结.docx

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1、第一章集合与简易逻辑章末总结第一章集合与简易逻辑小结教学目的： 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；驾驭有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简洁的集合；驾驭带肯定值的不等式与一元二次不等式的解法 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简洁的问题；驾驭充要条件的意义 教学重点： 1.有关集合的基本概念; 2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件 【高考评析】 集合学问作为整个数学学问的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的学问来指导我们思维，

2、寻求解决其他问题的方法 【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆 【数学思想】 1、等价转化的数学思想；2、求补集的思想； 3、分类思想；4、数形结合思想 【解题规律】1、如何解决与集合的运算有关的问题: 1)对所给的集合进行尽可能的化简； 2）有意识应用维恩图来找寻各集合之间的关系； 3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素 2如何解决与简易逻辑有关的问题： 1）力求找寻构成此复合命题的简洁命题； 2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题 二、基本学问点： 集合： 1、集合中的元素属性： （1）（2）（3） 2、常用数集符号：NZQR 3、子集：数学表达

3、式 4、补集：数学表达式 5、交集：数学表达式 6、并集：数学表达式 7、空集：它的性质（1）（2） 8、假如一个集合A有n个元素（CradA=n）,那么它有个个子集， 个非空真子集 留意：（1）元素与集合间的关系用符号表示； （2）集合与集合间的关系用符号表示 解不等式： 1、肯定值不等式的解法： （1）公式法：|f(x)|g(x)|f(x)|g(x) (2)几何法 (3)定义法（利用定义打开肯定值） (4)两边平方 2、一元二次不等式或的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集 对应的图形 不等式 0 =0 0 3、分式、高次不等式的解法

4、： 4、一元二次方程实根分布： 简易逻辑： 1、命题的定义：可以推断真假的语句叫做命题 2、逻辑联结词、简洁命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简洁命题；由简洁命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题 构成复合命题的形式：p或q(记作“pq”)；p且q(记作“pq”)；非p(记作“q”) 3、“或”、“且”、“非”的真值推断 （1）“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反； （2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他状况时为假； （3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他状况时为真 4、四种命题的形式：

5、 原命题：若P则q；逆命题：若q则p； 否命题：若P则q；逆否命题：若q则p (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题) 、原命题为真，它的逆命题不肯定为真 、原命题为真，它的否命题不肯定为真 、原命题为真，它的逆否命题肯定为真 6、反证法：从命题结论的反面动身（假设），引出(与已知、公理、定理)冲突，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 7、假如已知

6、pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件 推断两条件间的关系技巧： （1）（2） 留意：（1）复合命题的三种形式与假言命题中的四种命题的区分 （2）复合命题中的“p或q”与假言命题中的“若p则q”它们的“P”的区分 三、巩固训练 （一）、选择题： 1、下列关系式中不正确的是（） A0B0C0D0 2、下列语句为命题是（） A等腰三角形B对顶角相等C0D0是自然数吗？ 3、命题“方程|x|=1的解是x=1”中，运用逻辑联结词的状况是（） A运用了逻辑联结词“或”B运用了逻辑联结词“且” C运用了逻辑联结词“非”D没有运用逻辑联结词 4、不等式的解集为（） ABCD 5、不全为0的充要条

7、件是（） A都不是0B最多有一个是0 C只有一个是0D中至少有一个不是0 6、（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D即不充分也不必要条件 7、假如命题则 A即不充分也不必要条件B必要而不充分条件 C充分而不必要条件D充要条件 8、至少有一个负的实根的充要条件是（） ABCD （二）、填空题： 9、不等式的解集是则 10、分式不等式的解集为：_. 11、命题“”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有_个. 12、设A=，B=，若AB，则的取值范围是_. （三）、解答题： 13、解下列不等式 | () 14、利用反证法证明： 15、已知一元二次不等式对一切实数都成立，求的取值

8、范围 16、已知集合A=，求实数的取值范围（表示正实数集合） 第一章集合与简易逻辑1第一章集合与简易逻辑 第一教时 教材：集合的概念 目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。 过程： 一、引言：（实例）用到过的“正数的集合”、“负数的集合” 如：2x-13x2全部大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。 如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 如：自然数的集合0，1，2，3， 如：高一（5）全体同学组成的集合。 结论：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。 二、集合的

9、表示：如我校的篮球队员，太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员，B=1，2，3，4，5 常用数集及其记法： 1非负整数集（即自然数集）记作：N 2正整数集N*或N+ 3整数集Z 4有理数集Q 5实数集R 集合的三要素：1。元素的确定性；2。元素的互异性；3。元素的无序性 （例子略） 三、关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A记作aA，相反，a不属于集A记作aA（或aA） 例：见P45中例 四、练习P5略 五、集合的表示方法：列举法与描述法 1列举法：把集合中的元素一一列举出来。 例：由方程x2-1=0的全部解

10、组成的集合可表示为-1，1 例；全部大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为1，3，5，7，9 2描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 语言描述法：例不是直角三角形的三角形再见P6例 数学式子描述法：例不等式x-32的解集是xR|x-32或x|x-32或x:x-32再见P6例 六、集合的分类 1有限集含有有限个元素的集合 2无限集含有无限个元素的集合例题略 3空集不含任何元素的集合F 七、用图形表示集合P6略 八、练习P6 小结：概念、符号、分类、表示法 九、作业P7习题1.1 第一章“集合与简易逻辑”教材分析 第一章“集合与简易逻辑”教材分析 本章支配的是“集合与简易逻辑

11、”，这一章主要讲解并描述集合的初步学问与简易逻辑学问两部分内容集合的初步学问是现行中学数学教科书中原来就有的内容，这部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系简易逻辑学问则是新增加的内容，这部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关学问 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础一方面，很多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用 逻辑是探讨思维形式及其规律的一门基础学科学习数学，须要全面地

12、理解概念，正确地进行表述、推理和推断，这就离不开对逻辑学问的驾驭和运用更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑学问也是相识问题、探讨问题不行缺少的工具，是人们文化素养的组成部分 在中学数学中，集合的初步学问与简易逻辑学问，与其他内容有着亲密联系，它是学习、驾驭和运用数学语言的基础，这就是把它们支配在中学数学起始章的动身点 本章共编排了8小节，教学时间约需22课时： 11集合 约2课时 12子集、全集、补集 约2课时 13交集、并集 约2课时 14肯定值不等式的解法 约2课时 15一元二次不等式的解法 约4课时 16逻辑联结词 约2课时 17四种命题 约2课时 18充分条件与必要条件 约

13、2课时 小结与复习 约4课时 说明：本章是中学数学的起始章，课时支配得相对宽松一些，像小结与复习部分支配4课时，其中考虑到了对初中内容进行适当复习、巩固的因素 一内容与要求 大体上根据集合与逻辑这两个基本内容，第一章编排成两大节 第一大节是“集合”学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，都有了肯定的感性相识在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法然后，从探讨集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念接着，又讲解并描述了属于集合运算的交集、并集

14、的初步学问鉴于不等式的内容目前初中数学只讲解并描述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合学问的运用与巩固，又考虑到下一章探讨函数的定义域与值域的须要，第一大节最终支配的是肯定值不等式与一元二次不等式的解法此外，在这一大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料 这一大节的重点是有关集合的基本概念学习集合的初步学问，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地运用集合语言表述数学问题，并且可以使学生运用集合的观点探讨、处理数学问题，这里，起重要作用的就是有关集合的基本概念 这一大节的难点是有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区分与联系学生是从本章才正式起先学习

15、集合学问的，这部分包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还简单混淆，这些因素都可能造成学生学习的障碍 其次大节是“简易逻辑”学生在初中数学中，学习过简洁的命题(包括原命题与逆命题)学问，驾驭了简洁的推理方法(包括对反证法的了解)由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了推断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法接下来，讲解并描述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的学问，进一步讲解反证法然后，通过若干实例，讲解并描述了充分条件、必要条件和充要条件的有关学问 这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件学习简

16、易逻辑学问，主要是为了培育学生进行简洁推理的技能，发展学生的思维实力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是非常必要的 这一大节的难点是对一些代数命题真假的推断初中阶段，学生只是对简洁的推理方法有肯定程度的熟识，并且，相关的技能和实力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和实力，因此，像对代数命题的证明，学生还须要有一个逐步熟识的过程 依据全日制一般高级中学数学教学大纲（试验修订版）的规定，本章的教学要求是： 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；驾驭有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些

17、简洁的集合；驾驭带肯定值的不等式与一元二次不等式的解法 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简洁的问题；驾驭充要条件的意义 二本章的特点 留意初中与中学的连接 近年来，在与本章有关的内容上，根据教学大纲，初中的教学要求有哪些改变呢？ 先看有关集合的部分初中适当渗透一些集合思想，这一点基本没有改变此外，初中去掉了一元二次不等式与肯定值不等式的内容 再看有关逻辑的部分1996年以前的初中毕业生，应当达到以下要求：了解命题的概念；初步驾驭逆命题和逆定理的概念，能正确叙述题设与结论都是简洁命题的命题的逆命题，了解正确命题的逆命题的逆命题

18、不肯定正确；了解四种命题及其相互关系；理解用反证法证明命题的思路，能用反证法证明一些比较简洁的几何题从1996年起，对于高一新生，初中的要求又有进一步调整上述改为：了解逆命题和逆定理的概念，原命题成立它的逆命题不肯定成立，会识别两个互逆命题删去改为：了解反证法 基于以上状况，考虑到学习中学数学的须要，新教材一方面补充了一些必要的学问点，例如关于一元二次不等式与肯定值不等式的解法；另一方面对一些初中相对薄弱的内容，适当予以加强，例如关于反证法等 例如，关于交集、并集的概念，教科书先从图形表示入手，让学生有一个直观的相识，然后给出定义，再用实例加以说明，并且，引出概念的图形也只是采纳了一种简明的形

19、式，而没有画出全部可能出现的状况 又如，本章是对比初中学过的一元一次不等式，并且借助二次函数的图象，讲解并描述一元二次不等式解法的 重视集合与逻辑在中学数学学习中的应用 本章是中学数学的基础，学习本章，主要目的是为了理解后续章节出现的集合与逻辑语言，会用集合与逻辑语言描述学习中遇到的数学问题，进而解决这些问题像对一些性质、定理的理解，对函数的定义域、值域的描述，对推理方法的驾驭，等等 本章在集合与逻辑内容的编排上，既考虑到学问的系统性，又照看到学生的可接受性，并且始终围围着集合与逻辑在中学数学学习中的应用这一基本动身点 在集合这部分，有关集合运算的内容，就留意在解方程和不等式方面的应用，在数学

20、概念的分类方面的应用 在逻辑这部分，有关命题的内容，突出的是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解和对复合命题真值的相识，而不过多地涉及对一个语句是不是命题的推断此外，像关于复合命题的否定，对近期学习影响不大，学生学习又比较困难，本章基本未涉及 为了帮助学生理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”，教科书中介绍了“或门电路”、“与门电路”，这是两个应用的实例事实上，计算机的“智能”装置就是以数学逻辑为基础进行设计的 三教学中应留意的问题 教学要求的把握要适时、适度 本章是中学数学的起始章，适当地把握本章的教学要求是教学中应当重视的问题 集合与逻辑的初步学问是中学数学的基础学问，学习这些内容，主要

21、是为今后进一步学习其他学问作基本语言、基本方法的打算，相应地，对学问系统性、严谨性的要求肯定要适度 学习有关集合的初步学问，其目的主要在于应用详细说，就是在学习其他学问时，能读懂其中的简洁的集合概念和符号；在处理简洁的实际问题时，能依据须要，运用集合语言进行表述在支配训练时，要把握肯定的分寸，不要搞偏题、怪题集合有关性质的证明，一般不要求学生驾驭有些可能混淆但在实际问题中并不多见的关系，就不必有意编排在一起，让学生去一一进行辨析 本章支配的是集合与逻辑的初步学问，这些学问的讲解并描述，是以初中数学的内容为基础的从引出有关学问的实例，到详细应用的问题，基本都属于初中数学的范围，这种局限自然会对有

22、关学问的理解和驾驭造成肯定影响随着后续章节的学习，对集合与逻辑学问的应用将越来越广泛和深化，相应地，对集合与逻辑学问理解和驾驭的水平也就越来越高了因此，本章的教学要求，应当避开一步到位 关于含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真值表，在起先时，教学重点还是借助三个真值表，加深对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的了解，而不必急于让学生驾驭对一般复合命题的真假的推断 关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是限制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜 提高集合与逻辑的教学效益 目前中学数学教学的一个突出问题是教学效益不高详细表现在：一方面，学生用在数学上的时间比较多，像与

23、美国比，是美国学生的好几倍；另一方面，学生在考试中表现良好，但创建性实力和应用实力有肯定欠缺，特性发展也存在着不足之处 为了后续章节的学习，在本章必需给学生打下适当的集合与逻辑基础，限于学生的预备学问与接受实力，在本章又不能过多地追求理论的完整，只有处理好这个关系，才能提高教学效益因此，在实际教学时，肯定要抓住重点怎样把握本章的教学重点呢？一是要有助于对初中数学的理解，二是要能为中学数学的学习扫除障碍换句话说，学习集合与逻辑，要着眼于用集合与逻辑的学问解决数学学习中的问题，而不要在概念的严谨性、学问的系统性上花过多的时间与精力像逻辑中有不少问题，在学术界内部都有争辩，在高一数学课上，就完全没有

24、必要去涉及了 运用数学符号要规范 本章教材有不少集合与逻辑的数学符号，这些符号的采纳，依据的是新的国家标准，其中有些符号与原教科书不同，在教学时应当留意 第一章集合与简易逻辑(中学数学竞赛标准教材) 第一章集合与简易逻辑 一、基础学问定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合

25、中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，分别表示有理数集和正实数集。定义2子集：对于两个集合A与B，假如集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，假如A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。假如A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。定义3交集，定义4并集，定义5补集，若称为A在I中的补集。定义6差集，。定义7集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1集合的性质：对随意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4

26、）【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。（1）若，则，且或，所以或，即；反之，则或，即且或，即且，即（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2加法原理：做一件事有类方法，第一类方法中有种不同的方法，其次类方法中有种不同的方法，第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。定理3乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，其次步有种不同的方法，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。二、方法与例题1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例1设，求证：（1）；（2）；（3）若，则证明（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由

27、于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不行能等于，假设不成立，所以（3）设，则（因为）。2利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。例2设A，B是两个集合，又设集合M满意，求集合M（用A，B表示）。【解】先证，若，因为，所以，所以；再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以综上，3分类探讨思想的应用。例3，若，求【解】依题设，再由解得或，因为，所以，所以，所以或2，所以或3。因为，所以，若，则，即，若，则或，解得综上所述，或；或。4计数原理的应用。例4集合A，B，C是I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数

28、。【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满意条件的集合对，所以集合对有310个。（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；其次步，2也有两种，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个。5配对方法。例5给定集合的个子集：，满意任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；

29、其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知冲突，所以。综上，。6竞赛常用方法与例问题。定理4容斥原理；用表示集合A的元素个数，则，须要xy此结论可以推广到个集合的状况，即定义8集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。定理5最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。定理6抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。例6求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数。【解】记，由容斥原理，所以

30、不能被2，3，5整除的数有个。例7S是集合1，2，2022的子集，S中的随意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？【解】将随意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知冲突，所以S至多含有其中5个数。又因为2022=18211+2，所以S一共至多含有1825+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S满意题目条件，所以最少含有912个元素。例8求全部自然数，使得存在实数满意：【解】当时，；当时，；当时，。下证当时，不存在满意条

31、件。令，则所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。（）若，考虑，有或，即，设，则，导致冲突，故只有考虑，有或，即，设，则，推出冲突，设，则，又推出冲突，所以故当时，不存在满意条件的实数。（）若，考虑，有或，即，这时，推出冲突，故。考虑，有或，即=3，于是，冲突。因此，所以，这又冲突，所以只有，所以。故当时，不存在满意条件的实数。例9设A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。【解】设B中每个数在全部中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的全部中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合1，其

32、中，为满意题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不行能，所以20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满意要求：1，2，3，7，8，1，2，4，12，14，1，2，5，15，16，1，2，6，9，10，1，3，4，10，11，1，3，5，13，14，1，3，6，12，15，1，4，5，7，9，1，4，6，13，16，1，5，6，8，11，2，3，4，13，15，2，3，5，9，11，2，3，6，14，16，2，4，5，8，10，2，4，6，7，11，2，5，6，12，13，3，4，5，12，16，3，4，6，8，9，3，5，6，7，1

33、0，4，5，6，14，15。例10集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满意条件的最小正整数【解】设其中第个三元集为则1+2+所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8满意条件，所以的最小值为5。三、基础训练题1给定三元集合，则实数的取值范围是_。2若集合中只有一个元素，则=_。3集合的非空真子集有_个。4已知集合，若，则由满意条件的实数组成的集合P=_。5已知，且，则常数的取值范围是_。6若非空集合S满意，且若，则，那么符合要求的集合S有_个。7集合之间的关系是_。8若集合，其中，且，若

34、，则A中元素之和是_。9集合，且，则满意条件的值构成的集合为_。10集合，则_。11已知S是由实数构成的集合，且满意1）若，则。假如，S中至少含有多少个元素？说明理由。12已知，又C为单元素集合，求实数的取值范围。四、高考水平训练题1已知集合，且A=B，则_，_。 2，则_。3已知集合，当时，实数的取值范围是_。4若实数为常数，且_。5集合，若，则_。6集合，则中的最小元素是_。7集合，且A=B，则_。8已知集合，且，则的取值范围是_。9设集合，问：是否存在，使得，并证明你的结论。10集合A和B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满意下列条件的集合C的个数：1）且C中含有3个元素；2）。1

35、1推断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，若对任何，都有，则必有，证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1已知集合，则实数的取值范围是_。2集合的子集B满意：对随意的，则集合B中元素个数的最大值是_。3已知集合，其中，且，若P=Q，则实数_。4已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则_。5集合，集合，则集合M与N的关系是_。6设集合，集合A满意：，且当时，则A中元素最多有_个。7非空集合，则使成立的全部的集合是_。8已知集合A，B，aC（不必相异）的并集,则满意条件的有序三元组（A，B，C）个数是_。9已知集合，问：当取何值时，为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合

36、，结论如何？10求集合B和C，使得，并且C的元素乘积等于B的元素和。11S是Q的子集且满意：若，则恰有一个成立，并且若，则，试确定集合S。12集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满意：S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1是三个非空整数集，已知对于1，2，3的随意一个排列，假如，则。求证：中必有两个相等。2求证：集合1，2，1989可以划分为117个互不相交的子集，使得（1）每个恰有17个元素；（2）每个中各元素之和相同。3某人写了封信，同时写了个信封，然后将信随意装入信封，问：每封信都装错的状况有多少种？

37、4设是20个两两不同的整数，且整合中有201个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。5设S是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共挚友的个数为偶数。6对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互质的元素。7设集合S=1，2，50，求最小自然数，使S的随意一个元子集中都存在两个不同的数a和b，满意。8集合，试作出X的三元子集族，满意：（1）X的随意一个二元子集至少被族中的一个三元子集包含；（2）。9设集合，求最小的正整数，使得对A的随意一个14-分划，肯定存在某个集合，在中有两个元素a和b满意。 第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页