北师大版八年级数学下第一章三角形及其性质知识点讲解典型例题辅导.docx

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1、北师大版八年级数学下第一章三角形及其性质知识点讲解典型例题辅导北师大版数学八年级下册学问点总结（第一章 三角形的证明 ） 北师大版数学八年级下册学问点总结（第一章三角形的证明） 第一章三角形的证明 1、等腰三角形 （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（即“三线合一”） （3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角

2、都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满意“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，假如一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）直角三角形两个锐角之间的关系 定理：直角三角形两个锐角互余。 逆定理：有两个锐角互余的三角形

3、是直角三角形。 （3）含30度的直角三角形的边的定理 定理：在直角三角形中，假如一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30度。 （4）命题与逆命题 命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （5）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）

4、三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（该点称为三角形的外心） （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（该点称为三角形的内心） 八年级

5、上册第一章三角形全章教案（新北师大版）八年级上册第一章三角形全章教案（新北师大版）课题1.1、等腰三角形(一)课型新授课教学目标1、了解作为证明基础的几条公理的内容，驾驭证明的基本步骤和书写格式。2、经验“探究发觉猜想证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。教学重点了解作为证明基础的几条公理的内容，驾驭证明的基本步骤和书写格式。教学难点能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。教学方法视察法教学后记教学内容及过程学生活动一、复习：1、什么是等腰三角形？2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。3、试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质？二、新课讲

6、解：在证明（一）一章中，我们已经证明白有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。同学们和我一起来回忆上学期学过的公理w本套教材选用如下命题作为公理:w1.两直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么这两条直线平行;w2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;w3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）w4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）w5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）w6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.由公理5、3、4、6可简单证明下面的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS

7、）证明过程：已知：A=D,B=E,BC=EF求证：ABCDEF证明：A=D,B=E（已知）A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180）C=180-(A+B)F=180-(D+E)C=F（等量代换）BC=EF（已知）ABCDEF（ASA）这个推论虽然简洁，但也应让学生进行证明，以熟识的基本要求和步骤，为下面的推理证明做打算。三、议一议：（1）还记得我们探究过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探究过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够马上证明。定理：等腰三角形的两个底角相等。这肯定理可以简洁

8、叙述为：等边对等角。已知：如图，在ABC中，ABAC。求证：BC证明：取BC的中点D，连接AD。ABAC，BDCD，ADAD，ABCACD(SSS)B=C(全等三角形的对应边角相等)新北师大版八年级上册第一章三角形全章教案四、想一想：新北师大版八年级上册第一章三角形全章教案在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？应让学生回顾前面的证明过程，思索线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。五、随堂练习：做教科书第4页第1，2题。六、课堂小结：通过本课的学习我们了解了作为基础的几条

9、公理的内容，驾驭证明的基本步骤和书写格式。经验“探究发觉猜想证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。七、课外作业：教科书第5页第1，2题。八年级数学竞赛例题三角形的基本学问专题讲解 专题13三角形的基本学问 阅读与思索三角形是最基本的几何图形，是探讨困难几何图形的基础，很多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本学问主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本学问相关的问题时，常用到数形结合及分类探讨法，即用代数方法解几何计算题及简洁的证明题

10、，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟识以下基本图形： 例题与求解【例1】在ABC中，A=50，高BE，CF交于O，则BOC=_.（“东方航空杯”上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不肯定在三角形内部，故应留意符合题设条件的图形多样性. 【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的缘由在于等腰三角形的腰与底的不等，应分状况探讨. 【例3】如图，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，BE与CF交于G，若BDC=140，BGC

11、=110，求A的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.【例4】在ABC中，三个内角的度数均为正数，且ABC，4C7A，求B的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把A，C用B的代数式表示，建立关于B的不等式组，这是解本题的突破口. 【例5】（1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm的铁丝，要截成小段，每段的长不小于1cm的整数，假如其中随意3小段都不能拼成三角形，试求的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满意条件的段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为，且，由条件及三角形三边关系定理可确定的取值范围，从而可

12、以确定整数的值.对于（2），因段之和为定值150cm，故欲使尽可能的大，必需使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】在三角形纸片内有2022个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2022个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2022个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.实力训练A级1.设，是ABC的三边，化简=_.2.三角形的三边分别为3，8，则的取值范围是_.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_（按角分类)三角形.

13、4.如图，A+B+C+D+E的度数为_.（“缙云杯“试题）（第4题）（第5题）（第6题）5.如图，已知ABCD，GM，HM分别是AGH，CHG的角平分线，那么GMH=_.（第7题）（第9题）6.如图，ABC中，两外角平分线交于点E，则BEC等于（）A.B.C.D.7.如图，在ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FHBE交BD于G，交BC于H.下列结论：DBE=F；2BEF=BAF+C；F=（BAC-C）；BGH=ABE+C.其中正确的是（）A.B.C.D.8.已知三角形的每条边长的数值都是2022的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）A.6个B.7个C.8个D.9个

14、9.如图，将纸片ABC沿着DE折叠压平，则（）A.A=1+2B.A=（1+2）C.A=（1+2）D.A=（1+2） （北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则满意上述条件的三角形的个数是（）A.1个B.3个C.5个D.7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知3=1+2，求证：A+B+C+D=180.（河南省竞赛试题）12.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，ABC=24，ADC=42.（1）BAD和BCD的角平分线交于点M（如图1），求AMC的大小.（2）点E在BA的延长线上，DAE的平分线和BCD平分线交于点N（如图2），求ANC.图1图

15、2 13.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上.（1）证明：AB+AEDB+DE；（2）证明：AB+ACDB+DC；（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论；（4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题） B级 1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的个数有_个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成_个没有公共部分的小三角形.3.ABC中，A是最小角

16、，B是最大角，且有2B=5A，若B的最大值是，最小值是，则_.（上海市竞赛试题）4.如图，若CGE=，则A+B+C+D+E+F=_.（山东省竞赛试题）（第4题）（第5题） 5.如图，在ABC中，A=96，延长BC到D，ABC与ACD的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的大小是（）A.3B.5C.8D.19.26.四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，AEB，AFD的平分线交于点P.A=64，BCD=136，则下列结论中正确的是（）EPF=100；ADC+ABC=160；PEB+PFC+EPF=136；PEB+PFC=136.A.B

17、.C.D.7.三角形的三角内角分别为，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（）A.4个B.5个C.6个D.7个（山东省竞赛试题）9.不等边ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题） 10.设，均为自然数，满意且，试问以，为三边长的三角形有多少个？ 11.锐角三角形用度数来表示时，全部角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的，求满意此条件的全部锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题） 12.如图1，A为轴负半轴上一点，B为轴正半轴

18、上一点，C（0，-2），D（-2，-2）.（1）求BCD的面积；（2）如图2，若BCO=BAC，作AQ平分BAC交轴于P，交BC于Q.求证：CPQ=CQP；（3）如图3，若ADC=DAC，点B在轴正半轴上运动，ACB的平分线交直线AD于E，DFAC交轴于F，FM平分DFC交DE于M，的值是否发生改变？证明你的结论.13.如图1，.且，满意.（1）求A，B的坐标；（2）C为轴正半轴上一动点，D为BCO中BCO的外角平分线与COB的平分线的交点，问是否存在点C，使D=COB.若存在，求C点坐标；（3）如图2，C为轴正半轴上A的上方一动点，P为线段AB上一动点，连CP延长交轴于E，CAB和CEB平分线交于F，点C在运动过程中的值是否发生改变？若不变求其值；若改变，求其范围. 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页