专题23 三角形压轴题之猜想证明(原卷版).pdf

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1、专题专题 2323三角形压轴题之猜想证明三角形压轴题之猜想证明知识对接知识对接考点一、中考展望考点一、中考展望所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等考点二、方法点拨考点二、方法点拨由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，

2、再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律2反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致3分类讨论法当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复

3、也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用专项训练专项训练一、单选题一、单选题1（20212021浙江九年级期末）浙江九年级期末）几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理 如图，四边形ABCD，四边形DEFG，四边形CGHI均为正方形，EF交BG于点L，DG交IH于点 K，学科网（北京）股份有限公司1点B,L,C

4、,G在同条直线上，若SADE 9，SGHK 4，记四边形DELC的面积为S1，四边形CGKI的面积为SS12，则S的值为（）2A9174B8C13D3622（20212021山东）山东）如图，在下列条件中，不能证明ABDACD 的条件是（）ABDDC，ABACBADBADC，BDDCCBC，BADCADDBC，BDDC3（20212021广东）广东）如图，用尺规作角平分线，根据作图步骤，在说明射线AN 是BAC 的平分线过程中，以下说法错误的是（）A由作弧可知 AEAFB由作弧可知 FPEPC由 SAS 证明AFPAEPD由 SSS 证明AFPAEP4（20212021山西中考真题）山西中考真

5、题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）学科网（北京）股份有限公司2A统计思想B分类思想C数形结合思想D函数思想5（20212021河北中考真题）河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和已知：如图，ACD是ABC的外角求证：ACDAB下列说法正确的是（）A证法 1 还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B证法 1 用严谨的推理证明了该定理C证法 2 用特殊到一般法证明了该定

6、理D证法 2 只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理6（20202020河北石家庄市河北石家庄市 九年级）九年级）老师在投影屏上展示了如下一道试题：已知：如图，BD平分ABC，AB AD求证：AD/BC学科网（北京）股份有限公司3证明：BD平分ABC，ABD CBD（角平分线定义），AB AD，ABD ADB（等角对等边），ADBDBC，AD/BC（内错角相等，两直线平行）则以上证明过程中，结论或者依据错误的是一项是（）ABCD7（20202020 石家庄市第二十八中学）石家庄市第二十八中学）如图，证明矩形的对角线相等已知：四边形ABCD是矩形求证：AC BD以下是排乱的证明过程：AB

7、CD，ABC DCB，四边形ABCD是矩形，BC CB，AC BD，ABC DCB证明步骤正确的顺序是（）ABCD8下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容已知：如图，BEC BC求证：AB/CD证明：延长 BE 交于点 F，则BEC C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）又BEC BC，得B 故AB/CD（相等，两直线平行）学科网（北京）股份有限公司4则回答正确的是（）A代表FECB代表同位角C代表EFCD代表 AB9（20202020广东阳江广东阳江 九年级）九年级）如图，在ABC 和DEF 中，BDEF，ABDE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明ABCDEF，则这

8、个条件是()AADBBCEFCACBFDACDF10如图，已知ABC=DCB，下列所给条件不能证明ABCDCB 的是（）AA=DBAB=DCCACB=DBCDAC=BD二、填空题二、填空题11（20212021福建九年级）福建九年级）如图，是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的著名的“赵爽弦图”，其中ABH、BCG、CDF和DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理，设AD c，AE a，DE b，取c 10，a b 2则ab2_12（20212021赣州市南康区教学研究室九年级）赣州市南康区教学研究室九年级）勾股定理是一个基本的

9、几何定理，有数百种证明方法“青朱出入图”是我国古代数学家证明勾股定理的几何证明法刘徽描述此图“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也”若图中BF 4，DF 2，则AE _学科网（北京）股份有限公司513（20212021黑龙江大庆黑龙江大庆）已知，如图 1，若AD是ABC中BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是ABC中BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质 请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在ABC中，BD 2,CD 3,AD是ABC的内角平分线，则ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_14（20

10、202020湖南娄底湖南娄底 中考真题）中考真题）由 4 个直角边长分别为 a，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(ab)2与 4 个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2b2 c2，还可以用来证明结论：若a 0、b 0且a2b2为定值，则当a_b时，ab取得最大值学科网（北京）股份有限公司615（20202020厦门市翔安区教师进修学校厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心）（厦门市翔安区教育研究中心）九年级）九年级）将两张长8cm，宽2cm的相同矩形纸片重叠放置（1）请画示意图证明：两矩形重叠部分为菱形；（2）求该菱形面积

11、的最大值和最小值三、解答题三、解答题16（20212021重庆实验外国语学校）重庆实验外国语学校）在ABC 中，CAB90，ACAB若点 D 为 AC 上一点，连接 BD，将 BD 绕点 B 顺时针旋转 90得到 BE，连接 CE，交 AB 于点 F（1）如图 1，若ABE75，BD4，求 AC 的长；（2）如图2，点G 为 BC 的中点，连接FG 交 BD 于点 H若ABD30，猜想线段DC 与线段 HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图 3，若 AB4，D 为 AC 的中点，将ABD 绕点 B 旋转得ABD，连接 AC、AD，当 AD22AC 最小时，求 SABC17（2021202

12、1黑龙江牡丹江市黑龙江牡丹江市 九年级）九年级）已知ABC60，点F 在直线 BC 上，以AF 为边作等边三角形 AFE，过点 E 作 EDAB 于点 D请解答下列问题：（1）如图，求证：ABBF2BD；（2）如图、图，线段 AB，BF，BD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明18（20212021湖北九年级）湖北九年级）如图，ACB和DCE均为等腰三角形，AC BC，DC EC，点A，D，E 在同一直线上，连接BE学科网（北京）股份有限公司7（1）如图 1，若CABCDE 50求证：AD BE；则AEB的度数为_（2）如图 2，若ACBDCE 90，CF为DCE中DE边上的高，试

13、猜想AE，CF，BE之间的数量关系，并简要证明你的结论19（20212021河南）河南）如图 1，在等腰Rt ABC中，AB AC，点 D 为斜边 AB 边上一动点（不含端点）作EDF90，DE，DF 分别交 AB，AC 于点 E 和点 F请根据图形解答下面问题：（问题发现）（1）如图 1，若点 D 为 BC 边中点请直接写出DE，DF 的数量关系_（类比探究）（2）如图2，若点D 为 BC 边上一动点，且DC mBD猜想DF 与 DE 的数量关系并证明你的结论（拓展应用）（3）如图 3，在边长为 4 的等边ABC中，点 D 为 BC 边上一动点，作ADE 60DE交 AC 边于点 E请问在点

14、 D 的运动过程中，CE 是否有最大值如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由20（20212021河南开封市河南开封市）如图，在ABC中，AB AC，BAC90，AB5，D为底边BC上一动点，连接AD，以AD为斜边向左上方作等腰直角ADE，连接BE学科网（北京）股份有限公司8观察猜想：（1）当点E落在线段AB上时，直接写出EB，ED的数量关系：EB_ED类比探究：（2）如图 2，当点D在线段BC上运动时，请问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：（3）在点D运动过程中，当BE 7时，请直接写出线段CD的长21（20212021河南九年级）河南九年级）在AB

15、C和ADE中，BA BC，DA DE，且ABCADE，点 E 在ABC的内部，连接 EC，EB，EA 和 BD，并且ACEABE90（观察猜想）（1）如图，当60时，线段 BD 与 CE 的数量关系为_，线段 EA，EB，EC的数量关系为_（探究证明）（2）如图，当90时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（拓展应用）（3）在（2）的条件下，当点 E 在线段 CD 上时，若BC 2 5，请直接写出BDE的面积22（20212021江苏）江苏）如图，ABC的内切圆O与AB、BC、AC分别相切于点 D、E、F，DO、EO、FO的延长线分别交O于点 G、H、I，过

16、点G、H、I 分别作AB、BC、AC的平行线，从ABC上截得六边形JKMNPQ通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边学科网（北京）股份有限公司9（1）求证：六边形JKMNPQ的对角相等；（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，如图，连接OJ、OM、ON、OQ，他发现DOM GOQ、DON GOJ，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等请你证明他的发现与猜想23（20212021河南商丘河南商丘 九年级）九年级）问题情景：已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形AED，AEDACB90，点M，N分别是DB，EC的中点，连接MN大胆猜想：（1）如图（1），当点E在AB上，且点C和点D恰好重合时，探索MN与EC之间的数量关系，并加以证明尝试类比：（2）如图（2），当点D在AB上，点E在ABC外部时，（1）的结论还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由拓展延伸：（3）如图（3），将图（2）中的等腰直角三角形AED绕点A逆时针旋转n0 n 90，请猜想MN与EC之间的位置关系和数量关系（不必证明）学科网（北京）股份有限公司0 1