湖南省2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题含解析.docx

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1、湖南省2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题含解析试卷主标题 姓名：_ 班级：_考号：_ 一、选择题（共15题） 1、 已知集合 U = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， M = 3 ， 4 ， 5 ，则 （ ） A 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 B 0 ， 1 ， 2 C 3 ， 4 ， 5 D 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 2、 下列函数是奇函数的是（ ） A B C D ， 3、 下列图象中不能作为函数的是（ ） A B C D 4、 函数 在下列区间上是减函数的是 ( ) A ( ， 3) B ( ， 1) C (1 ， ) D (0 ， )

2、 5、 设 a ， ， P =1 ， a ， Q = ， ，若 P = Q ，则 ( ) A B C 0 D 1 6、 函数 的定义域为（ ） A B C D 7、 已知 ( ，且 ) ，且 ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 0< a <1 B a >1 C a <1 D a >0 8、 下列不等式中成立的是（ ） A B C D 9、 若 且 ，则 ， ， ， 中的最大值的是（ ） A B C D 10、 关于 的不等式 在 内有解，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 11、 在下列四组函数中， 与 不表示同一函数 的是（ ） A ， B ， C

3、， D ， 12、 ( 多选 ) 下列函数，值域为 的是（ ） A B C D 13、 且 ，则 的可能取值为（ ） A 8 B 9 C 10 D 11 14、 下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有 ( ) A ， B 有的矩形不是平行四边形 C ， D ， 15、 已知函数 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则（ ） A B C 是增函数 D 二、填空题（共5题） 1、 已知集合 ， ，则 _ 2、 已知函数 ，则 _ 3、 已知幂函数 的图象过点 ，则 _. 4、 已知奇函数 在 a ， b 上单调递减，那么它在 上单调 _( 填 “ 递增 ” 或 “ 递减 ”) 5、 已知函数 ，若

4、存在 ， ，且 ，使得 成立，则实数 a 的取值范围是 _ 三、解答题（共5题） 1、 计算下列各式（式中字母均是正数） （ 1 ） ； （ 2 ） 2、 已知集合 ， （ 1 ）当 时，求 ； （ 2 ） “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 3、 已知 ， . （ 1 ）推断 的奇偶性并说明理由； （ 2 ）求证：函数 是增函数 . 4、 为了让同学们吃上热腾腾的饭菜，重庆鲁能巴蜀中学食堂花费 5 万元购进了一套蒸汽保温设备，该设备每年的管理费是 4500 元，运用 x 年时，总的修理费用为 万元，问： （ 1 ）设平均费用为 y 万元，写出 y 关于 x 的表达式

5、；（平均费用 ） （ 2 ）这套设备最多运用多少年报废合适？（即运用多少年的平均费用最少） 5、 设函数 . （ 1 ）若关于 的不等式 有实数解，求实数 的取值范围； （ 2 ）若不等式 对于实数 时恒成立，求实数 的取值范围； （ 3 ）解关于 的不等式： . =参考答案= 一、选择题 1、 B 利用集合的补集运算求解 . 因为集合 ， ， 所以 ， 故选： B 2、 A 对于 A ：利用函数的奇偶性的定义干脆证明； 对于 B 、 C ： 取特别值 ，即可推断； 对于 D ：有定义域为 ，不关于原点对称，即可推断 . 对于 A ： 的定义域为 . 因为 ，所以 为奇函数 . 故 A 正确；

6、 对于 B ： 定义域为 R ，因为 所以 ，所以 不是奇函数 . 故 B 错误 . 对于 C ： 定义域为 R ，因为 所以 ，所以 不是奇函数 . 故 D 错误 . 对于 D ： 定义域为 ，不关于原点对称，所以 ， 不是奇函数 . 故 D 错误 . 故选： A 3、 B 依据函数的定义可知，对于 x 的任何值 y 都有唯一的值与之相对应，分析图象即可得到结论 由函数的定义可知，对定义域内的随意一个自变量 x 的值，都有唯一的函数值 y 与其对应， 故函数的图象与直线 x a 至多有一个交点，图 B 中，存在 x a 与函数的图象 有两个交点，不满意函数的定义，故 B 不是函数的图象 .

7、故选： B 4、 B 利用一元二次函数的性质即可求解 . 函数 的图象是以对称轴为 ，开口向上的抛物线， 所以 在 上单调递减， 故选： B 5、 C 利用相等集合的概念求出 和 即可求解 . 由于 ，所以 ， ， 从而 ， . 故选 :C 6、 B 依据题意，结合根式与分式有意义的条件，即可求解 . 由题意得， ，解得 且 ，故函数 的定义域为 . 故选： B. 7、 A 利用指数函数的单调性即可求解 . 由 ( ，且 ) 可知， 当 时， 为单调递减函数；当 时， 为单调递增函数， 因为 ，故 为单调递减函数，从而 . 故选： A. 8、 D 取 可推断 A 选项的正误；利用不等式的基本性

8、质可推断 B 、 C 、 D 选项的正误 . 对于 A 选项，当 时，取 ，则 ， A 选项错误； 对于 B 选项，当 时， ，所以， ，即 ， B 选项错误； 对于 C 选项，当 时，由不等式的性质可得 ， ， ， C 选项错误； 对于 D 选项，当 时，由不等式的性质可得 ， ， ， D 选项正确 . 故选： D. 本题考查利用不等式的基本性质推断不等式的正误，属于基础题 . 9、 C 依据基本不等式和作差比较法，精确运算，即可求解 . 由题意，实数 且 ，可得 ， ， 又由 ， 因为 ，可得 ，所以 ， 所以 ，所以最大值为 . 故选： C. 10、 D 不等式 在 内有解等价于在 内，

9、 解：不等式 在 内有解等价于在 内， 当 时， ， 所以 故选： D 11、 ACD 依据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行推断，得到答案 . A 选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数，故 A 符合题意； B 选项， ，与 定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同一函数，故 B 不符合题意； C 选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数， 故 C 符合题意； D 选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数，故 D 符合题意； 故选： ACD. 方法点睛：函数的三要素是定义域，对应关系（解析式），值

10、域，而定义域和对应关系确定值域，所以推断两个函数是否相同只须要推断两个要素：定义域，对应法则是否相同即可 . 12、 AC 对每个选项进行值域推断即可 . 解： A 选项，函数 的值域为 ，正确； B 选项，函数 的值域为 ，错误； C 选项，函数 的值域为 ，正确； D 选项，函数 的值域为 ，错误 . 故选： AC. 13、 BCD 将 绽开，利用基本不等式求的最小值，再比较选项可得正确答案 . ， 当且仅当 即 时等号成立， 取得最小值 ， 所以 的不行能为 ，可能取值为 ， 故选： BCD. 14、 AB 利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解 . ABC 均为存在量词命题， D 不

11、是存在量词命题，故 D 错误， 选项 A ：因为 ，所以命题为假命题； 选项 B ：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项 C ： ，故命题为真命题，故 C 错误， 故选 :AB 15、 ACD 由 是 R 上的奇函数，则 可算出 ，代入可算得 依据 的对称性可得出单调性，依据 可求得 A. 项 是 R 上的奇函数，故 得 ，故 A 对 对于 B 项， ，故 B 错 对于 C 项，当 时， 在 上为增函数，利用奇函数的对称性可知， 在 上为增函数，故 是 上的增函数，故 C 对 ，故 D 对 故选： ACD 正确理解奇函数和偶函数的定义，必需把握好两个问题： (1) 定义域关于原点对

12、称是函数 f ( x ) 为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2) f ( x ) f ( x ) 或 f ( x ) f ( x ) 是定义域上的恒等式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去推断函数的奇偶性 二、填空题 1、 利用集合交运算即可求解 . 利用集合的交运算可知， . 故答案为： 2、 利用配凑法即可求解 . 因为 ， 所以 故答案为： . 3、 设 ，依据 求得 ，由此求得 . 设 ，则 ， 所以 . 故答案为： 4、 递减 利用函数单调性定义和奇函数的概念即可求解 . 不妨设 ， ，且 ， 从而

13、 ， ，且 ， 因为奇函数 在 a ， b 上单调递减，所以 ， 由奇函数的定义可知， ，即 ， 故 在 上单调递减 . 故答案为：递减 . 5、 通过分析 的函数特征，结合已知条件，对参数 进行分类探讨并结合图像即可求解 . 因为 是开口方向向下，对称轴为直线 的一元二次函数， 由 可知， 当 ，即 时，由二次函数对称性知：必存在 ，使得 ； 当 ，即 时，若存在 ，使得 ， 则函数图象需满意下图所示： 即 ，解得： ，所以 ； 综上所述： ，从而实数 a 的取值范围为 . 故答案为： . 三、解答题 1、 （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ）利用指数幂的运算法则求解 . （ 2 ）利用根式和

14、指数幂的运算求解 . （ 1 ） 解：原式 ， （ 2 ） 原式 ， ， ， ， . 2、 （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ）由 ，得到 ，再利用并集的运算求解； （ 2 ）依据 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件，得到 ，然后分 ， 探讨求解 . （ 1 ） 解：当 时， 因为 ， 所以 （ 2 ） 因为 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件， 所以 当 时，符合题意，此时有 ，解得： 当 时，要使 ，只需 解得： ， 综上： 所以实数 的取值范围 3、 （ 1 ）奇函数，理由见解析；（ 2 ）证明见解析 . （ 1 ）依据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （ 2 ）依据函数的单调性

15、的定义和判定方法，即可求解 . （ 1 ）由题意，函数 的定义域为 关于原点对称， 又由 ，所以 是奇函数 . （ 2 ）设 ，且 ， 则 ， 因为 ，所以 ， ， 所以 ，即 ， 所以函数 在 上是增函数 . 4、 （ 1 ） ；（ 2 ） 年 . （ 1 ）依据题意干脆进行求解即可； （ 2 ）利用基本不等式进行求解即可 . （ 1 ）由题意可知： ； （ 2 ）因为 ，所以 ， 当且仅当 时取等号，即 时，函数有最小值，即这套设备最多运用 年报废合适 . 5、 (1) ； (2) ； (3) 分类求解，答案见解析 . (1) 将给定的不等式等价转化成 ，按 与 并结合二次函数的性质探讨存

16、在实数使不等式成马上可； (2) 将给定的不等式等价转化成 ，依据给定条件借助一次函数的性质即可作答； (3) 将不等式化为 ，分类探讨并借助一元二次不等式的解法即可作答 . (1) 依题意， 有实数解，即不等式 有实数解， 当 时， 有实数解，则 ， 当 时，取 ，则 成立，即 有实数解，于是得 ， 当 时，二次函数 的图象开口向下，要 有解，当且仅当 ，从而得 ， 综上， ， 所以实数 的取值范围是 ； (2) 不等式 对于实数 时恒成立，即 ， 明显 ，函数 在 上递增，从而得 ，即 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 ； (3) 不等式 ， 当 时， ， 当 时，不等式可化为 ，而 ，解得 ， 当 时，不等式可化为 ， 当 ，即 时， ， 当 ，即 时， 或 ， 当 ，即 时， 或 ， 所以，当 时，原不等式的解集为 ， 当 时，原不等式的解集为 ， 当 时，原不等式的解集为 ， 当 时，原不等式的解集为 .