2013年1月自考《概率论与数理统计(经管类)》真题及详解.docx

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1、2013年1月自考概率论与数理统计(经管类)真题及详解 国 全国 2013 年 年 1 月自考 概率论与数理统计(经管类) 试题 课程代码：04183 一、单项选择题( ( 本大题共 0 10 小题，每小题 2 2 分，共 0 20 分) )在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。为 解：本题考查的是和事务的概率公式，答案为 C. 解：( ) ( )( | ) 1( ) ( )P B AB P ABP B ABP AB P AB= = =( ) ( ) ( ) 0.5 0.15( | ) 0.5 ( )( ) 1 ( ) 0.7

2、P BA P B P ABP B A P BP A P A- -= = = = =- ( ) ( ) 0.15( | ) 0.3 ( )( ) ( ) 0.5P B AB P ABP AB B P AP B P B= = = = =( ) ( )( | ) 1( ) ( )P A AB P ABP A ABP AB P AB= = =选 故选 B. 解：本题考查的是分布函数的性质。由 ( ) 1 F + = 可知，A 、B 不能作为分布函数。知 再由分布函数的单调不减性，可知 D 不是分布函数。为 所以答案为 C 。 解：| | 2 2 21 2 2 1 (2) ( 2)1 (2) 1 (2)

3、 2 2 (2)P X P X P XP X P X = + -= - + - = -F +F -= -F + -F = - F 选 故选 A 。 解：因为 ( 2) 0.2 0.16 P Y c = = = + ，所以 0.04 c= 又 又 ( 2) 1 0.8 0.2 0.02 P X c d = = - = = + + ，所以 1 0.02 0.04 0.14 d = - - =选 故选 D 。 解：若 ( ) X P l ，则 ( ) ( ) E X D X l = = ，故 D 。 解：由方差的性质和二项 分布的期望和方差：1 5 1 2( 1) ( ) ( ) 36 9 5 2

4、76 6 3 3D X Y D X D Y - + = + = + = + =选 选 A 。 解：由切比雪夫不等式2( )| ( )| 1D XP X E X ee- - ，可得 216007800 8200 | 8000| 200 1 0.96200P X P X = - - =选 选 C 。 解：由方差的计算公式2 2( ) ( ) ( ) D X E X E X = - ， ， 可得22 2 2( ) ( ) ( ) E X D X E Xnsm = + = +选 选 B 。 选 解：置信度表达了置信区间的牢靠度，选 D 。二、填空题( ( 本大题共 5 15 小题，每小题 2 2 分，

5、共 0 30 分) ) 请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。解：本题为贝努利概型。4 次射击中命中 3 次的概率为3 3 34 (0.6)(0.4) 4 (0.6) (0.4) 0.3456 C = =解：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.2 0.14 0.06 p A B P A P AB P A P A P B - = - = - = - =解：因为 ( ) ( ) ( ) P A B P A P AB - = - ，所以可得 ( ) ( ) ( ) 0.3 P AB P A P A B = - - =所以( ) 0.3 3( | )( ) 0.8 8P

6、ABP B AP A= = =到 解：可以得到 X 的分布律为 1 2 3( 1) , ( 2) , ( 3) P X P X P Xa a a= = = = = =由分布律的性质，可得1 2 3 61a a a a+ + = = ，故 6 a = 。 解：1 10 0 1 1 0.3 0.7x xP X e dx e e el l l ll- - - - = = - = - = =所以2 22 20 0 2 1 1 ( ) 0.51x xP X e dx e e el l l ll- - - - = = - = - = - = 解： 2 1 1 0 0.2 0.4 0.6 P X P X P

7、 X - = =- + = = + =为 解：此题为二维随机变量密度函数的性质，答案为 1 。 解： 2 1, 2 2, 1 0.4 P XY P X Y P X Y = = = = + = = =解：1 2 1( ) 2 1 14 4 4 4CE X C = - + + = = ，所以 4 C = 。 解：2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )= ( )+ ( ) =4 D X E X E X E X D X E X = - 所以2 2(3 2) 3 ( ) 2 10 E X E X - = - = 。 解：若 ( , ) X B n p ，则 ( ) , ( ) (1 ) E X n

8、p D X np p = = - ， ， 由题意，有( ) 1 4( ) (1 ) 1 3E X npD X np p p= = =- -，则可得14p = 。 解：矩估计中用样本二阶中心距2ns 估计总体方差。即 即2 2ns s = 。 解：总体方差未知时，均值的置信区间为2( 1)SX t nna - 经计算 11.3 X = ，2 211( ) 1.09, 1.041niis x x sn= - = =-所以平均工时的置信区间为 21.04( 1) (11.3 3.1824 ) (11.3 1.65) (9.65,12.95)2SX t nna - = = = 解：总体方差已知，对均

9、值的进行检验时用的统计量为00 /xUnms-= 解：估计回来方程时：0 1ˆ ˆ1 y x b b = - = 所以11 9 1ˆ42yxb- -= = = 三、计算题( ( 本大题共 2 2 小题，每小题 8 8 分，共 6 16 分) ) 解：设1A = 第一次命中,1( ) 0.4 P A =2A = 第一次命中,2( ) 0.5 P A =3A = 第一次命中,3( ) 0.7 P A =由于三次射击是独立的，所以恰好有一次击中目标的概率为：( P1 2 3 1 2 3 1 2 3A A A AA A A A A + + )= ) ( ) ( ) ( )

10、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 2 1 3 2 1 3 2 1A P A P A P A P A P A P A P A P A P + += 7 . 0 5 . 0 6 . 0 3 . 0 5 . 0 6 . 0 3 . 0 5 . 0 4 . 0 + + 36 . 0 =解：（X ，Y ）的分布律为：四、综合题( ( 本大题共 2 2 小题，每小题 2 12 分，共 4 24 分) ) 解：(1) X 的概率密度函数为2 ,0 1( ) ( ) ,1 20 ,Ax xf x F x A x = = 其他 由性质+-( ) 1 f x dx=，有+ 1 2 120 - 0 1

11、( ) 2 2 1 f x dx Axdx Adx Ax A A= + = + = = Y X 1 2 3 4 1 14 0 0 0 2 18 18 0 0 3 112 112 112 0 4 116 116 116 116 则12A=（ （2 ）所以 X 的概率密度函数为,0 11( ) ( ) ,1 220,x xf x F x x = = 其他 （ （3）3 3 3 30 ( ) (0) 02 2 4 4P x F F = - = - =解：( ) 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 E X = + + =( ) 8 0.1 9 0.8 10 0.1 9 E Y = + + =由此

12、可见甲乙射击的平均环数是相同的。2( ) ( ) 1 0.4 0 1 0.4 0.8 D X E X E X = - = + + =2( ) ( ) 1 0.1 0 1 0.1 0.2 D Y E Y E Y = - = + + =从方差上看，乙的射击水平更稳定，所以选派乙去参赛。五、应用题0 (10 分) ) 解：（1 1 ）设 提出零假设 H 0 ：m m = =7 70 0, ,H 1 ：m m 70 选择统计量0/xts nm -= 于是066.4 701.215/5 /xts nm - -= = = - 由检验水平 a a 0. .05,0.025 (24)2.064 t = 拒绝域

13、为0.025| | t t ， 由于 | | 1.2 2.064 t = = 或2 20.975 (24)12.4 c c =由于221.09 c = ，没有落入拒绝域。从而不能认为该镇居民日平均收入的方差为216 附 ：其他常考大题题型 例 例 1 设某地区地区男性居民中肥胖者占 25% ，中等者占 60% ，瘦者占 15%， ，为 又知肥胖者患高血压病的概率为 20% ，中等者患高血压病的概率为 8% ，瘦者患为 高血压病的概率为 2% ，试求：（ （1 ）该地区成年男性居民患高血压病的概率；（第一章，全概率公式）（ （2 ）若知某成年男性居民患高血压病，则他属于肥胖者的概率有多大？（第一

14、章，贝叶斯公式）解：设1A = 肥胖者， ，2A = 中等者， ，3A = 瘦者 B= 患高血压病已知 ) (1A P =0.25, ) (2A P =0.6, ) (3A P =0.15 ) | (1A B P =0.2, ) | (2A B P =0.08, ) | (3A B P =0.02 （1）) ( ) (1A P B P = ) | (1A B P ) (2A P + ) | (2A B P ) (3A P + ) | (3A B P =0.101（ （2）495 . 0101 . 02 . 0 25 . 0) () | ( ) () () () | (1 1 11= = =B

15、PA B P A PB PB A PB A P例 例 2. 设随机变量 X 的概率密度为 - - +=, , 0, 1 0 , 10 1 , 1) (其他x xx xx f 求 试求 E(X) 及 D(X). （第四章，连续型随机变量的期望和方差求法）解：0 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) (1001= - + + = = -+ -dx x x dx x x dx x xf X E61) 1 ( ) 1 ( ) ( ) (102012 2 2= - + + = = -+ -dx x x dx x x dx x f x X E61) ( ) ( ) (2 2= - = EX X E X D例

16、 例 3. 设（X ，Y ）的分布律如下，求 ) , cov( Y X 。Y X 1 2 0 0.2 0.1 1 0.3 0.4 （第四章，二维离散型随机变量协方差的计算）解：7 . 0 1 4 . 0 1 3 . 0 0 1 . 0 0 2 . 0 ) ( = + + + = X E 1 . 1 2 4 . 0 1 3 . 0 2 1 . 0 1 2 . 0 ) ( = + + + = Y E 7 . 0 2 1 4 . 0 1 1 3 . 0 2 0 1 . 0 1 0 2 . 0 ) ( = + + + = XY E 07 . 0 1 . 1 7 . 0 7 . 0 ) ( ) ( )

17、( ) , cov( - = - = - = Y E X E XY E Y X例 例 4. 设（X ，Y ）听从在区域 D 上的匀称分布，其中 D 由 由 x 轴、y 轴及 x+y=1 所 所求 围成，求 X 与 与 Y 的协方差 Cov(X ，Y). （第四章，二维连续型随机变量协方差的计算）解：（X ，Y ）的概率密度为 1O 1xy=D y xD y xy x f) , ( , 0) , ( , 2) , ( 312 ) , ( ) (1010= = = -xDxdy dx dxdy y x xf X E312 ) , ( ) (1010= = = -yDydx dy dxdy y x

18、yf Y E1212 ) , ( ) (1010= = = -xDxydy dx dxdy y x xyf XY E 361) ( ) ( ) ( ) , cov( - = - = Y E X E XY E Y X例 例 5 设某行业的一项经济指标听从正态分布 N N （ μ , , σ2 2 ），其中 μ , , σ2 2均未知. .的 今获得了该指标的 9 9 个数据作为样本，并算得样本均值 x =56.93 ，样本方差s s2 2 =(0.93)2 2 . . 求 m 的置信度为 95% 的置信区间 .( 附：t t 0.025 (8)=2.306)

19、（第七章，对m 估计，方差已知）：解：分 析：对 m 估计，方差未知，置信区间为n S n t X / ) 1 (2 - a计算得 93 . 56 = x ， 05 . 0 = a ， 306 . 2025 . 0= t ， 93 . 0 = S ， 9 = n故 m 为 的置信度为 95%的 的 置信区间为：3 / 93 . 0 306 . 2 93 . 56 / ) 1 (2 = - n S n t Xa即 56.215,57.645 （ ）。例 例 6 体 设总体 X 的概率密度( 1) ,0 1,( ; )0,x xf xqqq + = 其他， 其中未知参数> 1, q -1 2

20、, , ,nx x x 是来自该总体的一个样本，求参数 q 的矩估计和极大似然估 计 （第七章，矩估计和极大似然估计）解：（1 ）矩估计 总体期望2121) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) (10210110+=+ + = + = + =+ + qqqq q qq q qx dx x dx x x X E建立矩估计方程 X X E = ) ( ，即 X =+21qq 解得 q 的 矩估计量为12 1ˆ-=XXq（ （2 ）极大似然估计 似然函数q qq q q qknknknkknkx x x f L1 1 1) 1 ( ) 1 ( ) , ( ) (= = = + = + =

21、= 取对数 =+ + = + =nkk knknx n x L11ln ) 1 ln( ) 1 ln( ) ( ln q q q qq 对 对 q 求导 0 ln1) ( ln1= +=nkkxndL dq qq 解得 q 的 极大似然估计量为 1lnˆ1- - =nkkxnq例 例 7 设变量 y 与 与 x 的观测数据(x i ， ，y i )(i=1 ，2 ， ，10) 大体上散布在某条直线的旁边，经计算 得出 = = = = = = = = =1012101101101. 8250 , 88700 , 350101, 25101iii ii i iiix y x y y x x立 试用最小二乘法建立 y 对 对 x 的线性回来方程 （ 第九章， 线性回来方程）解：6 . 02000120025 25 10 8250350 25 10 88700ˆ2 21= = - -=-= =x n xy x n y xLLiiii ixxxyb335 25 6 . 0 350ˆ ˆ1 0= - = - = x y b by 对 对 x 的线性回来方程 x x y 6 . 0 335ˆ ˆˆ1 0+ = + = b b