5.函数三大性质.docx

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1、5.函数三大性质 函数四大性质 单调性 1. 给定函数12y x = ，12log ( 1) y x = + ， | 1| y x = - ，12 x y+= ，在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 （A） （B）（C）（D） 答案：B 2. 定义在 R R 上的函数 ( ) y f x = 是减函数，且对随意的 a R ，都有 ( ) ( ) 0 f a f a - + = ，若 x，y 满意不等式2 2( 2 ) (2 ) 0 f x x f y y - + - ，则当 1 4 x 时， 2x y - 最大值为（ ）A. 1B. 10C. 5D. 8 答案：B 3. 设函数 ( ) f

2、x 定义在实数集上， (2 ) ( ) f x f x - = ，当 1 x 时， ( ) ln f x x = ，则有（ ）A. 1 1( ) (2) ( )3 2f f f B. 1 1( ) (2) ( )2 3f f f C. 1 1( ) ( ) (2)2 3f f f D. 1 1(2) ( ) ( )2 3f f f 答案：C 4. 函 数 ( ) f x 在 定 义 域 R 内 可 导 ， 若 ( ) ( 2 ) f x f x = - ， 且 当 ( , 1) x - 时 ，( 1) ( ) 0 x f x - 。设( 0 ) , ( 0 . 5 ) , ( 3) a f b

3、 f c f = = = ，则（ ）A. a b c B. c a b C. c b a D. b c a ，且 1 a ，函数, 0( )( 3) 4 , 0xa xf xa x a x = - + ，满意对随意1 2x x ，都有1 21 2( ) ( )0f x f xx x- 时，函数在定义域3( , )a- 单调递减，区间 (0,1 应是定义域的子集，31a ，得 3 a ，故 1 3 a 当 0 1 a 时，函数单调递增，不满意条件。当 0 a 时，函数在定义域3( , )a+ 单调递减，区间 (0,1 确定是定义域的子集， 留意这时定义域条件为：3 0 ax - ，由于 0 a

4、，得3xa 综上分析， 0 a 或 0 1 a ，即 1 2 3 0 x - + ，得 2 a ，故 1 2 a 时的单调区间不行能是闭区间（指1 2x x 、处），只有它的图像与 x 轴没有交点（如上图左），且对称轴恰好是 1 x = = 时， ( ,1 - 才是它的单调递减区间才是( ,1 - ，所以 1 a = = 奇偶性 9. 若 a,b 是非零向量，且 a b ， a b ，则函数 ( ) ( ) ( ) f x xa b xb a = + - 是（ ）（A）一次函数且是奇函数（B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数（D）二次函数但不是偶函数 答案：A 10. 设 f(x

5、)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)= 2 x +2x+b(b 为常数)，则 f(-1)=（）(A) 3 (B) 1(C)-1(D)-3 答案：D 11. 若 ( ) f x 是 R R 上的周期为 5 的奇函数，且满意 (1) 1, (2) 2 f f = = ，则 (3) (4) f f - =（）（A）-1（B）1（C）-2（D）2 答案：D 12. 设函数 ( ) f x 和 ( ) g x 分别是 R R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A ( ) | ( )| f x g x + 是偶函数B ( ) | ( )| f x g x - 是奇函数 C

6、| ( )| ( ) f x g x + 是偶函数 D | ( )| ( ) f x g x - |是奇函数 答案：A 13. 若函数 ( )(2 1)( )xf xx x a=+ -为奇函数，则 a= （ ）A 21 B 32C 43 D1 答案：A 14. 设偶函数 ( ) f x 满意 ( ) 2 4( 0) f x x x = - ，则 | ( 2) 0 x f x- =( )（A）2 4 x x x 或（B）0 4x x x 或 （C）0 6x x x 或（D）2 2x x x 或 答案：B 15. 设 ( ) f x 是连续的偶函数，且当 x >0 时 ( ) f x 是单调

7、函数，则满意3( )4xf x fx+ = + 的全部 x 之和为（）A 3 - B 3 C 8 - D 8答案：C 16. 已知 ( ) y f x = 是偶函数，当 0 x 时，2( ) ( 1) f x x = - ，若当1 2, 2x - - 时， ( ) n f x m 恒成立，则 m n -的最小值为（ ） A. 13B. 12C. 34D. 1 答案：D 17. 设奇函数 ( ) y f x = 在 (0, ) + 上为增函数，且 (1) 0 f = ，则不等式( ) ( )0f x f xx- - 时，2( ) 2 3 f x x x = - - + 解不等式 ( 2) 3 f

8、 x - 且 1) a ，若 (2) g a = ，则 (2) f =A.2 B.154 C.174 D.2a答案：B解析：因为 ( ) ( ) 2,x xf x g x a a - + = - + 则 ( ) ( ) 2x xf x g x a a- + - = - + ，联立可得 ( ) 2 g x = ，又因为 (2) g a = ，故 a=2.因为2 2(2) (2) 2, f g a a - + = - + (2) , g a = 则2 2 2 215(2) 2 2 2 2 24f a a a- -= - + - = - + - = ，所以选 B. 24. 已知 ) (x f 是定义

9、在 R 上的奇函数.当 0 x 时, x x x f 4 ) (2- = ,则不等式 x x f ) ( 的解集用区间表示为_.( ) ( ) + - , 5 0 , 5 U 对称性 25. 函数 ( )4 12xxf x+= 的图象（）A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称 答案：D 26. 定义在 R 上的函数 ( ) y f x = ，满意3(3 ) ( ),( ) ( ) 02f x f x x f x - = - ，若1 2x x 则有 A.1 2( ) ( ) f x f x C. 1 2( ) ( ) f x f x =

10、D.不确定 答案：B 例题：函数定义在实数集上，关于 1 x = = 对称，当 1 x 时， ( ) 3 1xf x = - ，试比较1( )3f 、3( )2f 与2( )3f 的大小。周期性 27. 已知 ( ) f x 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 02 x 时,3( ) f x x x = - ,则函数 ( ) y f x = 的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为（）（A）6（B）7 （C）8（D）9 答案：A 28. 已知 ( ) y f x = 是定义在 R R 上的偶函数， ( ) y g x = 是定义在 R R 上的奇函数，函数 ( ) g x 的图像

11、经过点（-1,1），且 ( ) ( 1) g x f x = - ，则 (2011) (2012) f f + =（）A. 0B. 1C. 2D.-1 答案：D 29. 一个定义在 R 上函数，既是奇函数，又是周期函数， T 是它的正周期，那么 ( ) 0 f x = = 在 , T T - - 上的根的数目是_ 解：函数 ( ) sin f x x = = 满意题设条件，它的周期 2 T p p = = ，在 , T T - - 上即 2 ,2 p p - - 上有 5 个根。证明方法如下：首先对奇函数， (0) 0 f = = ，对于周期函数， ( ) 0 f T = = 、 ( ) 0

12、f T - = ； 另外，对奇函数， ( ) ( )2 2T Tf f - = - ， 对于周期函数， ( ) ( ) ( )2 2 2T T Tf f T f - = - + = ，两式相减得 ( ) 02Tf = = ，故 ( ) 02Tf - =在 , T T - - 上有 5 个根：T - - 、2T- - 、 0 、2T和 T30. ( ) f x 是 R 上的偶函数， ( 6) ( ) (3) f x f x f + = + ，当1 2, 0,3 x x 且1 2x x 时，函数单调递增，下列说法正确的是：A ( 3) 0 f - =B 6 x = - 是对称轴 C在 9, 6 -

13、 - 上为增函数 D在 9,9 - - 上有 4 个零点解：取 3 x = - ，则 (3) ( 3) (3) f f f = - + ，得 ( 3) (3) 0 f f - = = ，周期 6 T = = ，在 0,3 上单调递增， 3,0 - - 上单调递减。31. 已 知 函 数 ( ) f x 满 足 ：( )114f = ，( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 , f x f y f x y f x y x y R = + + - ， 则( ) 2010 f=_. 解析：取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立

14、得 f(n+2)= f(n-1) 所以 T=6 故 ( ) 2010 f =f(0)= 21 32. 定义在 R 上的函数 ( ) f x 满意 ( 6) ( ) f x f x + = .当 3 1 x - - 时，2( ) ( 2) f x x = - + ，当 1 3 x - - - - -0 ), 2 ( ) 1 (0 ), 1 ( log 2x x f x fx x，则 f（2009）的值为() A.-1B. 0 C.1 D. 2 答案:C :由已知得2( 1) log 2 1 f - = = , (0) 0 f = , (1) (0) ( 1) 1 f f f = - - = -

15、, (2) (1) (0) 1 f f f = - = - , (3) (2) (1) 1 ( 1) 0 f f f = - =- - - = , (4) (3) (2) 0 ( 1) 1 f f f = - = - - = , (5) (4) (3) 1 f f f = - = , (6) (5) (4) 0 f f f = - = , 所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）= f（5）=1,故选 C. 34. 设定义在 R 上的函数 ( ) f x 满意 ( ) ( ) 2 13 f x f x + = ，若 ( ) 1 2 f = ，则 ( ) 99 f

16、= () （）13（）2（）132（）213答案：C 函数性质综合应用 35. 给出下列三个命题：函数1 1 cosln2 1 cosxyx-=+与 lntan2xy = 是同一函数； 若函数 ( ) y f x = 与 ( ) y g x = 的图像关于直线 y x = 对称，则函数 ( ) 2 y f x = 与 ( )12y g x =的图像也关于直线 y x = 对称； 若奇函数 ( ) f x 对定义域内随意 x 都有 ( ) (2 ) f x f x = - ，则 ( ) f x 为周期函数。其中真命题是（ ）A. B. C.D. C 考查相同函数、函数对称性的推断、周期性学问。考

17、虑定义域不同，错误；解除 A、B，验证, ( ) 2 ( ) (2 ) f x f x f x - = - - = +,又通过奇函数得 ( ) ( ) f x f x - =- ，所以 f（x）是周期为 2 的周期函数，选择 C。36. 已知定义在 R 上的奇函数 ) (x f ，满意 ( 4) ( ) f x f x - = - ,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. ( 25) (11) (80) f f f - B. (80) (11) ( 25) f f f -C. (11) (80) ( 25) f f f - D. ( 25) (80) (11) f f f - f f ,所

18、以 0 ) 1 ( - f ,即 ( 25) (80) (11) f f f - . 则当*n N 时,（ ）(A) ( ) ( 1) ( 1) f n f n f n - - +(B) ( 1) ( ) ( 1) f n f n f n - - + (C) (C) ( 1) ( ) ( 1) f n f n f n + - -(D) ( 1) ( 1) ( ) f n f n f n + - - + + - + - -解析：时， 在 为增函数为偶函数 在 ， 为减函数而n+1>n>n-1>0, 40. 已知定义在 R 上的奇函数 ) (x f ，满意 ( 4) ( ) f

19、x f x - = - ,且在区间0,2上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间 8 , 8 - 上有四个不同的根1 2 3 4, , , x x x x ,则1 2 3 4_. x x x x + + + =:因为定义在 R 上的奇函数，满意 ( 4) ( ) f x f x - = - ,所以 ( 4) ( ) f x f x - = - ,所以, 由 ) (x f 为奇函数,所以函数图象关于直线 2 x = 对称且 (0) 0 f = ,由 ( 4) ( ) f x f x - = - 知 ( 8) ( ) f x f x - = ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因

20、为 ) (x f 在区间0,2上是增函数,所以 ) (x f 在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间 8 , 8 - 上有四个不同的根1 2 3 4, , , x x x x ,不妨设1 2 3 4x x x x 由对称性知1 212 x x + = -3 44 x x + = 所以1 2 3 412 4 8 x x x x + + + = - + = -答案:-8 41. 设奇函数 ( ) f x 在 (0 ) + ， 上为增函数，且 (1) 0 f = ，则不等式( ) ( )0f x f xx- - 的解集为（）A ( 10) (1 ) - +

21、， ，B ( 1) (01) - - ， ，C ( 1) (1 ) - - + ， ， D ( 10) (01) - ， ，答案：D 42. 设定义在 R 上的函数 ( ) f x 满意 ( ) ( ) 2 13 f x f x + = ，若 ( ) 1 2 f = ，则 ( ) 99 f = () （）13（）2（）132（）213答案：C 43. 若函数 ( ), ( ) f x g x 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满意 ( ) ( )xf x g x e - = ，则有（）A (2) (3) (0) f f g B (0) (3) (2) g f f C (2) (0) (3) f

22、 g f D (0) (2) (3) g f f 答案：D -8 -6-4-2024 68 y x f(x)=m (m>0) 44. 函数 f ( x )= x3 +sin x +1( x R R),若f ( a )=2,则 f (- a )的值为（ ）A.3B.0 C.-1D.-2 答案：B 45. 已知函数 ) (x f 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对随意实数 x 都有 ) ( ) 1 ( ) 1 ( x f x x xf + = + ，则)25( f 的值是() A.0 B. 21 C. 1 D. 25 A 若 x ≠0，则有 ) (1) 1 ( x fxxx

23、 f+= + ，取21- = x ，则有： )21( )21( )21(21211) 121( )21( f f f f f - = - - = -= + - = （ ) (x f 是偶函数，则 )21( )21( f f = -）由此得 0 )21( = f于是， 0 )21( 5 )21( 2121135) 121(35)23(35)23(23231) 123( )25( = =+= + = =+= + = f f f f f f f46. 设函数 f(x) ( ) x R 满意 f( x - )=f(x)，f(x)=f(2 - x)，且当 0,1 x 时，f(x)=x 3 .又函数 g(

24、x)=|xcos ( ) x p |，则函数h(x)=g(x)-f(x)在1 3 , 2 2- 上的零点个数为()(A)5 (B)6(C)7 (D)8 B 】法 1：因为当 0,1 x 时，f(x)=x 3 . 所以当 1, 2 - ) 0,1 x x 时，(2 ，f(x)=f(2 - x)=(2 - x) 3 ， 当10, 2x 时，g(x)=xcos ( ) x p ；当1 3 , 2 2x 时，g(x)= - xcos ( ) x p ，留意到函数 f(x)、 g(x)都是偶函数，且 f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，1 3( ) ( ) 02 2g g = = ，作出函数 f(x)、 g(x)的大致图象，函数 h(x)除了 0、1 这两个零点之外，分别在区间1 1 1 3 ,0 1 2 2 2 2- 、0, 、 ,1、, 上各有一个零点，共有 6 个零点，故选 B