2022年高三数列知识点与题型总结文科.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列考点总结第一部分求数列的通项公式一、数列的相关概念与表示方法（见辅导书）二、求数列的通项公式四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式.等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列.求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法.一、累加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1适用于：an 1anf n 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一.

2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 an 1anf n n2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a1a3a2f 1f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边分别相加得an 1a1nf nk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

3、例1已知数列 an 满意 an 1an2n1, a11 ,求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n a aa231, a3 a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2已知数列n满意n 1n1,求数列n的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 1.已知数列an的首项为1,且an 1*an2nnN 写出数列an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：n 2n

4、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练 习2. 已 知 数 列a na n an 满 足a13,21a n 11nn n12, 求 此 数 列 的 通 项 公 式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：裂项求和n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：已知 a1项 an .a , a n 1anf n ,其中 fn 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 fn 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;如 fn 是关于

5、n 的二次函数,累加后可分组求和;如 fn 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;如 fn 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和.1 / 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3.已知数列Sn a n 中,a n0 且1 an2n a n,求数列 a n 的通项公式 .可编辑

6、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 3已知数列二、累乘法an 1 an 满意2anan2,a11,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、适用于：an 1f n an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_累乘法是最基本的二个方法之二.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1f na2f1 a3f 2,an 1f n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如an,就 a1a2ann 1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1f k可编辑资料 - -

7、 - 欢迎下载精品_精品资料_两边分别相乘得,a1 a k 1a2 n15na , a3 a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an例 4已知数列n满意n 1n1,求数列n的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5. 设 an2是首项为1 的正项数列,且n1n 1na 2a n 1a n0（ n=1,2, 3,）,就它的通项公式是an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、待定系数法适用于an 1qanf n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

8、_精品资料_基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1形如an 1cand , c0 ,其中 a1a 型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 1 时,数列 （ 2）如 0 时,数列 a n 为等差数列 ;a n 为等比数列 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）如 c1且d0 时,数列 an 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造帮助数列来求.可编辑资料 -

9、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_待定系数法：设an 1ca n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 an 1canc1,与题设an 1cand , 比较系数得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c1d ,所以add, cc10an所以有：dddca n 1c1c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n因此数列na1c1构成以c1 为首项,以c 为公比的等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

10、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_da n所以c1a1dcn 1a c1即：a1dcn 1c1dc1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：将递推关系an 1cand 化为a n 1dca c1dc1,构造成公比为c 的等比数列 a ndc 1 从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 / 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

11、资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求得通项公式da n 11cc n 1 ad c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系a n 1cand 中把n 换成1有 a ncan 1d ,两式相减有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1a ncana n 1 从而化为公比为c 的等比数列 a n1a n ,进而求得通项公式.a n 1a nc

12、n aa1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2再利用类型 1即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、已知数列 an 中, a11,an2an 11n2 ,求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2形如：a n 1panq其中 q 是常数,且n0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 1 时,即：a n 1a nq nn,累加即可 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

13、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 p1 时,即：a n 1pa nq,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以n 1p.目的是把所求数列构造成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a n 1a npqn 1n即：1 p na nbnnpq,令pbn 1b n,就1 p npq,然后类型1,累加求通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.两边同除以q n

14、1. 目的是把所求数列构造成等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1n 1即：qba np a n1nq qq ,bpb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn 1令q,就可化为qnq .然后转化为类型5 来解,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a n 1q n 1p a np n .通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1留意：应用待定系数法时

15、,要求,否就待定系数法会失效.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、已知数列 an 满意an 12 an4 3n1, a1 ,求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 3.（ 2022 陕西卷文）a 1 a2,a anan 1, nN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知数列an 满意,1 2n 22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 bnan 1an ,证明： bn 是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

16、精品_精品资料_ 求an的通项公式.11*bn2a52 n331 nnN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：（ 1）是以 1 为首项,为公比的等比数列. （ 2）2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结：四种基本数列3 / 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

17、1形如a n 1a nf n 型等差数列的广义形式,见累加法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.形如a n 1a nf n型等比数列的广义形式,见累乘法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.形如a n 1a nf n 型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如a n 1a nd（ d 为常数）,就数列 a n 为“等和数列 ”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项可编辑资料 - - - 欢迎下载

18、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和偶数项来争论;（ 2）如 fn 为 n 的函数（特别数） 时,可通过构造转化为an 1a nf n 型, 通过累加来求出通项;或用逐差法 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式相减 得 an 1a n 1f nf n1 ,分奇偶项来分求通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.形如a n 1anf n 型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1

19、）如an 1a np p 为常数 ,就数列 a n 为“等积数列 ”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偶数项来争论 ;（ 2）如 fn 为 n 的函数（特别数）时,可通过逐差法得a na n 1f n1 ,两式相除后,分奇偶项来分求通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8. 数列 a n 满意 a10 , a n 1a n2n ,求数列 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

20、 欢迎下载精品_精品资料_例 9. 已知数列 an 满意 a13, a na n 11 n, n 2*N,求此数列的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次部分数列求和一、公式法1假如一个数列是等差数列或等比数列,就求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式,留意等比数列公比 q 的取值情形要分q 1 或 q 1.2一些常见数列的前n 项和公式： 11 2 34 n.21 3 57 2n 1 n2. 32 4 68 2n n2 n.二、非等差、等比数列求和的常用方法1 倒序相加法假如一个数列 ,首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n 项和即

21、可用倒序相加法,等差数列的前n 项和即是用此法推导的2 分组转化求和法如一个数列的通项公式是由如干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,就求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减3 错位相减法4 / 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -假如一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求

22、,等比数列的前n 项和就是用此法推导的4 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和 小题能否全取 1 2022 沈阳六校联考 设数列 1n 的前 n 项和为,就对任意正整数n, 2等差数列 的通项公式为2n 1,其前 n 项的和为,就数列的前10 项的和为 A 120B 70C 75D 1003数列 a1 2, 2k, a10 20 共有十项,且其和为240,就 a1 a10 的值为 A 31B 120C 130D 1854如数列 的通项公式为2n2n 1,就数列 的前 n 项和为5数列,的前n 项和为分组转化法求和 例 1 等比数列 中, a1, a

23、2, a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1, a2, a3 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列其次列第三列第一行3210其次行6414第三行98181求数列 的通项公式.2如数列 满意： 1 ,求数列 的前 2n 项和 S2n.错位相减法求和 例 2已知数列 的前 n 项和 k 其中 c, k 为常数 ,且 a24, a6 8a3.1求.2求数列 的前 n 项和 . k.n2已知等比数列 的前 n 项和为,且满意31求 k 的值及数列 的通项公式.2如数列 满意 4 k,求数列 的前 n 项和 . .裂项相消法求和5 / 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习

24、资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 例 3已知数列 的前 n 项和为, a1 1, nn 1n N *1求数列 的通项公式.2设,求数列 的前 n 项和 .,且 a a 8,又 a 、a 的等比中项为16.*3在等比数列 中, a10 , n N32151求数列 的通项公式.2设 4,数列 的前 n 项和为,是否存在正整数k,使得k 对任意n N* 恒成立如存在,求出正整数 k 的最小值.不存

25、在,请说明理由【课后练习题】6n,就 的前 n 项和 21已知数列 的前 n 项和 nA 6n n2B n2 6n 18错误 .错误 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12如数列 满意 a 2 且 2n 2n 1,为数列 的前 n 项和,就S 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122 0123已知递增的等比数列 满意： a2 a3 a4 28,且 a3 2 是 a2, a4 的等差中项 1 求 数 列 的 通 项 公 式 . 2如, b1 b2 ,求 .4已知 是公差不为零的等差数列,a1 1,且 a1,a3 ,a9 成等比数列 1求数列 的通项.2求数列 2

26、 的前 n 项和 . 2n1 2.2设函数f x x3,在等差数列 中, a3 7,a1 a2 a3 12,记 f ,令,数列的前n 项和为 . 1求 的通项公式和.2求证： .3已知二次函数fx x2 5x 10,当 xn,n 1 n N* 时,把 f x在此区间内的整数值的个数表示为. 1 求 a1 和 a2 的 值 . 2 求 n 3 时 的 表 达 式 . 3令,求数列 的前 n 项和 n 35 .6 / 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载