2022年高三数列解题方法.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、基础学问：数列解题方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的定义项数列的有关概念项数数列数列的通项通项数列与函数的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列：1 数列、项的概念 ：按肯定次序排列的一列数,叫做数列,其中的每一个数叫做数列

2、的 项 2 数列的项的性质：有序性.确定性.可重复性3 数列的表示 ：通常用字母加右下角标表示数列的项,其中右下角标表示项的位置序号,因此数列的一般形式可以写成 a1, a2 ,a3, , an,（ ）,简记作 an 其中 an 是该数列的第 n 项,列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法 （通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法4 数列的一般性质：单调性.周期性5 数列的分类 ：按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 .按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摇摆数列 、其他.按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他.按项的变化范畴分：有界数列、无

3、界数列6 数列的通项公式 ：假如数列 an 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的函数关系可以用一个公式 a n =f （ n）（ n N+或其有限子集 1 , 2, 3, , n ） 来表示,那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 数列的项是指数列中一个确定的数, 是函数值, 而序号是指数列中项的位置, 是自变量的值 由通项公式可知数列的图象是散点图,点的横坐标是项的序号值,纵坐标是各项的值不是全部的数列都有通项公式,数列的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - -

4、- - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在形式上未必唯独7 数列的递推公式：假如已知数列 an 的第一项（或前几项） ,且任一项an 与它的前一项an-1（或前几项an-1,an -2,）间关系可以用一个公式an=f（ a n 1 ）（ n=2,3,） （或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an=f（ a n公式1 ,a n2 ） n= 3, 4,5, ,）来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

5、8 数列的求和公式：设 Sn 表示数列 an 和前 n 项和,即Sn=nai =a1+a2+an,假如 Sni 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式Sn= f（ n）（ n=1, 2, 3,） 来表示,那么这个公式叫做这个数列的求和公式9 通项公式与求和公式的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通项公式an 与求和公式Sn 的关系可表示为：anS1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列与等比数列：SnSn 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列等比数列文可编辑资料 - -

6、- 欢迎下载精品_精品资料_一般的,假如一个数列从其次项起,每一项与字它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列定就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差.义符一般的,假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比是同一个常数,那么这个数列就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_号an 1and定义n 1qq0 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递增数列：a10,q1或a10,0q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递增数

7、列：d0分递减数列：d0类常数数列：d0递减数列：a1摇摆数列：q0,q01或a10,0q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常数数列：q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana1 n通1dpnqamnm daa qn 1aqnmq0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项其中 pd, qa1dn1m（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S前na1nn2an na1n n1d2pn 2qna1 1Sn1q n q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项其中 p和dd, qa122

8、na1q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中a,b,c成等差的充要条件 : 2bac项a, b, c成等比的必要不充分条件：b2ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -等和性： 等差数列an等积性： 等比数列an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 mnpq 就 a

9、man主apaq如 mnpq 就 amanapaq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要推论：如mn2 p 就 aa2a推论：如mn2 p 就 aaa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质aamnp2amnp2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n kn knankankan 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1ana2an 1a3an 2a1ana2an 1a3an 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：首尾颠倒相加,就和相等

10、1 、等差数列中连续m 项的和,组成的新数列是等差数列.即：即：首尾颠倒相乘,就积相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sm , s2msm , s3ms2 m ,等差,公差为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其m2 d 就有s3m3s2msm 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列.1、等比数列中连续项的和,组成的新数列是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

11、精品资料_如： a1 ,a4 , a7 , a10 ,m（下标成等差数列）等比数列. 即：sm , s2msm, s3 ms2 m,等比,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 、an, bn等 差 , 就a2n,a2 n 1,公比为 q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kanb ,panqbn也等差.2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它4、等差数列an的通项公式是n 的一次函数,如： a1 , a4 , a7 , a10 ,（下标成等差数列）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：

12、andnc d0 3、 an, bn等比,就a2n, a2n 1, kan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也等比.其中k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列an的前 n 项和公式是一个没有常4、等比数列的通项公式类似于n 的指数函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数项的 n 的二次函数,即： acqn ,其中 ca1nq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n即： SAn2性Bn d0 等比数列的前n 项和公式是一个平移加振可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、项数为奇数2n1 的等差数列有：幅的 n 的指数函数,

13、即：scqncq1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n中s奇nssaa奇偶5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s偶n列是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s2n12n1) an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项数为偶数2n 的等差数列有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s奇质s偶anan 1, s偶s奇nd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 -

14、 - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s2nnanan 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、 anm, amn就 am n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_snsm 就 sm n0nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

15、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_snm, smn 就 sm nmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明一个数列为等差数列的方法：证证明一个数列为等比数列的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明1、定义法：aad 常数1、定义法：an 1q常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法2、中项法：n 1an 1nan 12an n2an2、中项法：aa（a ）2 n2,a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设三数等差

16、：元ad , a, ad三数等比：a2, a, aq或a, aq,aqq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技四数等差：a巧3d , ad , ad , a3d四数等比：23a, aq, aq , aq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、如数列an是等差数列, 就数列C a n是等比数列, 公比为C d ,其中 C 是常数, d 是a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n的公差.联系2、如数列an是等比数列,且an0 ,就数列log a an是等差数列,公差为

17、log a q ,其中 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是常数且 a0, a1 , q 是an的公比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的项an 与前 n 项和Sn 的关系： ans1snsn 1n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、错项相减法：适用于差比数列（假如an等差,bn等比,那么anbn叫做差

18、比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列）即把每一项都乘以bn的公比 q ,向后错一项,再对应同次项相减,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_转化为等比数列求和.3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_适用于数列1和anan 11anan 1（其中an等差）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可裂项为：11 11 ,11 aa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a

19、nan 1danan 1n 1ndanan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -等差数列前 n 项和的最值问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、如等差数列an的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

20、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如已知通项an ,就Sn 最大an0.an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（）如已知Spn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如等差数列an的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如已知通项an ,就Sn 最小an0.2an 10可编辑资料

21、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如已知Snpnqn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式.等比数列通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知S （即 aaafn ）求a , 用作差法 ： aS1 , n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12nnnf 1,n1SnSn 1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 a1 a2anfn 求 an , 用作商法：anf n, n2

22、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知条件中既有Sn 仍有an ,有时先求Sn ,再求an .有时也可直接求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 an 1a1 nan2) .f n 求 an 用累加法 ： ananan 1 an 1an 2 a2a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知an 1f n 求 a,用累乘法 ： aanan 1a2a n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnanan 11an 2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

23、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知递推关系求an ,用构造法 （构造等差、等比数列）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的 ,（ 1）形如akab 、 akabn（k ,b 为常数）的递推数列都可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列 后,再求a . 形如akak n 的递可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推数列都可以除以k n 得到一个等差数列后,再求nan .nn 1可编辑资料 - -

24、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）形如 anan 1的递推数列都可以用倒数法求通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kan 1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）形如aa的递推数列都可以用对数法求通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kn 1n（ 7）（理科） 数学归纳法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资

25、料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 8）当遇到an 1an 1d或 an 1an 1q 时, 分奇数项偶数项争论,结果可能是分段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形式 .数列求和的常用方法：（ 1）公式法 ：等差数列求和公式.等比数列求和公式.（ 2） 分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.（ 3） 倒序相加法 ：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是

26、等差数列前n 和公式的推导方法）.（ 4） 错位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.（ 5）裂项相消法 ：假如数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111. 11 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n n1nn1nnk knnk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 111 11 , 1111111 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k

27、2k 212k1k1kk1k1kk 2k1kk1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 11.n11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n n1n22n n1 n1n2n1.n.n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2n1n 2122nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1二、解题方法：nnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、 由Sn 求an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（n1时, a1S1,n2时, anSnSn 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精

28、品_精品资料_3、求差（商）法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：a满意 1 a1 a1 a2 n51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： nn212 221时, 1 a215, a2 nn14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 时, 1 a1 a1 a2 n152可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212 222 n 1n 112得：1 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an2n 12 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an14n12n 1

29、n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习数列a n满意 SnS n 15an 1 , a134,求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（留意到aSS代入得：Sn 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n

30、1nSn又S4 , S是等比数列,S4 n1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2时, anSnSn 13 4n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、叠乘法a n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：数列a n中, a13,求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： a2 a 3a1a 2a na n 13a n1 223n1n1 , a n1na1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又a13, a nn5、等差型递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由anan 1f n, a1a0

31、,求an ,用迭加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 时, a 2a 3a na1 a2a n 1f 2f 3f n两边相加,得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana1f 2f 3f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana0f 2f 3f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习数列（ a na n, a1 1 3 n21, a n1 ）3n 1an 1n2 ,求 a n可编辑资料

32、- - - 欢迎下载精品_精品资料_6、等比型递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a nca n 1dc、 d为常数, c0, c1, d0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可转化为等比数列,设a nxc an 1xancan 1c1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令cd1xd, xc1dd可编辑资