2022年高三数学模拟卷及标准答案 .docx

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1、精品_精品资料_高级中学高三数学（理科）试卷一、选择题：（每道题5 分,共 60 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、已知集合 A=x R|x| ,2 B=xZ|x 21,就 A B=（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2A、1, 1B、 2,2C、1, 0, 1D、 2, 1, 0, 1, 2【答案】 C解：依据题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_意, |x| 2.2x,2就 A=x R|x| 2=x|2x,21.1 x ,1就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B=x Z|x 2 1=1, 0,1,就 A B=1, 0,1.

2、应选： C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如复数a3i （ a R, i 为虚数单位）是纯虚数,就实数a 的值为（）1 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、3B、 3C、0D、 【答案】 A解：=是纯虚数,就,解得： a=3应选 A 3、命题 “.x0 R,”的否定是（）A、.xR, x2 x 10B、.x R, x2 x 10C、.x0 R,D、.x0R,【答 案】 A解：由于特称命题的否定是全称命题,所以命题 “.x0 R,”的否定为： .x R, x2 x 10应选： A4、张丘建算经卷上第 22 题为

3、： “今有女善织,日益功疾,且从第 2 天起,每天比前一天多织相同量的布,如第一天织5 尺布,现有一月（按30 天计）,共织 390尺布 ”,就该女最终一天织多少尺布？（） A、18B、20C、21D、25【答案】 C解：设公差为 d,由题意可得：前30 项和 S30=390=30 5+d,解得 d= 最终一天织的布的尺数等于 5+29d=5+29=21应选： C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、已知二项式xa4 的开放式中常数项为32,就 a=（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 xA、8B、 8C、2D、 2【答案】 D解：二项式（ x） 4 的开放式

4、的通项为Tr+1=（可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Cxrra）44r ,令 4=0,解得 r=3,（ a） 3 4 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C=32, a= 2,应选： D6、函数 y=lncosx（ x）的大致图象是（）A、B、C、D、【答案】 A 解：在（ 0,）上, t=cosx 是减函数, y=lncosx 是减函数,且函数值y0, 故排除 B、C. 在（, 0）上, t=cosx 是增函数, y=lncosx 是增函数,且函数值y 0,故排除 D,应选： A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、如数列an中意 a= 2a a刮

5、0, nN * ,且a 与 a 的等差中项是 5, a+ a + a等于 B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n+1nn2412n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） 2n（ B） 2n - 1（ C）2n- 1（ D） 2n- 1 - 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、如图是某几何体的三视图,就该几何体的体积为（）A、1B、 C、 D、【答案】 B解：由三视图知几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个平行四边形,有两个等腰直角三角形,直角边长为1 组成的平行四边形,四棱锥的一条侧棱与底面垂直,且侧棱长为1,四棱锥的体积是应选 B9、设 a

6、0, b 0,如 2 是 2a 与 2b 的等比中项,就的最小值为（）A、8B、 4C、2D、1【答案】 C解： 2 是 2a 与 2b 的等比中项, 2a.2b=4, a+b=2,（ a+b） =1,而 a 0, b0,=（）（+） =1+1+2=2,当且仅当 a=b=1 时取等号应选：C10、如函数 f（ x） =2sin（）（ 2 x 10）的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点,就（+） .=（ ）A、 32B、 16C、16D、32【答案】 D解：由 f（ x） =2sin（）=0 可得 x=6k 2, k Z, 2 x 10 x=4 即 A

7、（ 4, 0）设 B（x1 , y1）, C（x2 , y2）过点 A 的直线 l 与函数的图象交于B、C 两点 B, C 两点关于 A 对称即 x1+x2=8, y1+y2=0 就（+） .=（ x1+x2 , y1 +y2） .（4, 0） =4（ x1 +x2）=32 应选 D11、已知双曲线=1（ a 0, b0）的右顶点为 A,如双曲线右支上存在两点B,C 使得 ABC 为等腰直角三角形,就该双曲线的离心率e 的取值范畴是（）A、（ 1,2） B、（ 2, +） C、（ 1,）D、（, +）【答案】 C【解读】 【解答】解：如图,由ABC 为等腰直角三角形,所以 BAx=45, 设其

8、中一条渐近线与x 轴的夹角为 ,就 45,即 tan 1,又上述渐近线的方程为y=x,就 1,又 e=, 1 e,双曲线的离心率e 的取值范畴（ 1,）,应选 C 12、已知函数 f（x） =x+xlnx,如 kZ,且 k（ x 1） f（ x）对任意的x 1 恒成立,就 k 的最大值为（） A、2B、3C、4D、5【答案】 B解：由 k（ x 1） f（ x）对任意的x 1 恒成立,得： k,（ x1 ）,令 h（ x）=,（ x 1）,就 h（ x） =,令 g（ x）=x lnx 2=0,得： x 2=lnx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_画出函数 y=x 2, y=l

9、nx 的图象,如图示： g（ x）存在唯独的零点,又g（ 3） =1ln3 0, g（ 4） =2 ln4=2（ 1 ln2 ） 0,零点属于（ 3, 4）. h（x）在（ 1, x0）递减,在（ x0 , +）递增,而 3 h（3） = 4, h（ 4） = 4, h（x0） 4, k Z, k 的最大值是 3 二、填空题：（每道题5 分,共 20 分）13、如 x,y 中意就 z=x+2y 的最大值为 【答案】 2解：由足约束条件作出可行域如图,由 z=x+2y,得 y=+要使 z最大,就直线y=+的截距最大,由图可知,当直线y=+过点 A 时截距最大联立,解得, A（ 0, 1）, z=

10、x+2y的最大值为0+2 1=2 故答案为： 214、已知向量=（ 1, 2）,（+）,就向量在向量方向上的投影为【答案】 解：由（+）,就.（+）=0,即2+2.=0,就.=丨丨, 向量在向量方向上的投影为=丨丨=,故答案为： 15、斜率为 k（ k0）的直线 l 经过点 F（ 1, 0）交抛物线 y2=4x 于 A,B 两点,如 AOF的面积是 BOF 面积的 2 倍,就 k= 【答案】 2【解读】 【解答】解： S AOF=2S BOF ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yA= 2yB , 设 AB 的方程为 x=my+1（ m 0）,与 y22=4x 联立消去 x 得

11、 y 4my 4=0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yA+yB=4m , y Ay B= 4 由可得 m=, k=2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121216、定义在 R 上的函数fx 对任意x , xxx都有fx1fx2,且函数0yfx1 的图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_象关于（ 1,0 ）成中心对称,如取值范畴是 .s,t 中意不等式fs2x12sfx22tt 2,就当 1s4 时,t2 s 的st可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解读】不妨设,就xxxx12120

12、由f x f x ,知 f x f x120120 ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1f x2 ,所以函数x1f x 为减函数由于函数x2yf x1) 的图象关于 1, 0 成中心对称,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 为奇函数,所以f s22sf 2tt 2 f t22t,所以 s22st 22t ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ st st2) 0 由于,而在条件st st20 下,易求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t2 s13s131s4可编辑资料

13、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_stst1t s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t1,所以t1,所以,所以,即 t2 s1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,11, 233315, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s2s2,61t2s15,st21t2s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题：17、（本小题满分 12 分）已知函数（其中 0）,如 f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 1求 y=f（ x）的单调递增区间.2在 ABC中角 A、B、C 的对边分别是a, b, c 中意（ 2b a） cosC=c.c

14、osA,就 f（ B）恰是 f（ x）的最大值,试判定 ABC的形状（ 1）解：, =, f（ x）的对称轴离最近的对称中心的距离为, T=, =1,得：,函数 f（ x）单调增区间为.（ 2）解：（ 2b a） cosC=c.cosA,由正弦定理,得（ 2sinB sinA） cosC=sinC.cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=s（in A+C）, sin（ A+C）=sin（ B） =sinB 0, 2sinBcosC=sinB, sinB（ 2cosC 1） =0, 0 C,依据正弦函数的图象可以看出,f（ B）无最小值,有最大值 ymax =1,此时,即

15、, ABC为等边三角形.18、（本小题满分 12 分）交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为 T,其范畴为 0 ,10,分为五个级别, T 0 ,2）畅通. T 2 ,4）基本畅通. T4 , 6）轻度拥堵. T6 , 8）中度拥堵. T 8 ,10 严肃拥堵早高峰时段（ T3）,从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的 50 个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图（）这 50 个路段为中度拥堵的有多少个？（）据此估量,早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严肃拥堵的概率是多少？（ III）某人上班路上所用时间如畅通时为20 分钟,基本畅通为

16、30 分钟,轻度拥堵为36 分钟.中度拥堵为 42 分钟.严肃拥堵为60 分钟,求此人所用时间的数学期望可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（）（ 0.2+0.16） 150=1,8这 50 路段为中度拥堵的有18 个 （）设大事A“一个路段严肃拥堵”,就 P（ A） =0.1,大事 B 至少一个路段严肃拥堵”,就 P=（1 P（ A） 3=0.729 P（B） =1P（） =0.271,所以三个路段至少有一个是严肃拥堵的概率是0.271 （ III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X30364260P0.10.440.360.1E（ X） =30 0.1+36 0.44+

17、42 0.36+60 0.1=此3人9.9经6过该路段所用时间的数学期望是39.96 分钟 19、（本小题满分 12 分）如图,在直三棱柱A1B1C1 ABC 中,侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形,直角三角形边中意 AC=BC,E 是 CB1 上的点,且 BE平面 ACB1 （）求证：AC平面 BB1C.（）求二面角B AB1 C 的平面角的余弦值证明： 在直三棱柱 A1 B1 C1 ABC中, BB1平面 ABC, BB1 AC,直角三角形边中意 AC=BC, AC BC,又 BCBB1 , AC平面 BB1C（）解：以 C 为原点, CA 为 x 轴, CB 为 y 轴, CC1

18、 为 z 轴,建立空间直角坐标系,侧面ABB1A1 是边长为 2 的正方形,直角三角形边中意AC=BC, 2AC2 =4,解得AC=BC=, B（0, 0）, A（）, B1（ 0, 2）, C（ 0, 0, 0）,=（, 2）,=,设平面 BAB1 的法向量=（ x,y, z）,就,取 x=,得=（1, 1, 0）,设平面 AB1C 的法向量=（ a, b,c）,取 b=,得=（ 0, 1）,设二面角 B AB1 C 的平面角为 , cos=cos =20、已知 A（ x0 , 0）, B（ 0, y 0）两点分别在x 轴和 y 轴上运动,且|AB|=1 ,如动点 P（x, y）中意(1)

19、求出动点 P 的轨迹对应曲线 C 的标准方程.(2) 一条纵截距为2 的直线 l1 与曲线 C 交于 P, Q 两点,如以 PQ 直径的圆恰过原点,求出直线方程.(3) 直线 l2： x=ty+1 与曲线 C 交于 A、B 两点, E（ 1, 0）,试问：当 t 变化时,是否存在始终线l2, 使 ABE 的面积为？如存在,求出直线l2 的方程.如不存在,说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）解：由于,所以,所以,又由于 |AB|=1 ,所以,即：,即,所以椭圆的标准方程为（ 2）解：直线 l1斜率必存在,且纵截距为2,设直线为 y=kx+2 联立直线 l1 和椭圆方程

20、,得：（ 3+4k2）x2 +16kx+4=0,由 0,得（ * ）,设 P（ x1, y1）, Q（ x2, y2）,就（ 1）以 PQ 直径的圆恰过原点,所以OP OQ,即x1 x2+y1y2=0,也即 x1x2+（ kx1 +2）（ kx2+2） =0,即（ 1+k2） x1x2+2k（x1+x2） +4=0,将（ 1）式代入,得+4=0,即 4（ 1+k2） 32k2+4（ 3+4k2） =0,解得,中意（ *）式,所以所以直线方程为y=x+2（ 3）解：由方程组,得（ 3t 2+4） y2+6ty 9=0（ * ） 设 A（ x1 , y1）, B（ x2 , y2）,就所以,由于直

21、线 l： x=ty+1 过点 F（1 ,0）,所以S ABE=|EF|.|y 1 y2|= 2=令=2,就不成立,故不存在直线l 中意题意.21、已知函数 f（ x） =alnx+x2+bx（ a 为实常数） 1如 a= 2, b= 3,求 f（ x）的单调区间.(2) 如 b=0,且 a 2e2 , 求函数 f（ x）在1 , e上的最小值及相应的x 值.(3) 设 b=0,如存在 x 1, e ,使得 f（ x） （ a+2） x 成立,求实数a 的取值范畴（ 1）解： a= 2,b=3 时, f（x） = 2lnx+x2 3x,定义域为（ 0, +）,当 x（ 0, 2）时, f （ x

22、） 0 ,当 x（ 2, +）时, f （ x） 0,所以函数 f（ x）的单调增区间为（ 2, +）.单调减区间为（ 0, 2）.（ 2）解：由于 b=0,所以 f（x） =alnx+x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, x 1 ,e , 2x+a a+2, a+2e,（ i） 如 a 2,f （ x）在 1 ,e 上非负（仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a= 2, x=1 时, f（ x） =0）,故函数 f（ x）在 1, e 上是增函数,此时f （ x） min=f（ 1） =1.（ ii ）如 2e2 a 2 ,a+20, a+2e20, x

23、 1, e ,当时, f（ x） =0,当时, f （ x） 0,此时 f（ x）是减函数.当时, f （ x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0,此时 f（ x）是增函数故.（ 3）解： b=0, f（ x） =alnx+x2 不等） x式 f（ x）（ a+2） x, 即 alnx+x2（ a+2） x 可化为 a（ x lnx2 2x由于 x 1 , e,所以 lnx 1且x等号不能同时取,所以lnx x,即 x lnx 0,因而（ x 1 , e）,令（ x 1 ,e ）,又,当 x 1, e 时, x 10, lnx ,1x+2 2lnx 0 ,从而 g（ x） 0

24、（仅当 x=1 时取等号）,所以g（ x）在1 , e上为增函数,故g（ x）的最小值为 g（ 1） =1,所以实数 a 的取值范畴是 1, +）.请考生在 22,23 两题中任选一题作答,假如多做,就按所做的第一题计分.22、（此题满分10 分）在直角坐标系xOy 中,直线 l 的参数方程为（ t 为参数）在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位且以原点O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴）中,圆C 的方程为 =6sin1求圆 C 的直角坐标方程.2设圆 C与直线 l 交于点 A, B如点 P 的坐标为（ 1,2）,求 |PA|+|PB|的最小值（ 1）解：由 =6sin 得 2 =

25、6 sin,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即 x2+（ y 3） 2=9（ 2）解：将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得t 2+2（ cos sin ） t 7=0 由 =（2cos 2sin ） 2+47 0,故可设 t 1 , t2 是上述方程的两根,所以又直线 l 过点（ 1, 2）,故结合 t 的几何意义得 |PA|+|PB|=所以 |PA|+|PB|的最小值为23（此题满分 10 分）设函数 f（ x）=|2x+2| |x 2| （）求不等式f（ x） 2 的解集.（）如.x R, f（ x）2tt 恒成立,求实数 t 的取值范畴解：（）函数 f（x） =|2x+2| |x 2|=,当 x 1 时,不等式即 x 4 2,求得 x 6, x 6当 1x 2 时,不等式即 3x2,求得 x,x 2当 x2时,不等式即 x+4 2,求得 x 2, x2综上所述,不等式的解集为x|x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 x 6（）由以上可得f（ x）的最小值为 f（ 1） =3,如 .xR, f（ x2t 恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_） t只要 3t2t,即 2t 2 7t+6 0,求得t .2可编辑资料 - - - 欢迎下载