2022年高中数学-柱锥台和球的体积教案 .docx

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1、精品_精品资料_柱、锥、台和球的体积示范教案整体设计教学分析本节教材介绍了祖暅原理,并利用长方体体积推导出了柱体的体积公式利用柱体体积推导出了锥体和台体的体积直接给出了球的体积公式值得留意的是教学重点放在体积的运算和应用,尽量在体积公式的推导上少“蛮缠” 三维目标1. 把握柱、锥、台和球的体积公式,培育同学的探究才能2. 能够利用体积公式解决有关应用问题,提高同学解决实际问题的才能 重点难点教学重点：体积的运算和应用 教学难点：体积公式的推导 课时支配1 课时教学过程导入新课设计 1. 我们在中学的学习中已经会依据长方体的长、宽、高来运算长方体的体积了, 那么,棱柱、棱锥、棱台以及圆柱、圆锥、

2、圆台的体积如何运算了？设计 2. 被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔,在 1889 年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中, 胡夫大金字塔始终是世界上最高的建筑物在四千多年前生产工具很落后的中古时代, 埃及人是怎样采集、 搬运数量如此之多, 每块又如此之重的巨石垒成如此雄伟的大金字塔的,真是一个非常难解的谜胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑,塔底边长,塔高,假设知道每块石块的体积,你能运算出建此金字塔用了多少石块吗？ 推动新课新知探究提出问题1回忆长方体、正方体和圆柱的体积公式,你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？,2比较柱体、 锥体、台体的体积公式： ,V 柱体

3、 ShS 为底面积,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h 为柱体的高.,V1锥体 3ShS 为底面积, h 为锥体的高. ,V1台体 3S rSS 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ShS、S 分别为上、 下底面积, h 为台体的高., 你能发觉三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特别”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特别”形式？争论结果：32(1) 棱长为 a 的正方体的体积 V a a a Sh.2长方体的长、宽和高分别为a、b、c,其体积为 V abc abc Sh. 底面半径为 r 高为 h 的圆柱的体积是 Vr h Sh,可以类比,一般

4、的柱体的体积也是V Sh,其中 S 是底面面积, h 为柱体的高11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆锥的体积公式是VShS 为底面面积, h 为高 ,它是同底等高的圆柱的体积的. 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的3,即棱锥的体积 V 3ShS 为底面面积, h 为高 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可见, 棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底面面积乘高.棱锥与圆锥的体积公式类1似,都是底面面积乘高的3.由于圆台 棱台 是由圆锥 棱锥 截成的,因此可以利用两

5、个锥体的体积差,得到圆台 棱1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_台 的体积公式 V台 高SSS Sh,其中 S、 S 分别为上、下底面面积,h 为圆台 棱3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：不要求推导公式,也不要求记忆(2) 柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体因此柱体、锥体可以看作“特别”的台体当S 0 时,台体的体积公式变为锥体的体积公式.当 S S 时,台体的体积公式变为柱体的体积公式,因此,柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特别”形式柱体和锥体可以看作由台体变化得到,柱体可以看作是上、 下底面相同的台体,

6、锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体,因此很简洁得出它们之间的体积关系,如以下图：应用例如思路 1例 1 如以下图所示, 在长方体 ABCDABCD中, 用截面截下一个棱锥CADD,求棱锥 CADD的体积与剩余部分的体积之比解： 已知长方体可以看成直四棱柱ADDA BCCB,设它的底面ADDA面积为 S,高为 h,就它的体积为VSh.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于棱锥 CADD的底面面积为11112S,高是 h,所以棱锥 CADD的体积VCADD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 Sh 3Sh. 615可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余

7、下的体积是 Sh 6ShSh. 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以棱锥 CADD的体积与剩余部分的体积之比为15.变式训练已知一正四棱台的上底边长为4 cm,下底边长为 8 cm,高为 3 cm. 求其体积1122223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： VS 上 S 下S上 S下h 4 333 8 4 8 3 112cm 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即正四棱台的体积为112 cm .例 2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯 以下图 ,共重 5.8 kg. 已知螺帽的底面六边形边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3长是 12

8、mm,高是 10 mm,内孔直径是 10 mm,这一堆螺帽约有多少个 铁的密度是7.8 g/cm , 3.14.解： 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差12333由于 V 正六棱柱 6 21212 sin60 10312 2 103.74 10 mm ,233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V 圆柱 3.14 10 2100.785 10 mm ,33333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以一个螺帽的体积V3.74 100.785 102.96 10mm 2.96cm 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32因此约有 5.8

9、 10 7.8 2.96 2.5 10 个 答：这堆螺帽约有250 个 变式训练埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 年,其外形为正四棱锥金字塔高146.6 m ,底面边长 230.4 m 问这座金字塔的侧面积和体积各是多少？解： 如以下图, AC为高, BC为底面的边心距,就AC 146.6 , BC 115.2 ,底面周长 c4230.4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S 侧面积 1cAB124230.4 错误 . 85 91 6.2m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V 3SAC 3 146.

10、6 2 594 046.0m2答：金字塔的侧面积约是85 916.2 m 3,体积约是 2 594 046.0 m.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路 2例 3 如以下图所示, 一个空间几何体的主视图、左视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形,假如直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B.12 C.113D.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_活动：让同学将三视图复原为实物图,争论和沟通该几何体的结构特点解析： 依据三视图, 可知该几何体是三棱锥,以下图所示为该三棱锥的直观图,并且侧可编辑资料 - -

11、 - 欢迎下载精品_精品资料_棱 PAAB, PAAC,ABAC.就该三棱锥的高是PA,底面三角形是直角三角形,所以这个几可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_何体的体积为V1SABCPA 3111 1 . 326可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： D点评： 此题主要考查几何体的三视图和体积 给出几何体的三视图, 求该几何体的体积或面积时, 第一依据三视图确定该几何体的结构特点, 再利用公式求得 此类题目成为新课标高考的热点,应引起重视变式训练1假如一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为可编

12、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3A.3B.233C.3D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由三视图知该几何体是圆锥,且轴截面是等边三角形,其边长等于底面直径2,12就圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3,所以这个几何体的体积为V 31 33 3.答案： A以下图所示的矩形,正视图 或称主视图 是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图 或称左视图 是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形(1) 求该几何体的体积V.(2) 求该几何体的侧面积S.解： 以下图所示, AB 8, BC 6,高 VO 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

13、(1) V 18 6 4 64.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形,侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在 VBC中, BC边上的高为 h1VO2在 VAB中, AB边上的高为 h2VO1AB22BC221824 2264 2 42,22 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以此几何体的侧面积S 2 264 2285 40 242.点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式：一是给出三视图, 求其面积或体积

14、. 二是与组合体有关的面积和体积的运算.三是在解答题中, 作为最终一问, 求出几何体的面积或体积3. 2022 山东省烟台市高三期末统考,文6已知一个全面积为24 的正方体,内有一个与每条棱都相切的球,就此球的体积为4A. 3B43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_246C.3D.8232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 设正方体的棱长为a,就 6a 24,解得 a 2,又球与正方体的每条棱都相切,43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就正方体的截面对角线长22等于球的直径,就球的半径是2,就此球的体积为82 3.答案： D3 2可编辑资料 -

15、 - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 球与其他几何体的简洁组合体问题,通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特点及其联系, 此题利用正方体的面的对角线长等于球的直径这一隐含条件使得问题顺当获解知能训练1. 三个球的半径之比为123,那么最大球的外表积是其余两个球的外表积之和的A. 1 倍B 2 倍倍C. 9D.7倍54解析： 依据球的外表积等于其大圆面积的4 倍,可设最小的一个半径为r ,就另两个为22r 、 3r ,所以各球的外表积分别为4r2、16r2、36r2,36r 9 倍 224r16r5答案： C2. 2022 天津高考,理12一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且

16、一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3 ,就此球的外表积为22214可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 长方体的对角线为1 2 34 14 2 14.2答案： 14 14,就球的半径为2 ,就球的外表积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,假设该球的体积为43,就该正方体的外表积为4 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 433 R , R 3R 为球的半径 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3a 2R 23.a 2a 为正方体棱长 2S表 6a 24.答案： 24以下图所示,圆柱的底

17、面直径与高都等于球的直径,求证：2(1) 球的体积等于圆柱体积的3.(2) 球的外表积等于圆柱的侧面积活动： 同学摸索圆柱和球的结构特点,并绽开空间想象 老师可以使用信息技术帮忙同学读懂图形证明： 1 设球的半径为R,就圆柱的底面半径为R,高为 2R.4323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 V 球 所以 V 球 R, V 圆柱 R2R2R , 32V 圆柱3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 由于 S 球4R,S 圆柱侧 2R2R4R ,所以 S 球 S 圆柱侧5养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐 供融解高速大路上的积雪之用 ,已建的仓库的底面直径为12

18、 m,高 4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原先大4 m高不变 .二是高度增加 4 m底面直径不变 (1) 分别运算按这两种方案所建的仓库的体积.(2) 分别运算按这两种方案所建的仓库的侧面积.(3) 哪个方案更经济些？解： 1 假如按方案一,仓库的底面直径变成16 m,就仓库的体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V 1116 22563可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1Sh 33 2 43 m 1112 2288可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如按方案二,仓库的高变成8 m,就仓库的体

19、积V2 3 Sh 3 2 8 33m 222 假如按方案一, 仓库的底面直径变成16 m,半径为 8 m棱锥的母线长为 l 8 445.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2就仓库的外表积 S1 84 5 325m 22假如按方案二,仓库的高变成8 m,棱锥的母线长为l 8 6 10,2就仓库的侧面积 S2 61060m 3 V2V1, S2S1,方案二比方案一更加经济 拓展提升1. 如左以下图,一个正三棱柱形容器,底面边长为 a,高为 2a,内装水假设干,将容器放倒,把一个侧面作为底面, 如右以下图, 这时水面恰好为中截面, 就左以下图中容器内水面的高度是 分析： 右上图中容器内

20、水面的高度为h,水的体积为 V, 就 VSABCh.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又右上图中水组成了一个直四棱柱,其底面积为33SABC,高度为 2a, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 VSABC2a, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h34SABC2a32SABC a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3答案： 2a2. 圆台的两个底面半径分别为2、4,截得这个圆台的圆锥的高为6,就这个圆台的体积是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解析： 设这个圆台的高为h

21、,画出圆台的轴截面,可得46 h,解得 h 3,所以这个6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆台的体积是3 2 24 4 328.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 28 课堂小结本节学习了：1. 简洁几何体的体积公式2. 解决有关运算问题设计感想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_新课标对本节内容的要求是明白柱体、锥体、台体的外表积和体积的运算公式 不要求记忆公式 ,也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求,按通常的懂得是会求体积和面积, 以及很简洁的应用即可因此本节教学设计中就表达了

22、这一点,把重点放在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_了对公式的简洁应用上由于本节图形较多,建议在使用时,尽量结合信息技术备课资料 从洗澡的故事说起关于阿基米德, 流传着这样一段好玩的故事相传叙拉古赫国王让工匠替他做了一顶纯 金的王冠, 做好后, 国王疑心工匠在金冠中掺了假,但这顶金冠的确与起初交给金匠的纯金一样重, 究竟工匠有没有捣鬼了？既想检验真假,又不能破坏王冠, 这个问题不仅难倒了国王,也使诸大臣们面面相觑后来,国王请阿基米德来检验最初,阿基米德也是冥思苦想而不得要领一天,他去澡堂洗澡, 当他坐进澡盆里时, 看到水往外溢,同时感到身体被轻轻托起 他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的方法, 来确定金冠的比重 他兴奋的跳出澡盆, 连衣服都顾不得穿就跑了出去,大声喊着：“尤里卡；尤里卡；” Fureka ,意思是“我知道了”他经过了进一步的试验以后来到王宫,他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆 里,比较两盆溢出来的水, 发觉放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大,所以证明白王冠里掺进了其他金属他的这一发觉在物理学课本上被称作“阿基米德原理”,是流体静力学中的第一个基本原理可编辑资料 - - - 欢迎下载