2022年高中数学一轮复习列知识点梳理及数列通项公式的求法总结素材新人教版.docx

《2022年高中数学一轮复习列知识点梳理及数列通项公式的求法总结素材新人教版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学一轮复习列知识点梳理及数列通项公式的求法总结素材新人教版.docx（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_其次章 数 列 2.1 数列的概念与简洁的表示法一、学问要点梳理学问点一：数列的概念按肯定次序排列的一列数,如1,1,*2, 3, 5, an,可简记为 a n .留意 ： 数列可以看作是定义在N 或其子集1 , 2, 3, n 上的函数,与以前常见函数的不同主要在于：就最终的通项公式可以统一写成一个形式,否就就只能写成分段的形式. 2.2等差数列及其前n 项和一、学问要点梳理学问点一 等差数列的概念（ 1）定义：假如一个数列从其次项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d , 这个数列叫做等差数列,常数d 称为等差数列的公差 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

2、(1) 定义域是离散的因而其图象也是离散的单点集.2 有序. 学问点二：（ 2）等差中项： 假如a, A, b 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 . 即： A是 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的表示 1 列举法：如 -2 , -5 , -8 ,与 b 的等差中项2 Aaba , A , b 成等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*(2) 图象法：由点组成的图象.是离散的点集.3 解析式法：类似于函数的解析法, 数列的解析法就是给出了数列的通项公式 an=fn,n N .学问点二 等差数列的通项公式通项公式： ana1n1 d

3、am nm d, a1 为首项, d 为公差 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 递推：利用数列的第n 项与它前面如干项的关系及初始值确定.如an=an-1 +an-2 n 3 ,且 a1=1, a2 =1.学问点三 等差数列的前 n 项和公式 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： 并不是每个数列都能写出它的数列通项公式.数列的通项假如存在,也不肯定唯独.数列的列举法与集合的列举法不一样,主要就是有序与无序的差别.n a1Sn2an na1nn21) d= an2bn （常数项为 0 的二次式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用递推关系表

4、示数列时,需要有相应个数的初始值.学问点三：数列的分类（ 1）按项数：有限数列和无限数列.（ 2）按单调性：常数列、摇摆数列、单知 识 点 四等 差 数 列 的 常 用 性 质 （ 1 ） 如 mnpq , 那 么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_调数列 递增数列、递减数列 .amana paq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 递增数列 : 对于任何 n 递减数列 : 对于任何 nN , 均有N , 均有an 1an 1an .an .特殊的,如 mn2 p ,就 aman2ap .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 摇摆数列 : 例如 :1,1,

5、1,1, 1,. 常数数列 : 例如:6,6,6,6, .（2） an常数,amna0 md. ananb a , b 是常数 . Snanbn a , b 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点四：数列的通项公式与前项和公式任意数列3 如 an等差数列 , 就 Sk , S2 kSk , S3kS2 k仍成等差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的前 n 项和,于是,所（4） 等差数列中,求使前n 项和最大 小 的项数的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递减数列 ,求 Sn 最大, 令 an0 ,求正数项. 递增数列 ,求 Sn 最小, 令

6、an0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以有：留意： 由前 n 项和求数列通项时,要分三步进行：（ 1）求.（ 2）求负数项 . 当然,解决此类型题目仍可以利用二次函数的性质,但解一次不等式的方法仍是最快的方法.学问点五 等差数列的判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求出当 n 2 时的. 定义法：an 1and （ nN , d 是常数）an是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） 假如令 n 2 时得出的中的 n=1 时有成立,

7、中项法：2an 1anan2 nN an是等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.3 等比数列及前 n 项和一、学问要点梳理1、等比数列的定义： 假如一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用（ 2）、当 m n=p q（m、n、q、pN* ）时,有 aman=apaq. 特殊的, 如 2 p2就 amanapmn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_字母 q 表示（ 3） 等比数列 a： S , SS , SS仍成等比数列（ q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

8、_留意 : （ 1） q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比,次序不要错.（ 2）由定义可知,等比数列的任意n 1 或 k 为奇数）k2kk3k2 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、等比数列的前 n 项和公式一项都不为 0,因而公比 q 也不为 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） 公比 q 可为正数、负数,特殊当q=1 时,为常数列a1,a 1, . q= 1 时,S数列为 a1, a1,a 1, a1 , .nna1a1 1q n q1a1anq q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等比数列的通项公式： ana qnm11

9、aqn m1q1- q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 、等比中项： 假如在 a 与 b 中间插入一个数G,使 a, G, b 成等比数列,那么G2叫做 a 与 b 的等比中项即 G = a b 4 、等比数列的判定方法（ 1）、 an=an 1q（n2）, q 是不为零的常数,an 10 a n 是等比数列 .2（ 2） 、an =an 1an 1（ n2, a n 1,a n,a n 10）a n 是等比数列 .2.4数列的通项公式及求和一数列通项公式的求法（一）、观看法数列从定义角度看,是按肯定次序排列的一列数,因而它不是杂乱无章的,它是有规律可循的.所以,我们可以依据

10、数列的前几项,观看每一项与项数的关系, 从而写出数列的同项公式.例：依据数列前四项,写出它的一个通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（ 3） 、an=cq（ c, q 均是不为零的常数）a n 是等比数列 .n 111 ,-223 ,- 4,34527,77, 777, 7777, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）、 如某数列前 n 项和公式为Sn=aa 0, 1 ,就 a n 成等比数列 .149162 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 1,2,3,4, 41, , , 可编辑

11、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、等比数列的性质: 设a n 为等比数列,首项为a1,公比为 q.251017325可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a =a qn m（m、nN*） .解： 1 a 1 n 1na7 10n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn12nn19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n 2ann2n1 42ann1点拨：用配凑法,配凑常数“”,使an 1cand 构成c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关键： 把握第 n 项与an 的关系,

12、把每一项用项数表示.等比数列,从而 ana 1cn1,从而求出an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）、公式法（也称待定系数法）解： an 1can ,就 an 12 an33 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如数列为特殊数列如是等差数列或等比数列,只需求出接写出通项公式.a1 与 d 或a1 与 q,可直令3 12,得-3an 13an32, an33 为等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：已知等差数列an 中, a 35, a79 ,求通项公式 an3a12 n133,从而

13、an32 2) n 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知等比数列bn 中, b59, S339 ,求通项公式关键 ：通过变换的推关系,将非等差或等比数列转化为与等差等比数列有关的数列,从而求得通项公式的方法是由递推公式求通项公式的常用方法.常用转化过程有： 配凑、消项变换、倒数变换、取对数变换、换元变换等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 ana1n1) d,从而可解.练习： 1. 已知数列a中, a1, aan,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可设 bnbq n1, Sb11n1q n q1qq=1舍去 n1n 14n112an

14、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关键 ：设出通项公式,解方程即得（三）、构造法原数列不是等差或等比数列,但对已知的等式进行适当变形,可得新数列为等差或等比数列,从而求出通项公式.2.已知数列an中, a12, an 1an6 ,求5an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1、数列an 中, a12, an2an 1n an 122) ,求 an（四）、叠加法例：已知求a12, an 1ann,求 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨,可用倒数变换,将其转化为等差或等比数列.可编辑资料 - -

15、 - 欢迎下载精品_精品资料_解：取倒数得：111 ,令 b11,就 bnbn 1解：当 n1,2,3, n1 时,可得 n-1 个等式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nanan 12an2a 2a11, a 3a22, a4a 33, anan 1n1 共有 n-1 个等式, 将可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnb1 n11 ,bb12n 即a2n2n其相加,得 ana1123n1 , an2nn1nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、已知数列an, a11, an 12 a1 ,求 a 3关键 ：对形如an 1anf n 的递推公

16、式求通项公式,只要f n可求和,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_便可利用累加的方法.练习：已知数列an中, a12, an 1an3n ,求数列的通项公式.例 1数列an的前 n 项和 Sn1 2 an ,求通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分 析 ： 由 已 知 条 件 Sn12an, 可 知Sn 与an 的 关 系 , 可 借 助 于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1Sn 1Sn ,可将条件转化为关于 Sn 的递推公式, 进而求出数列的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

17、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（五）、叠乘法例：已知 a12,2 n 1anan 1 ,求 an解： S1a112a1 , a11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n解： 2 n 1aanan 1 ,得a12 n 1,当 n1,2,3,n1 时,可得 n-1个 Sn S12an , Sn 1S2a12an 1a 即 a2aa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n 1n 1nn 1nn 1n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2等式：a11 , a32 a21 ,

18、a4322a1 ,23anan 112 n 1,左边相乘,右边相乘 an 12 an n1 , ana2 n1 n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1112311n 1n n 1 an2 n 1 n2 .又 n=1 时适合上式,就 an2 n 1 nN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1222222关键 ：如 an 和 Sn 在一个等式中, 一般可利用an 与Sn 关系,构造关于 an 或 Sn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an 1 2n n 12的递推公式,再进一步确定an 或 Sn

19、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关键 ：对于形如anan 1ng n 的递推公式,只要g n可求积,便可利用累练习：已知数列an 中, an0, a11 ,且 2Snan1 ,求 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_乘的方法.练习：已知数列an 中, a15, anan 15 n ,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（六）、含an 与 Sn 类型二、数列的求和方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一）、 公式法： 利用以下常用求

20、和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 等差数列求和公式：Snn a12an na1nn21 dn3464nn8 25050n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等比数列求和公式：Sna1a 1qn aq1a q81可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11n1q1q q1 当n,即 n 8 时,8f nmax50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 Snn1kk 12n n1 4 、 Snn21kk 16nn1 2n1（二）、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的

21、方法,这种方法主要用于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 Snnk 31 nn1 2求数列 a n bn 的前 n 项和,其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 12123n 例 3 求和： Sn13x5 x27 x3 2n1x n 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 1已知log 3 x,求 xxx log 2 3x的前 n 项和.解：由题可知, 2 n1 xn1 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

22、品_精品资料_解：由log 3 x1log 3 x1log 3 2x xn1 的通项之积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log 2 3由等比数列求和公式得Sxx2x32x n （利用常用公式）Sn13 x5x 27 x3 2n1x n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1 11 xSn1x3 x25 x37 x4 2n1x n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n x11x 2x121 112 n2得 1相减）x) Sn12x2 x 22x32 x42x n 12 n1) xn（错位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_* 例 2设

23、Sn 1+2+3+n, n N , 求f nSn n32Sn的最大值 .1再利用等比数列的求和公式得：1xSn12x1xn 11x2n1) x n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由等差数列求和公式得1 n n1 ,Sn 11 n1 n2) （利用常用 Sn2nn 11) x2nn1x21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn22公式）2461x2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f nSn 2n32 Sn 1nn34n64 例 4求数列,2 ,3 ,222,n , 2前 n 项的和 .可编辑

24、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由题可知, 2n 的通项是等差数列2n 的通项与等比数列2n1 的通项之积n2Sn2n1C 02 n1C 13C n 1C n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Sn246222232n2 n +得2Sn2n2 C 01n 1C n 2n1 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nCCnnn1 S2462n （设制错位）（反序相加） Sn1 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n2223242n 1 例 6求 sin 2 1nsin 2 2sin 2 3sin 2 88sin2 89 的值可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122221S22n解：设22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n22223242 n2 n 1Ssin1sin2sin3sin88sin89 . 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212 n将式右边反序得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Snn 1n 122n242n 1Ssin 2 89sin 2 88sin 2 3sin 2 2sin 2 1 （反序）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2练习：求： Sn=1+5x+9x+ +4n

26、-3xn-1又由于sin xcos90x, sin 2 xcos2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ +得 （反序相加）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2Ssin 2 1cos2 1 sin 2 2cos2 2 sin 2 89cos 2 89 89可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S 44.5练习：已知 lgxy=a,求 S,其中 Slg xnlg xn1 ylg xn2 y2 lg yn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）、反序相加法求和解:将和式 S 中各项反序排列,得可

27、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列slg ynlg xn1 ylg xn2 y 2 . . .lg xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n 个 a1an .将此和式与原和式两边对应相加,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Cn 例 5求证：03C 15C 22n1) C nn12 n2S=lg xyn + lgxy n+ +Cn+1项lg xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 设 Sn03C 15C 22n1C n

28、 .=nn+1lgxy lgxy=a S=12 nn+1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnnnnn把式右边倒转过来得（四）、分组法求和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn 2n1) C n 2n1C n13C 1C 0 （反序）有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn又由 Cnn mmCn可得分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 7求数列的前 n

29、项和： 11, 1a14,2a7,1n1a3n2 ,解： Sn111213248. n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 Sn11 1a4 17a 21 an 13n21 23 .n 112221.1 3n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将其每一项拆开再重新组合得1nn 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n11122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn12aan 1 a1473n2 （分组） 五 、裂项法求和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 1 时, Snn3n 2111) n3n1) n

30、2（分组求和）这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时, Snan3n11a1n2aa1 na13n21n分解（裂项） 如：sin1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 8求数列 nn+12n+1的前 n 项和 .（ 1）anf n1f n（2）cosncosn1tann1tan n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 aknk k1 2k1n2k 33k 2k（3） an1n n111nn1可编辑资料

31、- - - 欢迎下载精品_精品资料_ Snk kk 11 2k1 k32 2k3k1k 将其每一项拆开再重新组合得（4） an22n11 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 2k3k 1n3k 2k 1nk （分组）k 1（5） an2n1 2n1122n11 12 n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2132322n3 31222n 2 12n6an nn21 n122n2nn11) n1n1 n211,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n n12nn1 2 n12n n21) （分组求和）n就Snnn11) 2n1nnn12nn2n 1n1 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ nn1112 n22, . .11n 例 9求数列1 21,1122,1,3nn1