2022年高中数学概率与统计知识点.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学之概率与统计求等可能性大事、互斥大事和相互独立大事的概率解此类题目常应用以下学问:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1等可能性大事 古典概型 的概率： PA 等可能大事概率的运算步骤：运算一次试验的基本领件总数n ;card Amcard I n ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设所求大事A,并运算大事A 包含的基本领件的个数m ;P Am可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依公式n 求值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答,即给问题一

2、个明确的答复.2互斥大事有一个发生的概率：PA B PA PB;特例：对立大事的概率：PA P A PA A 1.3相互独立大事同时发生的概率：PA B PA PB;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n特例：独立重复试验的概率：PnkC k pk 1p nk.其中 P 为大事A 在一次试验中发生的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_概率,此式为二项式1-P+Pn 绽开的第 k+1 项.4解决概率问题要留意“四个步骤,一个结合”：求概率的步骤是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一步,确定大事性质等可能大事互斥大事 独立大事n 次独立重复试验可编辑资料

3、- - - 欢迎下载精品_精品资料_即所给的问题归结为四类大事中的某一种.和大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次步,判定大事的运算积大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即是至少有一个发生,仍是同时发生,分别运用相加或相乘大事.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等可能大事 :mP An可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn互斥大事： 独立大事：P AB P A B P AP AP BP B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三步,运用公式n 次独立重复试验:P kC k p k 1p n k求解可编辑资料 - - -

4、 欢迎下载精品_精品资料_第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.例 1在五个数字1,2,3,4,5 中,如随机取出三个数字,就剩下两个数字都是奇数的概率是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（结果用数值表示） C1C5P333 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答过程 0.3 提示 :354102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2一个总体含有100 个个体,以简洁随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5 的样本,就指定的某个个体被抽到的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - -

5、- -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 .P解答过程 20 提示 :51 .10020可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3.接种某疫苗后,显现发热反应的概率为0.80. 现有 5 人接种该疫苗,至少有3 人显现发热反应的概率为 .（精确到0.01） 考查目的 此题主要考查运用组合、概率的基本学问和分类计数原懂得决问题的才能,以及推理和运算才能.解答提示 至少有 3 人显现发热反

6、应的概率为C3 0.803 0.202C4 0.804 0.20C5 0.8050.94555.故填 0.94.离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母 、等表示 .随机变量可能取的值,可以按肯定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列的概念和性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,设离散型随机变量可能取的值为x1 ,x2 , xi ,取每一个值xi（ i1,可编辑资料 - -

7、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,）的概率P（xi ） = Pi ,就称下表 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2xiPP1P2Pi为随机变量的概率分布,简称的分布列 .由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） Pi0 , i1, 2,;（ 2） P1P2=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布kn 次独立重复试验中, 大事 A 发生的次数是一个随机变量, 其全部可能的取值为0,1,2,可编辑

8、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n,并且 PkPk npk q nk,其中 0kn , q1p ,随机变量的分布列如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Cn01kn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nPC 0 p0 qn11n 1Cn p qkkn kC n p qC n pn q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称 这 样 随 机 变 量服 从 二 项 分 布 , 记 作 B n , p, 其 中 n 、 p 为 参 数 , 并 记 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

9、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C k pk qn kb k ; n , p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n.（2） 几何分布在独立重复试验中,某大事第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -随机变量,“k ”表示在第k 次独立重复试验时大事第一次发生.随机变量的概率分

10、布为：123k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1Ppqpq2 pqk 1 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取肯定数量的产品做检验,以打算是否接收这批产品.（）如厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4 件进行检验 ,求至少有1件是合格的概率.（）如厂家发给商家20 件产品中 ,其中有 3 件不合格 ,按合同规定该商家从中任取2 件.都进行检验 ,只有 2 件都合格时才接收这批产品.否就拒收 ,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望E,并求出该商家拒收这批产

11、品的概率.解答过程 （）记“厂家任取4 件产品检验,其中至少有1 件是合格品”为大事A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PA用对立大事A 来算,有1P A10.240.9984可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）可能的取值为0,1, 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C2C2P01720136190 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C C11C2P13 1720C2C2P232051190 ,3190可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_012136513190190190PE013615123319019019010

12、 记“商家任取2 件产品检验,都合格”为大事B,就商家拒收这批产品的概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P1P B11362719095 27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以商家拒收这批产品的概率为例 1295 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答疑题者进入下一轮考核,否就即被432可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_剔除 . 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为5、 5 、 5 ,且各轮问题能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - -

13、- - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -否正确回答互不影响.（）求该选手被剔除的概率;（）该选手在选拔中回答疑题的个数记为,求随机变量的分布列与数学期望.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（注：本小题结果可用分数表示） 解答过程 解法一：（）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的大事为Ai i1,2,3 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3P A 4P A 3P A 255512,该选手被剔

14、除的概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PPA1A1 A2A2 A2 A3 PA1P A1 PA2 P A1 PA2 P A3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）的可能值为 1,2,3 ,1142433101555555125 P1P A15 ,428可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P 2P A1 A2 P A1 P A2 P3P A A P A P A 5525 ,4312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 2125525 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的分布列

15、为123181252525P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_181257E1235252525 P A 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：（）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的大事为Ai i1,2,3 ,就15 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A2 32P A35 ,5 1432101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_该选手被剔除的概率（）同解法一P1P A1A2 A31PA1 PA2 PA3555125 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离散型随机变量

16、的期望与方差随机变量的数学期望和方差1离散型随机变量的数学期望：Ex1 p1x2 p2.期望反映随机变量取值的平均水可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平.离散型随机变量的方差：D x1E 2 p x2E 2 p xnE 2 p.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n.方差反映随机变量取值的稳固与波动,集中与离散的程度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本性质：E abaEb . D aba2 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名

17、师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4如 Bn,p,就Enp;D=npq（这里 q=1-p ） ;E1q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如随机变量听从几何分布,Pkgk, p ,就p , D= p其中 q=1-p.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别

18、为 、 , 和的分布列如下：012012P613P532101010101010就比较两名工人的技术水平的高低为.思路： 一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望. 二是要看出次品数的波动情形,即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数 的期望和方差分别为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E0611231010100.7,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D020.76110210.7102320.7100.891.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_工人乙生产出次品数 的期望

19、和方差分别为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E0513221010100.7D, 00.70.664可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25120.73 220.72101010由 E =E 知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但DD,可见乙的技术比较稳固 .小结： 期望反映随机变量取值的平均水平.方差反映随机变量取值的稳固与波动,集中与离散的程度 .例 2.某商场经销某商品,依据以往资料统计,顾客采纳的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采纳1 期付款,其利润为200 元.分 2 期或 3 期付款,其利润为250

20、元.分 4 期或 5 期付款,其利润为300 元表示经销一件该商品的利润可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求大事A ：“购买该商品的3 位顾客中,至少有1 位采纳 1 期付款”的概率P A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求的分布列及期望E解答过程 （）由A 表示大事“购买该商品的3 位顾客中至少有1 位采纳 1 期付款”知 A 表示大事“购买该商品的3 位顾客中无人采纳1 期付款”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A10.420.216 ,P A1P A10.2160.784可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

21、- - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（）的可能取值为200 元, 250 元, 300 元P200P10.4 ,P250P2P30.20.20.4 ,P3001P200P25010.40.40.2 的分布列为200250300P0.40.40.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E2000.42500.43000.2240 （元）可编辑资料

22、- - - 欢迎下载精品_精品资料_抽样方法与总体分布的估量抽样方法1简洁随机抽样：设一个总体的个数为N,假如通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本, 且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简洁随机抽样.常用抽签法和随机数表法 .2系统抽样：当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后依据预先定出 的规章,从每一部分抽取1 个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样） .3分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后依据各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估量由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分

23、布去估量总体的分布,一般的, 样本容量越大,这种估量就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示,几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线： 当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线典型例题.例 1.某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2：3： 5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本, 样本中 A 种型号产品有16 件 .那么此样本的容量n

24、=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答过程： A 种型号的总体是210 ,就样本容量n=1016802.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2一个总体中有100 个个体,随机编号0, 1, 2, 99,依编号次序平均分成10 个小组,组号依次为1,2, 3, 10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10 的样本,规定如果在第 1 组随机抽取的号码为m ,那么在第k 组中抽取的号码个位数字与mk 的个位数字相同,如 m6 ,就在第 7 组中抽取的号码是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答过程：第K 组的号码为 k110, k110 1, k1109

25、,当 m=6 时,第 k 组抽可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -取的号的个位数字为m+k 的个位数字,所以第7 组中抽取的号码的个位数字为3 ,所以抽取号码为 63正态分布与线性回来1.正态分布的概念及主要性质（1）正态分布的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如连续型随机变量

26、的概率密度函数为f x x1e22 22,xR其中、为常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数,并且 0,就称听从正态分布,记为 N （,2 ） .2（2）期望 E= ,方差 D.（3）正态分布的性质 正态曲线具有以下性质:曲线在x 轴上方,并且关于直线x 对称 .曲线在x= 时处于最高点,由这一点向左右两边延长时,曲线逐步降低.曲线的对称轴位置由 确定. 曲线的外形由确定,越大, 曲线越“矮胖”.反之越“高瘦” .三 原就即为数值分布在（ , 中+的概率为0.6526 数值分布在（ 2, +中2的概率为0.9544数值分布在（ 3, +中3的概率为0.9974（4）标准正态分布当

27、=0,=1 时听从标准的正态分布,记作 N （ 0, 1）（5）两个重要的公式x1 x ,P ab b a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6） N ,2 与N 0,1 二者联系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 N ,2 ,就 N 0,1;2ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如N, ,就Pab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.线性回来简洁的说,线性回来就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数

28、关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回来分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法 .它可以供应变量之间相关关系的体会公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_详细说来,对n 个样本数据（x1, y1）,（x2 , y2 ）,（xn , yn ）,其回来直线方程,或体会公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -

29、 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为： y.bxba .其中nxi yii 1 n2xii 1nxy, an x 2yb x,其中x, y 分别为 |xi | 、| yi| 的平均数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1.假如随机变量 N（ , 2）,且 E =3, D=1,就 P（ 1 1 等于 A.2 （1） 1B. （4） （ 2）C. （2 ） （4）D. （ 4） （ 2）解答过程：对正态分布,=E =3, 2=D =1,故 P（ 1 1）= （ 1 3） （ 13） = （ 2） （ 4） = （ 4） （

30、2） .答案： B例 2. 将温度调剂器放置在贮存着某种液体的容器内,调剂器设定在d ,液体的温度 （单位：）是一个随机变量,且 N（ d, 0.52） .（1）如 d=90,就 89 的概率为.（2）如要保持液体的温度至少为80 的概率不低于0.99,就 d 至少是.（其中如 N（0 ,1）,就 （ 2） =P（ 2） =0.9772, （ 2.327 ） =P（ 2.327） =0.01） .8990可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答过程：（ 1）P（ 89）=F（ 89）=（2）由已知d 满意 0.99 P（ 80）,0.5）=（ 2）=1 （ 2）=1 0.9772=

31、0.0228.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 1 P（ 80） 1 0.01, P（ 80） 0.01.80d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ （0.5） 0.01= （ 2.327） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_80d0.5 2.327.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d 81.1635.故 d 至少为 81.1635.小结：（1）如 N（0, 1）,就 = N（0, 1）.（ 2）标准正态分布的密度函数f（ x）是偶函数, x0 时, f（ x）为减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载