2023年高考一轮复习讲练宝典第1讲 集合与常用逻辑用语讲义（解析版）.docx

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1、2023年高考一轮复习讲练宝典集合与常用退辑用语一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为6和电(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或 N+ZQ.R2 .集合间的基本关系子集：如果集合A的任意一个元素都是集合8的元素，那么集合A称为集合8的子集.记作(或3叫.(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合8的真子集.记作A_3(或B A).(3)相等：假设AU3,且匹4那么A = 8.(

2、4)空集的性质：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3 .集合的基本运算,集合的运算性质 (1)AAA=A, AA0=0, ADB=BnA. (2)AUA=A, AU0=A, AUB=BUA. (3)An(uA)=。，AU(uA)=U, u(uA)=A 5.全称量词与存在量词集合的并集集合的交集集合的补集符号表示AHB假设全集为U,那么集 合A的补集为以图形表示AUBAQBU 0 |CuA|集合表示xxA9 或x3x|xU,且94全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全 所以4njff = x| -1 x 1.(2) 因为4UN = E,所以4UR

3、由(1)得：A = (x| - 2 x 2；当jn=0时，由/一生皿一 5m2式。可解得 = (.不符合acb,舍去；当jn0时，由/ 4mx 5m2式。可解得笈=甘5nl式x式一mJ要使4工曲 只需5二:_；，解得：m 1；所以，m 2.所以实数m的取值范围为：(一. 1 U 2.+).(3) 设关于工的不等式x2 4ox+3a2 o)的解集为M,那么Af = 3。)；不等式组V 一 口的解集为N,那么N = (23； l+Zx-SX)要使P是的必要不充分条件，只需N M,即占三刍，解得：la2 3部一,，即实数，的取值范围(L2【例题4-4(2022北京丰台二模)设A = 3i.bd，殳=

4、皿2，同，是Ji + l(7iEN*)个互不相同的闭区间，假设存在实数旃使得XoEA(i = 12.7i + l),那么称这71+1个闭区间为聚合区间，Xo为该聚合区间的聚合点.(1)= t2 = 2.sint( 1（比一,* n当人+i bm =时，同理可取i = m 4-1,/ = m,使得比一勺 （比一，综上，存在不同的。7七1, 2, , 71 + 1）使猫也一方之（比一【例题4-5（2022北京朝阳一模）对非空数集X, y,定义X与Y的和集X + Y = 工+切*七又七丫）.对任 意有限集4记|囿为集合4中元素的个数.(1)假设集合=。10, Y = -2, - 1AX2,写出集合X

5、 + X与X + Y；(2)假设集合X = xpXz满足/1V. 3,且|X + X|3,且及EZ(i = 12力，集合B = kEZmk2, m EN),求证：存在集合力满足|4三1 +且XC4+ B【解析】集合X = 05W, Y = -2, - 1A1.2),X + X = 01口152吸 X + Y = (-2. - 1X2346,79,10,1X12)；(1) I”！ + K1 舞1 + *2 *1 +打 *1 + $ *2 + $ *3 + $ 今 + 当，集合X + X中至少包含271 1个元素，所以|X + X|皂271 1,又国=71,由题可知|X + X|2m又|X + X

6、|为整数，A X + X =2ti-1,；？ +又中的所有元素为血+4.*1+独占1+舞33*1+%& + $巧+%”3+0，又+0_L*2 +Xr*3 +$ /t+.是X + X中的271 1 个元素，且*1 + *! H + *1V。+ H V x2 + 1n-T & +% 巧 + q 0，数列X1，%,X1t是等差数列;(2) ;集合8 =他EZ|mA | =2m+l,设 1n *1 = (2m + l)q + r,其中q.r E N.O 式 r 式 2m,设是首项为*i + m，公差为2nl 4-1的等差数列,即, =Xi + m + (i l)(2m +1). i E N ,令集合A

7、 = 1.与 %+i)，贝时囿=l + q = l+嗜子=1+三产式1 +缶， /OkH-Inn * A A-B = *1.舞1 +1 Xi + 2.+ (2m 4- T)q +2m,即4 + jJ = t EZJ4 式 t +(2m+l)q + 2m),Vx = 4 +(2m +1)4/4-r xr + (2m +lq+2m,AA + ffaft e Zlxra 1*仙场巧 xj,所以XC4+H,故存在集合通满足式1 +三子且XCA + R称量词，用符号“Y”表示.(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或局部，称为存 在量词，用符号“3”表示.6 .全称量词命

8、题和存在量词命题7.充分条件、必要条件与充要条件的概念名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x,有仪x)成立存在M中的一个x,使p(x)成立简记PxUM, g(x)3xM9 p(x)否认非 q(x)非 (x)假设p=q，那么是0的充分条件,0是的必要条件p是q的充分不必要条件pnq 且 * pp是q的必要不充分条件p*q 且 q0Pp是q的充要条件poqp是q的既不充分也不必要条件P中q且q卡P二、考点和典型例题1、集合的性质【例题1-1(2022北京密云高三期中)己知集合P=H(1：4,XEZ,且Af那么尚可以是()A. 1,2B. 2,4C. 0,21D. 3,4【详解】因为工4

9、津EZ=L23,又时CF 所以任取那么所以M可能为Z3, A对，又0色M, 4色M, M不可能为2阳,0,2, 3,4, B, C, D 错，应选：A.【例题1-2(2022.山东聊城.二模)集合A = 0,1.2), ff = ob|aEAhEA),那么集合8中元素个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【详解】解：因为4 = 01.2, cl E,A9b E Ay 所以ab = 0或ab = 1或ab = 2或ab = 4,故笈=aba EAbEA) = dL2.4,即集合4中含有4个元素；应选：C【例题1-3(2022.海南海口.模拟预测)集合时=一21, W=x|x2+ax-Z =

10、 0,假设NUM,那么 实数。=()A. 2B. 1C. 0D. -1【详解】对于集合N,因为八=层+8。，所以N中有两个元素，且乘积为-2,又因为N匚M，所以N = 2所以一a = 2 + 1 = 1.即 ci= 1.应选：B.【例题1-4(2022.湖南.雅礼中学二模)集合4=砒可，以下选项中均为A的元素的是()(1)(0(2) 0 (3) 0 (4) 010A. (1) (2)B. (1) (3)C. (2) (3)D. (2) (4)【详解】集合4有两个元素：0和应选：B2、集合的运算 【例题 2-1(2022广东韶关二模)全集 C7=1, 2, 3, 4, 5,集合 A=1, 2,

11、3二2, 3,那么 Cu(AUff)= ( )A. 4, 5B. 1, 2C. 2, 3D. 1, 2, 3, 4【详解】AUff = 1,2,3),那么Q7(4U)=4.5,应选：A.【例题2-2(2022重庆巴蜀中学高三阶段练习)全集为K,集合4 =卜冏晨斗件】)，那么 AncN=( )A. x|x0 B. x|0 xl D. 0【详解】集合A = VG)”0-B注io?却0口1M10=0 x 1-ff = x|0 x 1), QrB = (-.) U (1. + 1.【例题 2-3(2022.河北唐111.二模)设全集U = R,集合A = (0,1,2), B = x|x 2,那么A

12、A (QA)=()A. O,X2B. 0,1C. 2D. x|x2【详解】解：因为n = /国22,所以&乎=口|1：2,又从=()工2)；所以4 n (qn)=u；【例题 2-4(2022.广东.二模)集合 =*|*(*-2) V0，N = Hx l0,那么AfnN=( )A.B.C. (0,1)D. (1,2)【详解】集合M = (x|x(x 2) 0 = x|0 x2, N = (x|x 1),那么 Af nN= x|0xl = (04),应选：c【例题2-5(2022广东潮州二模)集合A = x|x2,那么CrA=().A. x|-lx2B. x|-lx2C. x|-1 x 2 D.

13、A =x|x2所以Cr4= 可一1）, 3 2q一1”的否认是（A. 3x0 E + ） lnxj xb 1C. Vxe （Of + ）, lnxx-lD. vx （0. + x-l【详解】 由特称命题的否认知原命题的否认为：VxE（O, + ）, lnxhiyB. x2 j2C. x3 j3D.【详解】因为所以0,由于= x j,而又：户底0,故A选项满足题意;令文= 那么满足x2 中，但不满足jr y,故B错误；由X3A，1得：xy,故C选项是一个充分必要条件，故C选项错误； 令x=-2.y = l,那么满足但不满足D错误.应选：A【例题3-3（2022江西南昌二模（文）字2计1一工2,那

14、么p是q的（）B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A.充分不必要条件C.充要条件【详解】对于不等式2计工 慕+ 2,作出曲线y =尸+1与y =兀+ 2的图象如以下图所示: 由图象可知，不等式2Hl x + 2的解集为x| 1 Jr 0,因为工|一1工2 z|-l x0B. O k2 C. O k D. -2 Jt0【详解】由题意知直线上y =定点（L1）,函数y =ST=?的图象是以（5口）为圆心，1为半径的半圆，如下图.易求n殳的斜率分别为。， 由图知，当/介于%与12之间（含2）时，/与函数y =sr=以的图象有两个公共点，即0无三 应选:

15、C.【例题3-5（2022山西吕梁.模拟预测（理）使得支三福萍立”的充要条件是（）AB。4C. a0 。=石，等价于然式扁Jg又工云=京式扣 =3,当且仅当x = l时等号成立，即扁JgT故a.应选：A.4、综合应用【例题4-1（2022陕西武功县普集高级中学高三阶段练习（理）条件p：A = xlx2 - 4ax +4O2 -1 0,条件字笈=8/一 t 一 2 三 O. U = R（1）假设n=i,求QzSnA）.假设q是p的必要不充分条件，求0的取值范围.【解析】由/ 4ox + 4a2 1式0,得2。一1式工式2级+1,所以 4 =x12a -lx2a+l,由/一第一2二0,得一1式慕式

16、2,所以f = x|式2当1=1时，4=x|l式工式33所以力八 =耳1式t式21所以 0(4= x|x 2;由(1)知，A =x|2a-1 x 2a +1,= x|- lx 12所以实数。的取值范围为IpJ.JEa【例题4-2(2022北京密云高三期中)设71之2且71EN,集合U =1.234,工痔，假设对U的任意A元子集%,都存在瓦。七匕，满足：abc,且口 + b + c为偶数，那么称/为理想集，并将改的最 小值记为及当rt = 2时，是否存在理想集？假设存在，求出相应的氐 假设不存在，请说明理由；当ri =3时，是否存在理想集？假设存在，直接写出对应的片以及满足条件的出瓦c；假设不存

17、在，请说明 理由；(3)证明：当冗=4时，K = 6【解析】依题意，匕要为理想集，fc3,当n=2时，J=12,4,显然234二&有2V3 4,而2 + 3+4不是偶数，即存在3元子集不符合理想集定义，而123.4匚U,在123.41中任取3个数，有4种结果，LZ3； 1,2,4； 1%； 234,它们都不符合理想 集定义，所以，当71=2时，不存在理想集.(1) 当n=3时，U =1124456,由(1)知，存在3元子集234、4元子集123.旬均不符合理想集定义,5元子集12346,在此集合中任取3个数，满足较小的两数和大于另一个数的只有2.N4与两种， 但这3数和不为偶数，即存在5元子集

18、不符合理想集定义，而(/的 6 元子集是123.456+ 3 V4 5.3 + 4 + 5是偶数，3 5 6.3 +5+6是偶 数，即(/的6元子集123456J符合理想集定义，123456是理想集，所以，当n=3时，存在理想子集 =1.23456%满足条件的ab可分别为345或当n=4时，U=L234G7.8,由(1), (2)知，存在U的3元子集、4元子集、5元子集不满足理想 集定义，匕要为理想集，*,显然123.456符合理想集的定义，满足条件的ab.c分别为345或35GU的6元子集中含有3.56的共有a=10个，这10个集合都符合理想集的定义，U的6元子集中含有3上不含6的有5个，其

19、中含有4的有4个，这4个集合都符合理想集的定义，不含4的为123.578,显然有578,5 + 7 + 8为偶数,即U的6元子集中含有3石不含6的5个都符合理想集的定义,(/的6元子集中含有3.6不含5的有5个，它们是LZ3.467，L2367.8,13467阳23461砌，它们对应的ab工可依次为:37； 4A8； 367； 37； 37,即(/的6元子集中含有3M不含5的5个都符合理想集的定义，U的6元子集中含有5壬不含3的有5个，它们是LZ4.5671245G8，L2567.8,1A5A7M2A5A7.8,它们对应的qb.c可依次为：5A7； 4AS; 567； 5A7； 57,即17的

20、6元子集中含有5*不含3的5个都符合理想集的定义，(/的6元子集中含有356之一的有3个，它们是123.4781245工8111246兀用，对应的qb.c可依次为:3,7,8； 5,7,8； 46&即(/的6元子集中含有3.56Z的3个都符合理想集的定义，因此，U的所有储=28个6元子集都符合理想集的定义，匕是理想集，U的7元子集有以=8个，其中含有356的有5个，这5个集合都符合理想集的定义，不全含356的有3 个，它们是LZ3457.8L2346Z8LZ4567.8,对应的qb.c可依次为：3,7,8； 3,7,8； 4.G8,即U的所有8个7元子集都符合理想集的定义，叫是理想集，U的8元子集是1234567用，对应的ab述可以为：3,7,8,因此，是理想集，因此，U的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，K=6,所以当71 =4时，K = 6.【例题4-3(2022.天津.汉沽一中高三阶段练习)不等式窖 1的解集是4关于x的不等式42x2 4mx 5m2 (的解集是B (1)假设m=i,求AnE；(2)假设4113 = 求实数m的取值范围.设P：实数x满足x2 4ax + 3a2 1的解集是4解得：A = x1 2 x 1.当根=1 时，x2 4mx Sm2 。可,化为x2 4x 5 0,解得E = x| 1 x 5.