【精品】2022届二轮复习第8讲立体几何第2课时线面关系及空间角作业.docx

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1、第8讲立体几何第2课时线面关系及空间角一、选择题（2021 陕西省宝鸡市模拟）a, 是两个不同的平面，又I, m, 是三条不同的直线, 那么不正确的命题是（）A.B.C.D.假设2_l_a, n/ ci, 那么根假设加 a, a ,那么2 n假设/_La, / ,那么假设a仇IQ 8,且/a,那么/夕答案B解析 A中，假设a,那么在a中存在一条直线/,使得/小 又2_l_a, ZC a ,那么根_1_/,又 I/ n,那么故正确；B中，假设加a, /。，那么相力或相交或异面，故不正确；C 中，假设1/3,那么存在aU,使/0又/J_a, .q，。，贝aJ从故正确；D中，假设a/3, 且/处 那

2、么/U或/夕，又/,故正确.应选B.D.芈1. （2021 沧州市七校联盟）如图，在三棱锥。一ABC中，AC.LBD, 一平面截三棱锥。一45c 所得截面为平行四边形EbGH.所=也，EH=木,那么异面直线EG和AC所成角的正弦 值是（）A恒-CXe 7遮7答案A解析 E尸G”是平面四边形，由线面平行的性质定理可得，AC/EH,直线EG和AC所成 角即直线EG和E”所成角.因为AC_L3Q,所以N”G=90.因为=g，EH=邓, 所以 EG=4i,故 sinNGEZ/=半.33.（2021 .皖南八校联考）圆锥顶点为尸，母线B4, PB所成角的余弦值为不 心与圆锥底 面所成角为60。，假设出3

3、的面积为木，那么该圆锥体积为（A. 2小兀B.2 JiC 3 HD3 71答案C解析 如下图，设底面半径为OA = r,B4与圆锥底面所成角为60。/.ZB4O=60 ,3. = PB=26,母线%, P8所成角的余弦值为余A. 90C. 45B. 90C. 45答案解析C. 60D. 30C如图，取PD中点G,连接AG, FG,:E,二分别为卜B, PC的中点，.A=&B, G/。且G/=：DC,又在矩形ABC。中43。且43=。，466/且4=6/， 四边形AEFG是平行四边形，：.AG/EF,：.AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角，.%，平面 A3CQ, ADU 平

4、面 ABC。，：.PAAD9过G作垂足为4 GU平面雨。，贝4G“ 以，GJ_平面A3CO,NG4H为AG与平面ABCZ）所成的角，即为所求角，VZPDA=45 , G 为 PO 的中点，：.ZGAH=45 ,即石歹与平面ABC。所成的角为45。.应选C.3. （2021.石家庄市一质检）菱形A3CO的边长为2, ZABC=6Q ,沿对角线AC折叠成 三棱锥夕一ACZ）,使得二面角）一AC。为60。，设石为夕。的中点，尸为三棱锥） -ACO外表上的动点，且总满足AC,石凡那么点尸轨迹长度为（）A. 273B. 3小C.小D.坐答案D解析 如图1,连接3。，交于AC于点O,那么ACLB。，因为菱

5、形ABCQ的边长为2, ZABC = 60。，所以ND48=120。，80=2# ,沿对角线AC折叠成三棱锥 一ACZ）如图2所示， 贝O-LAC, DOLAC,（注：图形折叠问题一定要注意折叠前和折叠后不变的量）所以N4。即二面角 一AC一。的平面角，所以N400=60，又夕0=00=小, 所以 三角形 0。为正三角形.因为 O_LAC, OOJ_AC,且onoo=o,所以ACJ_ 平面4OD.过点作EGO,交AC于G,作曲D,交于。C于连接G,那么EG平面B OD, EH平面B OD,又EGCEH=E,所以平面GH平面 OD,所以4。_1_平 面EGH.因为点尸在三棱锥 一AC。的外表上，

6、EFLAC.所以点尸的轨迹为三角形EG 的三条边（不与点E重合）.又E为B。的中点，所以EG=GH=EH=gxy/j=*,所以点 产轨迹的长度为坐*3=芈,应选D.4.（2021 沧州联考）在棱长为2的正方体A5CO481C15中,E, 4分别为棱4配,31cl 的中点，点P在线段尸上，那么三棱锥POAC的体积为.答案2解析 因为EfWAC, ACU平面OAC,所以尸平面。AC,所以无论点P在线段打上 什么位置，它到平面9AC的距离不变.当点P是族与。向 的交点时,PDi=|diBi, 那么P到平面DxAC的距离为Bl到平面ZMC距离的看 因为囱到平面。NC的距离为冬10=,乂2小=手,所以。

7、到平面。14。的距离是日乂= y3.因为EMC的面积SADiAC=X （2陋）2=2小,所以三棱锥P-DxAC的体积V=：X25X小=2.5. （2021.唐山市三模）四棱锥PA5CQ的底面是正方形，侧棱长均为3,那么该四棱锥的 体积的最大值为.答案4小解析如图，设底边边长为2，高为.连接AC, BD,交点为。，连接OP.二四棱锥尸一A3CO底面为正方形，侧棱长均相等.二该四棱锥为正四棱锥，贝U POJ_底面ABCDBO=i, PO=h,后+22=9.i i22V=qS=q 4/ 力=辛92）力=1 （9/z/i3）, /?e（0, 3）.2V =彳（9 3层）=2（小+ ）（小一/z）.,.

8、当e（0,小）时,V 0,当he电,3）时,V，0.V在（0,小）上单调递增，在他,3）上单调递减.,力47 =（a_讣6）乂）=吗1平a=4乐;C，sin /APB=*, /.(2r)2 *=市=厂=也，/. V=1 S底面 PO=g ( n r2)小厂=五几.应选C.4.如图，将正方形A3CZ）沿对角线3。折成直二面角A30C,那么以下四个结论中正确 的个数为（）（Dacbd；ACO是等边三角形；A3与C。所成的角为60。；AB与平面8C。所成的角为60.B. 2D. 4A. 1C. 3答案C 解析 作图如下图，其中二面角A50C的平面角为90。，。是BD的中点，那么AOJ_BO, CO1

9、BD,直二面角4 5。一C的平面角NAOC=90。.对于，:AOLBD, COA,BD, AOGCO=O, A0U平面 AOC, C0U平面 AOC, ：.BD 平面4。，.ACU平面A。，：.ACLBD,故正确；对于，设正方形ABCD的边长为2,在RtZXAOC中，AO=CO= ：.AC=yi+2 = 29 .ACD是等边三角形，故正确；对于，可取AO中点凡AC的中点，连接OF, OH, FH,由于OF, 7是中位线，可 证得其长度为正方形边长的一半，而。，是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方 形边长的一半，故OF”是等边三角形，由此即可证得A3与CD所成的角为60。，故正 确；对于

10、,A3与平面BCD所成的线面角的平面角是乙480=45 ,故4?与平面BCO成60。 的角错误.综上知是正确的.应选C.5 .（2021 .高三5月数学）如图，圆台001的上底面半径为04 = 1，下底面半径为QA=2, 母线长A4=2,过0A的中点8作0A的垂线交圆。于点C,那么异面直线。1与4C所成 角的大小为（）B. 45D. 90B. 45D. 90A. 30C. 60 答案B 解析 在直角梯形OQ4A中，因为5为04的中点，。4 = 2,所以0i4 = 05=AB= 1,连 接43,易证四边形00143为矩形，所以OOi4B,所以NB4C为异面直线。01与AC 所成的角，在RtZVU

11、iB中，44i=2,所以.连接0C,在RtZ05C中，由03=1, OC=2,得 3C=#,在 RtZVhBC 中，BC=AiB,所以N84C=45。,应选 B.（2021 .武汉质检）某圆锥母线长为2,底面半径为小，那么过该圆锥顶点的平面截此圆锥所 得截面面积的最大值为（）A. 2B季C.a/2D. 1答案A解析 如下图，取截面为SMN,尸为MN的中点，设00=式04木)，SB=2, ：.SO=1.。8=小,CO的中点，”为Eb的中点,8.如图,SP=7f+l, MN=2l3f.:Sasmn=W MN SP=g . 2/3x2=/ (x21) 2+4.乙乙.当x=l时，Sasmn=2,此时截

12、面面积最大.应选A.7.如图，在棱长为1的正方体A3CD45GQ1中，M, N分别是4。，4囱的中点，过直线BD的平面。平面AMN,那么平面a截该正方体所得截面的面积为（）aSC.V3答案B 解析 如图,分别取CiDi, 31cl的中点P, Q,连接尸BD, DP, BQ, NP,易知MNBD /BD9 AD/NP, AD=NP,所以四边形AN。为平行四边形，所以ANOP.又3。和QP为平面O8QP内的两条相交直线,AMMN为平面AMN内的两条相交直线，所以平面）3QP 平面AMN,四边形Q3QP的面积即为所求.因为月。3,所以四边形Q8QP为梯形，PQ=BD9 BD)h=Q O梯形的高=、/

13、12+七）2闱2=乎，所以四边形DBQp的面积为女尸。+沿AE, EF,凡将正方形折起，使& C,。重合于点O,在构成的三棱锥O-AE尸中，下 列结论错误的选项是（）将其侧面AAyByB放置于水平地面，A-2r2+lJ 2答案D解析设水面与C8的交点为E, V水2三棱柱2 Saabc BB, VSdCDE14ABC./ AABCsADEC.Sadec (C2 12席聋，即CD=*AC 那么 AD=ACCD=( 一嗡AC乙An 水面恰好经过底边AC上的点。，那么，力的值为（）A4B坐D.V2-1.水的体积是三棱柱体积的;，$ = Sacde BB.9.（2021 福建龙岩市质检）如图，一个三棱柱

14、的容器盛有水，水的体积是三棱柱体积的现A. AO_L平面EO/B.三棱锥OAE尸的体积为gC.直线A”与平面EOb所成角的正切值为2吸D. AE，平面 OAH答案D解析 对于A,翻折前，ABLBE, ADA.DF,故翻折后，OAJ_OE, 04 J_OF.又OEA 0b=0, OE, ObU平面。凡O4J_平面EOF,故正确.对于 B,。4,平面 EOF, /. Vo-aef=Va-oef= Soef -1 X 1 X2=1,故正确.对于C,连接。H, AH,那么NOHA为与平面。尸所成的角.：OE=OF=, H 是 EF 的中点,OE_L。/，0H=；EF=.又 0A = 2, /.tanZ

15、O/M =77=272,故正确.Un对于 D,OA_L 平面 EOF, EFU 平面 EOF, .OALEF .又 OHLEF, OAGOH=O, OA, 04U平面。4”，.EFJ_平面OAH.EA不可能与平面OA”垂直，故错误.应选D.adCD，AC=也一1 .应选D.10 . （2021 .八省联考）如图是一个正方体的平面展开图，那么在该正方体中，以下结论错误的选项是（ ）A. AE/CDB.C.D.B.C.D.CH/BE DGBH BGDE答案A解析还原正方体如图，连接CH, BE, DG,BH, DE, AH, BG,由图易知AJ_CD, CHBE, A错误,B正确；易知 CHJ_O

16、G, BCLDG, CHCBC=C,所以。G_L平面 BC”，所以。C 正确； 易知BGAH,又DELAH,所以BGLDE, D正确.应选A.11 .如图，正方体ABC。一A/6O1中，O为底面ABC。的中心，M为棱BBi的中点，那么下 列结论不正确的选项是（）A.。平面 A5GB.平面 MACC.异面直线3G与AC所成的角为60D. MOJ_平面 A3CO答案D二、填空题12. （2020.浙江）圆锥的侧面积（单位：cm?）为2兀，且它的侧面展开图是一个半圆，那么这 个圆锥的底面半径（单位：cm）是.答案1解析 设圆锥底面半径为二母线长为/,那么n X rX 1=2 兀,1解得厂=1, 1=

17、2.2X Ji XrX2X ji XI,.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽屹，俗称“粽子”，古称“角 黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人 屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如下图粽子形状的六面体，那么该六面体的体积为答案坐解析 每个三角形面积是s=Jxi又坐=半，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合 成的，可求出每个四面体的高为停二坐，故四面体体积为gx乎X坐=*,因 a/2此该六面体体积是正四面体体积的2倍，所以六面体体积是手.13 .如图，棱长为1的正方体ABCD4

18、8G。中，E, F, 分别是线段Ab AD, AA 的中点，又P。分别在线段4,ADi,且AiP=4Q=x(0x1).设平面ME/n平面MPQ=/,现在有以下结论：/平面43CO；/J_AC；直线I与平面BCCiBi不垂直；当尤变化时，/不是定直线.其中成立的结论是.(写出所有成立结论的序号)答案解析连接3Q, BiDi,VAiP=AiQ=x,：.PQ/BD/BD/EF,易证尸。平面MEF,又平面MEFC平面MPQ=l,：.PQ/U 1/EF,.二/平面ABCD,故成立；X EF1AC, A/1AC,故成立；l/EF/BD,，易知直线/与平面BCG8不垂直，故成立；当x变化时，/是过点”且与直

19、线石尸平行的定直线，故不成立.15. 正四棱柱ABCOA/iGQi，A3=l, AA =2,点石为CG的中点，那么点口到平 面BDE的距离为.答案解析 方法一：设。到平面3QE的距离为包在三棱锥。i-BOE中，由等体积法可知VDi 一 BDE=VE-BDD、.方法二：如图，以。为坐标原点, 空间直角坐标系,那么。（0, 0, 0）,所以。8=(1, 设 = (x, y, 所以n15B,1, 0), DE=(0, 1,以D4, DC,。所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 5(1, 1, 0), Di(0, 0, 2), E(0, 1, 1),1), bBi = (-1, -1, 2).z）是平面

20、8DE的法向量,nLDE,所以n-DB=x+y+0Xz=0, 即，/t-)E=0Xx+j+z=0,x+y=0,)+z=0,令x=l,那么y= 1,所以平面8DE的一个法向量为 =（1, -1, 1）, 2=1,那么点D到平面BDE的距离d=丽川 23n（2021 河北八校联考）沙漏是一种古代的计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个 狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器 所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的高为1,2假设上面的圆锥中装有高度为。的液体，且液体能流入下面的圆锥，那么液体流下去后的液面高 度为.答案

21、1一平=13=3 所以液体流下去后的液面=13=3 所以液体流下去后的液面3解析=探当液体流下去后， 高度为1 BI培优练：重点班选做（202LA佳湖南大联考）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清 代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见 于亭阁式建筑，园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶局部的轮廓可近似看作一 个正四棱锥.此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为仇这个角接近30。，假设取。 = 30。，侧棱长为3明米，那么此四角攒尖的侧面积为 平方米.答案7273解析如图，在正四棱锥S中,。为正方形A8CO的中心，”为A3的中

22、点，那么设底面边长为2。.因为NSHO=30 ,所以 0H=AH= a, 0S= oj，所以 0H=AH= a, 0S= oj，SH菩a.在中，=（3市/, 所以q=3小，底面边长为6V米， S=：X6M5x6X4 = 72， 平方米.16. （2021 河北省重点中学高三模拟）如图，在RtZA08中，04=4小，ZABO=60 ,半 圆”的圆心”在边49上，且与A3相切，现将RtZXA03绕A。旋转一周得到一个几何体, 点C是底面圆周上的一点，且OBLOC,那么“到平面ABC的距离是.解析在Rt/XAOB中，04=4小，ZABO=60 ,可得08=4, AB=8,设切点为M,连 接 HM,所

23、以 NAMH=90。，而 NB4O=30。,所以 HM=；HA = H0,在三棱锥。一A5c中，设0到平面A3C的距离为乩”到平面A3C的距离为其中乡=傻=常 在ABC Cl /IC/ D中，取8c的中点N,逞AN,所以ANL8C,可求得AN=4二一函后=25,由必-obc V0-ABC9 可得可义义4*4义4，5=义*4，义2，7Xd,所以 d= J 一,所以 di=1d82121 ,I备选题I1.如下图，在三棱柱ABC4囱。中，ZXABC是等边三角形，A4J_平面ABC, AA=AB= 2.D, E,b分别是8e，A4, 4cl的中点，那么直线石方与C。所成角的余弦值为（）BBA-2A-2

24、D. 0答案D解析 方法一：延长 AC, AC,使 CM=ACi, CN=AC,连接 AG, CM, DM, BM BR MN,如下图.由题意，易知 EF/AC/CMy CDy5, CM=2y2, DM=y/BiD2+BiM2yjBiD2+BiF2+FM2 =12+ (3)2+32=a/73.设直线E尸与CD所成角为仇DC2 + CM2-DM2DC2 + CM2-DM2易知 cos =|COSNM= 2DC CM =2义小X2也直线EF与CD所成角的余弦值为0.应选D.方法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全等.(VB)取中点。，连接OQ,由棱柱性质易知Eb。，NCOQ为E/和CO所

25、成的角或其 补角.连接 CQ,由题知 BC=2, BQ=19 BD=1, ；.CD=邓,DQ=y29 又NCBQ= 120 , 在CBQ 中由余弦定理可得 CQ22+12-2X2X1X(；) = 7, ACQ=yp.在COQ 中，C=CD2-DQ1=79 ：.ZCDQ=9Q ,/和CD所成角的余弦值为0.应选D.方法三：如图，以A为原点，以过点A垂直于平面ACG4的直线为x轴，以AC为y轴， 以为z轴建立空间直角坐标系.由A4=A3=2, /XABC为正三角形，D, E,尸分别为A4), 4c的中点，得E(0, 0, 1), F(0, 1, 2), C(0, 2, 0), D巾,1, 1),/.EF=(0, 1, 1), cb=(V3, -1, 1).VEF* 丽=0-1 + 1=0,：.EFCD,:EF与CO所成角的余弦值为0.应选D.2.(2021 合肥肥东县高级中学调研)如图，。是矩形ABCO所在平面外一点，出_1_平面ABCD, E,尸分别是A3, PC的中点.假设NPD4=45 ,那么匹与平面A3CO所成角的大小 是()