(完整版)重积分习题及答案.pdf

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1、第九章第九章重积分重积分(A)(A)1填空题(1)设Px,y x2y，Qx,y x3y2，定义于D:0 x 1，0 y 1，则Px,ydQx,ydDD(2)设曲顶柱体的顶面是z fx,y，x,yD，侧面是母线平行于z轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为V。(3)在极坐标系中，面积元素为。2利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1)围成。(2)围成。3利用二重积分性质，估计积分I 2x2 2y29 d的值，其中D是圆形闭区域D2223x 2 y 1 2所与，其中积分区域是由圆周x ydx ydD23与其中积分区域D由x轴，y轴以及直线x y 1所x ydx yd，DDD

2、Dx2 y2 4。4交换积分2aadx02axx22axfx,ydy的积分次序。5交换积分dy122yfx,ydx的积分次序。yaa2y26交换二次积分dy0Dafx,y的积分次序。7计算3x 2yd，其中D是由两坐标轴及直线x y 2所围成的闭区域。8计算xcosx yd，其中D是顶点分别为0,0，,0和,的三角形区域。D9计算1 xsin yd，其中D是顶点分别为0,0，1,0，1,2和0,1的梯形闭区域。D10计算二重积分dxdy，其中区域D由曲线y 1 x2与y x21围成。D11计算二重积分xy2d，其中D是由圆周x2 y2 4及y轴所围成的右半闭区域。D112计算Ddx2 y2，其

3、中D是圆环域1 x2 y2 4。13计算ln1 x2 y2d，D：x2 y21，x 0，y 0。D14计算二重积分x2 y2dxdy，其中D：x2 y2 2x。D15计算x dxeydy。0 x121216求区域a r a1 cos的面积。17求由y 2x，y x，xy 2围成的平面图形的面积。22y218求椭圆抛物面z 4 x 与平面z 0所围成的立体体积。419设平面上半径为a的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为k，求该圆形薄片的质量。20由圆r 2cos，r 4cos所围成的均匀薄片，面密度为常数，求它关于坐标原点O的动惯量。(B)1选择题设空间区域1：

4、x2 y2 z2 R2，z 0，2：x2 y2 z2 R2，x 0，y 0，z 0，则（）Azdv 4dvBdv 4dvCydv 2ydvDdv zdv121212122根据二重积分性质，比较下列积分大小：(1)lnx yd与lnx yd，其中D是三角形区域，三顶点分别为1,0，1,1，2DD2,0。(2)lnx yd与lnx yd，其中D是矩形闭区域：3 x 5，0 y 1。2DDD3估计积分值I x y 10d，其中D是由圆周x2 y2 4围成。4估计二重积分I|x|y|10011100cos x sin y1y222d的值。5交换二次积分次序dyfx,ydx。26交换二次积分的次序：dy

5、1013y2y2fx,ydy。27改变积分次序dx0D1xxx2fx,ydy。8计算二重积分yexydxdy，其中D是由直线x 1，x 2，y 2及双曲线xy 1所围成的区域。9计算二重积分dx01x0ey22dy。10计算积分dxx 1 x2 y2dy。001x11exyd其中D是由|x|y|1所确定的闭区域。12x2 y2 x d，其中D是由直线y 2，y x及y 2x所围成的闭区域。D13计算2xy2dxdy，其中D由抛物线y2 x及直线y x 2所围成。D14计算dyx2sin xydx。0y1115计算e dxdy，D是由曲线y x2，y 0，x 1所围成的区域。Dyx16计算a0a

6、a2x2x1x y224a x y222dydx。1 x y 22x y 1在第一象限的部分。17计算，其中为dxdyD1 x2 y2D18计算19计算20计算x2y212212|x|y|dxdy。|x|y|1|xy|dxdy。1x10y12|y x|dxdy21计算三重积分xdw，其中由三个坐标面与平面2x y z 1所围成。22计算sinx y zdxdydz，其中V是平面x y z V2和三个坐标平面所围成的区域。323计算积分I xdxdydt。24计算积分x2 y2 z dxdydz，其中V为第一象限中由旋转抛物面z x2 y2与圆VV柱面x2 y21所围成的部分。25计算I y2

7、2z绕z轴旋转一周而成的曲面与x ydxdydz，其中是由曲线x 022平面z 2，z 8所围的立体。26求由下列曲面所界的体积，z x y，z xy，x y 1，x 0，y 0。27求由圆锥面z 4x2 y2与旋转抛物面2z x2 y2所围立体的体积。28求平面xyz1被三坐标面所割出部分的面积。abc29求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2 y2 R2及x2 z2 R2所围立体的表面积。30 一个物体由旋转抛物面z x2 y2及平面z 1所围成，已知其任一点处的体密度与到z轴的距离成正比，求其质量m。31求由圆r acos，r 2acos所围成的均匀薄片的重心。32一均匀物体(密度为常量)占

8、有的闭区域是由曲面z x2 y2和平面z 0，|x|a，|y|a所围成的。(1)求其体积；(2)求物体的重心；(3)求物体关于z轴的转动质量。(C)1将下面积分化为重积分，并求I的值。I 常数。asin0b2y2a2y2e x2y2dxdy b2y2x2y2，其中，为0 0 a bedx dyasinycgt2bsin2 设区域D为图中斜线部分，试将二重积分I fx,ydxdy化为两种次序的二次积分。D3计算三重积分x zdv，其中是由曲面z x2 y2与z 1 x2 y2所围成的区域。4计算|3x 4y|dxdy，D：x2 y21。D45设fx,y连续，且fx,y x yfu,vdudv，其

9、中D是由y D1，x 1，y 2所围x区域，求fx,y。6(1)计算ex2y2d，其中x,y|x2 y2 R2；(2)试证0exdx 22。7 求曲面：z x2 y21上任一点的切平面与曲面S：z x2 y2所围立体的体积。8设Ftf 01，求limx2y2z2t2f x2 y2 z2dxdydz，其中fu为连续函数，f 0存在，且f0 0，t0Ft。t5第九章第九章重积分重积分(A)(A)1填空题(1)设Px,y x2y，Qx,y x3y2，定义于D:0 x 1，0 y 1，则Px,ydQx,ydDD(2)设曲顶柱体的顶面是z fx,y，x,yD，侧面是母线平行于z轴，准线为D的边界线的柱面

10、，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为V|fx,y|d。D(3)在极坐标系中，面积元素为d rdrd。2利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1)围成。解：在区域D内，x y 1，两边乘以x y，得x yx y，故由性质得：23223与其中积分区域D由x轴，y轴以及直线x y 1所x ydx yd，DD32x ydx ydDD5(2)围成。2223x 2 y 1 2所与，其中积分区域是由圆周x ydx ydDDD解：令两被积函数相等，得x y 0或x y 1，直线x y 1与圆周x 2y 1 2交点为1,0由图知：D位22于x y 1的 半 平 面 内 故x yx y，因 而2323x ydx

11、yd。DD3利用二重积分性质，估计积分I 2x2 2y29 d的值，其中D是圆形闭区域Dx2 y2 4。解：因为0 x2 y2 4，故9 2x2 2y29 17，故369d2x2 2y29 d17d 427108DDD4交换积分2aadx2axx22axfx,ydy的积分次序。a x 2a解：由积分上下限画出积分区域D，D:，22a x y 2ax x故重积分交换积分次序为：I dy0aaa2y22ayfx,ydx。5交换积分dy122y0fx,ydx的积分次序。22y01解：画出积分区域图，易知dy6交换二次积分dy0ayaa2y2fx,ydxdx012x1fx,ydy。fx,y的积分次序。

12、解：积 分 的 上 下 限 作 出 积 分 区 域 的 图 形，原 式dx0aaa2x2fx,ydy dxaD2a2axafx,ydx。7计算3x 2yd，其中D是由两坐标轴及直线x y 2所围成的闭区域。6解：3x 2yddxD022x03x 2ydy3xy y2022x0dx 4 2x 2x2dx0222204x x2x3。3038 计算xcosx yd，其中D是顶点分别为0,0，,0和D,的三角形区域。解：原式xdxcosx ydy xsin2x sin xdx000 x1 xdcos2x cosx0211 xcos2x cosxcos2x cosxdx02023 29计算1 xsin

13、yd，其中D是顶点分别为0,0，1,0，1,2和0,1的梯形闭区域。D解：原式1 xdx0101x10sin ydy 1 x1cosx 1dy011 xdx1 xdsinx 101x21x 1 xsinx 10sinx 1dx020113sin1 2sin2 cos1cos2210计算二重积分dxdy，其中区域D由曲线y 1 x2与y x21围成。D2y 1 x解：解，得交点1,0，1,02y x 1D：x21 y 1 x2，1 x 1原式dx2dy 21 x2dx 1x 1111x2183711计算二重积分xy2d，其中D是由圆周x2 y2 4及y轴所围成的右半闭区域。D解：原式dy224y

14、20 xy2dx4y221x2y2220dy2116422y2y4dy y3y522102153212计算Ddx y22，其中D是圆环域1 x y 4。22解：在极坐标系下计算积分D的边界曲线的极坐标方程为：r 1，r 2，极点在D内，射线与D的边界交于两点，r 1，r 2，故221原式rdrdddr 2。01rD13计算ln1 x2 y2d，D：x2 y21，x 0，y 0。D解：原式dln1 r2rdr2010ln1 rd1 r4122012211 rln1 r02rdr4042ln21D14计算二重积分x2 y2dxdy，其中D：x2 y2 2x。解：在极坐标下计算原式r2drdD122

15、d2cos0r dr 222cos3d201616 232cos3d33391215计算x2dxeydy。0 x8解：需改变积分次序才能完成积分，积分区域如图所示原式x eD2y2dxdy e01y2dyx2dx0y113y2112y22y edy y edy00361111ueudu ueueu060611 2e1616求区域a r a1 cos的面积。解：区域在极坐标下可表示为r,|a r a1 cos,22故区域的面积为：A drdrd22d2a1cosardr12r22a2a1cosd122a 1 cos a2d2222a2cos2 2cosd a22cos2 2cosd02 2a24

16、17求由y 2x，y x，xy 2围成的平面图形的面积。21y 解：设所求面积为S，由2，得交点2,1，xy 2S dyydx dydx 021112y22yy22 23ydy 021y12ydy23 11 12y2 2ln y1y22 202 2131 2ln241 2ln2449y218求椭圆抛物面z 4 x 与平面z 0所围成的立体体积。42解：考虑到图形的对称性，只需计算第一卦限部分即可y22即V 44 x 4dxdyD故V 4dx02164x20y224 x 4dy164x221 44y x2y2y30120dx1624 x23032dx 1619 设平面上半径为a的圆形薄片，其上任

17、一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为k，求该圆形薄片的质量。解：建立坐标系如图。则x,y|x2 y2 a2，在x,y处的密度为 kx2 y2，取的微元d，于是dM d kx2 y2dM dk x2 y2dD化为极坐标，有 r,|0 r a,0 2，于是M kr2rdrd kD20r43dr dr k 204aa0k4a220由圆r 2cos，r 4cos所围成的均匀薄片，面密度为常数，求它关于坐标原点O的动惯量。解：由题意知转动惯量I0 x2 y2dD22d4cos2cos15r dr 162cos3d0233451204 4210(B)1选择题设空间区域1：x2 y2 z2

18、R2，z 0，2：x2 y2 z2 R2，x 0，y 0，z 0，则（B）Azdv 4dvBdv 4dvCydv 2ydvDdv zdv121212122根据二重积分性质，比较下列积分大小：(1)lnx yd与lnx yd，其中D是三角形区域，三顶点分别为1,0，1,1，2DD2,0。解：经过顶点1,1与2,0的直线方程为x y 2，由于区域D在该直线下方，所以区域D中的点满足x y 2，因而满足lnx y1。类似地又知区域D中的点满足x 1，y 0，因而满足x y 1，进一步可知lnx y 0，在不等式lnx t1两边乘以lnx y1得lnx y2 lnx y，因而有lnx y2dlnx y

19、d。DD(2)lnx yd与lnx yd，其中D是矩形闭区域：3 x 5，0 y 1。2DD2解：在D上 有x y e，所 以lnx y1，lnx ylnx y，因 而 有2ln x ydlnx yd。DD3估计积分值I x y 10d，其中D是由圆周x2 y2 4围成。D解；以下求出被积函数fx,y x y 10的最大，最小值，再由二重积分性质估计积分值。在D内部，fx1，fy1，因此fx,y在区域内设有驻点，故最值一定在边界上达到，作L-函数：Fx,y x y 10 x2 y2 4Fx1 2x 0令Fy1 2y 0，22x y 4 0解得驻点为2,2，2,2，比较得m 10 2 2，M 1

20、0 2 2，积分区域的面 11积R222 4，于是852 I 852。4估计二重积分I 22100cos x sin y|x|y|101d的值。解：以下用二重积分的中值定理估计积分值，其本质上与用单调性估值是一致的，因为fx,y1100 cos x sin y1100 cos2 cos222在闭区域D上连续，所以在D上至少有一点,，使得111，而 200，所以102100 cos2 cos2100I，显然100200200 I 2511021005交换二次积分次序dy101y2fx,ydx。解：原式dx121x0fx,ydy。事实上，由图即可知积分区域是由三条直线x y 1，x 2，y 0所围

21、成。6交换二次积分的次序：dy1013y2y2fx,ydy。2122y x 3 y解：积 分 区 域D：2，积 分 区 域0 y 1110 x x 2D D1 D2 D3，D1：2D，：，D3：220 y 2x0 y 12 x 3，则20 y 3 xI dx1202x0fx,ydy 1dxfx,ydy dx2022133x20fx,ydy。7改变积分次序dx01xxx2fx,ydy。解：由积分上下限画出积分区域D，积分区域D是由上11半圆周x y2，y 0，抛物线y2 x，y 0；与2412直线x 1三者所围成。原式dy12011y2242yfx,ydx dy1120112y42fx,ydx1

22、dy211y2fx,ydx。8计算二重积分yexydxdy，其中D是由直线Dx 1，x 2，y 2及双曲线 xy 1所围成的区域。解：采用先x后y的次序积分(先y后x将带来困难)原式1dy1yexydx dyyexydx2y1112221e21 xy21ye12xy21dy 1e2ye dy e2yeydy 211214e e229计算二重积分dx01x0ey22dy。解：直接计算有困难，先交换积分次序，原式e01y22dy2dx ey011y221 ydy2e01y22dy y2e01y22dye01y22dy yde01y221y2212ey2120dy ye1y221e00dy e10计

23、算积分dxx 1 x2 y2dy。00 x解：先对y积分较困难，先对x积分可以用凑微分法求得，因此交换次序，原式dyx 1 x2 y2dx0y1111 x2 y2d1 x2 y2dy02y111311 1 x2 y23032113dy 30y 1dyy11 y1 y34044111exyd其中D是由|x|y|1所确定的闭区域。解：原式e dx100 xx1x1x1e dy e dx010y1xx1x1eydyexey101 xyx1dy e e x1x1dxe2x1e1dxee2x1dx0111e2x1e1xex e2x1 ee1221012x2 y2 x d，其中D是由直线y 2，y x及y

24、 2x所围成的闭区域。D01x3x2222解：原式dyyx y xdx y x dy002y232y2y22193y3y2dy02481191319 1y4y31806624 413计算2xy2dxdy，其中D由抛物线y2 x及直线D2y x 2所围成。y2 x y 2解：画出D的图形，选择先对x积分，这时D表示为：，从而1 y 2原式dy12y2y22xy dx yx1222 2y2y221y4 4y3 4y2 y6dy23y54yy76415 y 5373511414计算dyx2sin xydx。0y11解：按原式所给的次序计算积分，需进行二次分部积分，若交换积分次序，求积分较易，y x

25、10 y x将D：，重新表示为D：，则0 y 10 x 1原式dxx sin xydy xcosxydx200001x1xx1cosx2dx0111x2sin x21sin122015 计算e dxdy，D是由曲线y x2，y 0，x 1Dyx1所围成的区域。解：原式dxe dy001x2yxxe011yx1dx xex x dx00 x2xdexxdx xe001x10 x2xe dx 0211 ee10112216计算a0aa2x2x1x y224a x y222dydx。解：本题采用极价值计算：原式0d42asin0rdrr 4a r2asin22r arcsin2a040d0arcsi

26、nsindd440 2022324151 x y 22x y 1在第一象限的部分。17计算，其中为dxdyD1 x2 y2D解：采用极坐标计算：211r1r 1r2原式rdrd2drdr1 r2rdrd00441r1rDD2122212令tr2401t2111tdt 401111t21t220dt 12d 1t2arcsint0 1t4x2y2111222 10428418计算|x|y|dxdy。解：利用函数和积分区域的对称性，原式 4|x|y|dxdy(D1为积分区域在第一象限的部分)D1 42drcos rsinrdr0013r2 4sincos0318 3019计算|x|y|1|xy|d

27、xdy。解：由于积分区域D是一个正方形，坐标轴将D分成四个相等的子区域，被积函数|xy|关于这四个子区域是对称的，故原式 4|xy|dxdy 4xdxD1011x0ydy111xy2dx 2x 2x2 x3dx 0062011x20计算1x10y12|y x|dxdy解：根据绝对值，将积分区域分成两部分，22y x,y x;|y x|2记区域D为1 x 1，0 y 1，D D1 Dl2，D1：2x y,y x;216x2 y 1，1 x 1；D2：x 1，0 y x2，则原式|y x2|dxdy|y x2|dxdyD1D2dx111x2y xdy dxx21x21012 y dy2x21 y1

28、y 22 x ydx x y dx11202x21111 x2 x4dx 2 x2 x4dx120221x3x511 2x 350152121计算三重积分xdw，其中由三个坐标面与平面2x y z 1所围成。解：先对z积分，z的变化范围是0 z 1 2x 2y，D可表示为：0 x 0 y 1 2x，1，2原式dxdx12012x012012x0dy12xy0 xdz1112x1 2x ydy 2x1 2xdx 209622计算sinx y zdxdydz，其中V是平面x y z V2和三个坐标平面所围成的区域。20解：原式dx20 xdy20 xysinx y zdz20202dx0 xcos

29、x ydy 1sin xdx 21。23计算积分I xdxdydt。V解：V：其中下底为平面z 0，上底面为平面z 1 x 2y，它在XY平面上的投影xy是由x 0，y 0以及x 2y 1所围成，于是17I dxdyxy11x2y0 xdz xdx011x20dy1x2y0dz1x2y0yxdx01x201 x 2ydy 0 xy xy y12dx11123x 2x x dx 0448注：若将V投影在YZ平面上再进行计算，则I dy12012y0dz12yz0 xdx 14824计算积分x2 y2 z dxdydz，其中V为第一象限中由旋转抛物面z x2 y2与圆V柱面x2 y21所围成的部分

30、。解：采用柱面坐标计算20原式drdr01r02r2 zdz 2z r r z dr202012r235r dr 2028125计算I y2 2z绕z轴旋转一周而成的曲面与x ydxdydz，其中是由曲线x 022平面z 2，z 8所围的立体。解：用柱坐标计算I 20dr rdrdz 0222820dr rdrr2dz22428 48 288 336。26求由下列曲面所界的体积，z x y，z xy，x y 1，x 0，y 0。18解：由题意，V x y xydxdy，积分区域D是x轴，y轴及x y 1直线围成的三D角形，于是11xV x y xydydx001xy 1 xy2dx020111

31、2x1 x1 x1 xdx021x1111731 xdx 02322427求由圆锥面z 4x2 y2与旋转抛物面2z x2 y2所围立体的体积。解：选用极坐标计算1V 4x2 y2x2 y22Ddxdyr24 r 2rdrdD以下求立体在xoy平面上的投影区域D：22z 4x y由，得222z x yz 2z 8 0，z 2，z 8(舍)因此，D由x2 y2 4，即r 2围成故得V 202r3r4r3202d4r r dr 22r。0238032228求平面xyz1被三坐标面所割出部分的面积。abc解：所求平面在xoy面上的投影区域D为以a、b为直角边的直角三角形。19z c zccczc x

32、 y，babxay221 2 z z 1 yx cc 1a2b2。2212122a b b2c2 c2a2ab12122A D122a b b2c2 c2aabdxdy112ab a2b2b2c2c2a222122a b b2c2c2a2ab12129求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2 y2 R2及x2 z2 R2所围立体的表面积。解：由对称性可知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x2 z2 R2上的部分面积的 16 倍，这部分曲面的方程为z R2 x2A 16D z z 1 dxdyxy2216D x122R x02dxdyRR2x20216DRR x22dxdy 16dx0R2x2

33、RR x22dyRR16y022R x0dx 16Rdx 16R20R30 一个物体由旋转抛物面z x2 y2及平面z 1所围成，已知其任一点处的体密度与到z轴的距离成正比，求其质量m。解：由题意，密度 kx2 y2，于是物体的质量为m kx2 y2dxdydz，其中为曲面z x2 y2及平面z 1所围成的区域。在坐标面xoy上的投影区域D为圆x2 y21，过D内的任意点M引平面于z轴的直线，其与表面相交两点的竖坐标z分别是z x2 y2与z 1，于是20m kx2 y2dxdydz kdxdyD1x y22x2 y2dz k1 x2 y2Dx2 y2dxdy k20dr21r2dr014k1

34、5注：在圆域D上二重积分是用极坐标计算的。31求由圆r acos，r 2acos所围成的均匀薄片的重心。解：两圆所围成的区域如图所示。由图形的对称性知，该薄片的重心在x轴上，即y 0。32 aa，而又xda 4222xd2d22acosacosrcosrdr2cos13cosrd3acos22714a32cos4da32cos4d03321433 17aa，所以x 34 2 283xd77a，故所求重心坐标为a,0。6632一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域是由曲面z x2 y2和平面z 0，|x|a，|y|a所围成的。(1)求其体积；(2)求物体的重心；(3)求物体关于z轴的转动质量。(1

35、)由图形的对称性知：V 4dxdy00aaax2y20dz 4dxx2 y2dy00aa2a3a4a484ax dx 4 a 403333(2)x y 01z M4zdv Va0dxdy0ax2y20zdz21a2a4224dxx 2x y ydyV002a4232a5ax a x dx0V352 121672a aV59515(3)Ixx2 y2dvaa 4dxdy00a00ax2y20 x2 y2dz 4dxx4 2x2y2 y4dy 42861126a a4545(C)1将下面积分化为重积分，并求I的值。I 常数。asin0b2y2a2y2e x2y2dxdy b2y2x2y2，其中，为

36、0 0 a bedx dyasinycgt2bsin解：根据积分限画出积分区域，采用极坐标计算。由两个积分限a2 y2 x b2 y2，0 y asin及得积分区域D是在第yctg x a2 y2，asin y bsin，一角限中由半径a，b的两上同心圆：x2 y2 b2，x2 y2 a2；x轴及直线y tgx所围成，以下利用极坐标计算。I eD x2y2dxdy 2eDr2rdrdb2derrdr 0abea2e22 设区域D为图中斜线部分，试将二重积分I fx,ydxdy化为两种次序的二次积分。D22x 2ax y 0解：由2，求得交点坐标2a 3a,2 3 3a，抛物线与x轴的交点坐2y

37、 2ax a a标为,0，则222I a22a 3adxx22axa22axfdy adx22ax22ax0fdy2 33a0dya2y22aaa2y2fdx a2 33adyaa2y2aa2y2fdx。3计算三 重积分x zdv，其中是由曲面z x2 y2与z 1 x2 y2所围成的区域。解：由于曲面z x2 y2是一个圆锥面，曲面z 1 x2 y2是上半单位球面，因此选用球面坐标计算最方便。x rcossin作球坐标变换y rsinsin，则曲面z x2 y2在r,坐标系中的方程为，4z rcos曲面z 1 x2 y2在r,的坐标系中的方程为r 1，0,2，0,。因此积分2区域变成：0 r

38、 1，0 2，0 24，24dx z dv drcossin rcosr sindr0001注意到20cosd 0，因此20 x zdv 40ddr3sincosdr01402sincosdsin2224084计算|3x 4y|dxdy，D：x2 y21。D解：本题可利用三角函数的周期性解。作极坐标变换x rcos，y rsin，则D：0 2，0 r 1，于是原式|3cos 4sin|drdr0021523452cossind|sin0|d003553其中sin034，cos0。由周期函数的积分性质，有5523原式520521020|sint|dt|sint|dt sintdt 3030303

39、5设fx,y连续，且fx,y x yfu,vdudv，其中D是由y D1，x 1，y 2所围x区域，求fx,y。解：注意到fu,vdudv是个数。D令A fu,vdudv，则A是常数，此时fx,y x Ay，等式两边同时取二重积分得DD2121111fu,vdudv x Aydxdy dy1x Aydx Ay A dy A2112242yyD1111A，得A，故fx,y x y2422226(1)计算ex yd，其中x,y|x2 y2 R2；即A 解：积分区域在极坐标系下表示为 r,|0 r R,0 2，则eDx2y2deDr2rdrd20de0Rr2rdrR1Rr221eR2.r2 2edr

40、e020(2)试证0exdx 22。证：考虑正方形区域D x,y|a x a,a y a，于是ex2y2ddxeaaaay2ey2dy eaax2dxeaay2ax2dy eadx2作D内切圆域Dax,y|x2 y2 a2与外接圆域DDa D D2ax,y|x2 y22a，于是xe2a2，因e2ax2y2 0，故有eDax2y2deDx2y2dy2dD由(1)的结果，得1ea2ax22a2aedx 1e2x2x2edx令a，由夹逼准则，得即edx 224因此，广义积分收敛，其值为，因e即0 x2为偶函数，故ex2dx 20exdx，2exdx 227 求曲面：z x2 y21上任一点的切平面与

41、曲面S：z x2 y2所围立体的体积。解：以下先求切平面方程，然后求切平面与S的交线，它在xoy平面上的投影，最后求体积。(1)先求切平面方程22 y01，设M0 x0,y0,z0是上任意点，则z0 x0在点M0的法向量n 2x0,2y0,1，切平面方程是22 y0 2x0 x 2y0yz z0 2x0 x x0 2y0y y0，即z 1 x0(2)求切平面与S的交线及切平面与S所围立体在xoy平面的投影区域。22z x y交线22z 1 x0 y0 2x0 x 2y0y2222 y0 2x0 x 2y0y，即x x0y y01。在xoy平面的投影是x2 y21 x0它围成的区域记为D，即在x

42、oy平面投影区域。(3)求的体积V22V 1 x0 y0 2x0 x 2y0y x2 y2dxdyD 1x x0y y0dxdy22D令u x x0，v y y0上式8设Ftf 01，求limu2v2120u2v2dudv1dr2rdr 02x2y2z2t2f x2 y2 z2dxdydz，其中fu为连续函数，f 0存在，且f0 0，t0Ft。t520解：先用球面坐标表示三重积分，再用洛必达法则求出。Ftdsindr2f r2dr00t 25 4 r2f r2dr0t Ft 4t2f t2，F0 0 FtFt4t2f t24f t24f t2 f0lim5 lim4 limlimlimt0tt05tt05t0t25t05t4t2 4fu f044limf 05t0u5526