2022年余弦定理教学设计 .docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学目标：1.2余弦定理南京师范高校附属中学张跃红可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 把握余弦定理,并能解决一些简洁的三角形度量问题.2. 能够运用余弦定懂得决一些与测量和几何运算有关的实际问题教学重点：重点是余弦定理及其证明过程教学难点：难点是余弦定理的推导和证明教学过程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 创设情形,提出问题 问题 1：修建一条高速大路,要开凿隧道将一段山体打通现要测量该山体底侧两点间的距离,A即要测量

2、该山体两底侧A,B 两点间的距离（如图 1）请想方法解决这个问题图 1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图： 这是一个同学身边的实际应用问题,在其解决的过程中得到余弦定理,自然引出本课的学习内容2. 构建模型,解决问题 同学活动：提出的方法有,先航拍,然后依据比例尺算出距离.利用等高线 量出距离等.也有同学提出在远处选一点C,然后量出 AC,BC 的长度,再测出 ACB ABC 是确定的, 就可以运算出 AB 的长接下来, 请三位板演其解法 法 1：（构造直角三角形）如图 2,过点 A 作垂线交 BC 于点 D,就 AD ACsinC, CD ACcosC,A BD BC

3、 CD BC ACcosC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,| AB | AD |2| BD |2CD图 2B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AC |2| BC |22 | AC | BC |cosC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - -

4、- - - - - - - -法 2：（向量方法）uuuruuuruuurA如图 3,由于 ABACCB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,uuur 2ABuuuruuurCBuuur2uuur 2uuuruuurACCB2 ACCBcosC, ACCB2图 3y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 | AB | AC |2| BC |22 | AC | BC |AcosC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法 3：（建立直角坐标系）C图 4Bx可编

5、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_建立如图 4 所示的直角坐标系,就A （ AC cosC, AC sinC）, B （ BC, 0）,依据两点间的距离公式,可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB | AC| cosC| BC|2| AC | sin C0 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以, |AB | AC |2| BC |22 | AC | BC |cosC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_活动评判：师生共同评判板演3. 追踪成果,提出猜想 师：回忆刚刚解决的问题,我们

6、很简洁得到结论：在ABC 中, a,b,c 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角 A,B,C 的对边长,就有 c 2a 2b 22ab cos C 成立类似的仍有其他等式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2c2b22cb cos A , b 2c 2a 22ca cos B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系,由于与正弦有关,就称为正弦定理.而上面等式中都与余弦有关,就叫做余弦定理问题 2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意

7、图：作为定理要经过严格的证明,在解决问题中培育同学严谨的思维习惯同学活动：经过摸索得出,如把解法一作为定理的证明过程,需要对角C 进行分类争论,即分角C 为锐角、直角、钝角三种情形进行证明.其次种和第三 种解法可以作为余弦定理的证明过程老师总结：证明余弦定理,就是证明一个等式而在证明等式的过程中,我 们可以将一般三角形的问题通过作高,转化为直角三角形的问题. 仍可以构造向量等式, 然后利用向量的数量积将其数量化.仍可以建立直角坐标系, 借助两点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - -

8、 - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -间的距离公式来解决,等等4. 探幽入微,深化懂得 问题 3：刚刚熟悉了余弦定理这个“新伴侣” ,看一看它有什么特点？同学活动：勾股定理是余弦定理的特例反过来也可以说,余弦定理是勾可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_股定理的推广.当角C 为锐角或钝角时,边长之间有不等关系a 2b 2c2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2c2 . c2a 2b 22ab cosC是边长 a

9、、b、c 的轮换式,同时等式右边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的角与等式左边的边相对应.等式右边有点象完全平方,等等老师总结： 我们在观看一个等式时,就犹如观看一个人一样,先从远处看, 然后再近处看,先从外表再到内心深处观看等式时,先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称） ,从一般到特别,或者从特别到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广）问题 4：我们为什么要学余弦定理,学它有什么用？设计意图：让同学真正体会到学习余弦定理的必要性同时又可以得到余弦 定理能解决的三角形所满意的条件,以及余弦定理的各种变形 让同学体会在使用公式或定理时,不但

10、要会“正向使用”仍要学会“逆向使用”同学活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形.假如已知三边,可以求角,进而解出三角形,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos A222bca,cos B222acb, cosC222abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2bc2ac2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 学以致用,拓展延长 练习：1在 ABC 中,如 a3,b5,c7,求角 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（1）在 ABC 中,如 b31, c6 , A450 ,解这个三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

11、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）在 ABC 中, b3, B600 ,c1 ,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学活动： 练习后相互沟通得出, 解答题 1 时,利用的是余弦定理的变形形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2式 cos Ca 2b2 2abc.而题 2 既可以利用正弦定理, 也可以利用余弦定懂得决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_摸索：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系了？你能用正弦定理证明余弦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -定理,用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后摸索可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载