2022年平面向量的正交分解及坐标表示的教学案例 .docx

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1、精品_精品资料_平面对量的正交分解及坐标表示的教学案例一. 案例要解决的教学困惑 ：在高中数学教材中,很多学问,假如同学记住结论,同学就能解决一系列的 数学题目.对于这类学问的教学始终困扰我很久.究竟是简洁的让同学记住一个公式,一个结论,或是纯粹的仿照技能,仍是要让同学通过不断的摸索、探究、实践,摸索总结出公式和结论了？新的一般数学课程标准指出：“同学的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、仿照和接受,独立摸索、自 主探究、动手实践、合作沟通、阅读自学等都是学习数学的重要方式.”“老师不仅是学问的传授者,而且是同学学习的引导者、组织者和合作者.”本案例就是为了针对解决这样的困惑而绽开

2、的教学摸索.二. 教材分析 ：【教材中所处位置】：向量的坐标表示,实际是向量的代数表示,实现了向量运 算完全代数化, 实现了数与形的结合. 中学数学教材新增向量的内容目的之一是将几何问题的证明转化为同学熟知的数量运算. 而向量的坐标运算是实现上述目的的“基础设施建设” .（强调向量应用意识）正交分解及坐标表示.考虑到同学的接受才能,本教学设计将内容2, 3 支配为一个课时.【教学目标】1. 学问目标：使同学懂得平面对量坐标的概念,明白直角坐标系中平面对量代数化的过程（几何表示 - 线性表示 - 坐标表示）,会写出直角坐标系内给定的向量坐标, 会作出已知坐标表示的向量.把握平面对量的坐标运算,

3、能正确表述向量的加法、 减法和实数与向量积的坐标运算法就, 并能运用它们进行向量的坐标运算, 明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标.2. 才能目标：通过体验直角坐标系中平面对量的坐标表示的实现过程,激发同学的探究精神,增强同学学问的应用意识.通过详细问题的分析解决,渗透数形结合数学思想,提高同学从一般到特别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的归纳才能.3. 德育目标：在数学中体会学问的形成过程,感受数与形的和谐统一.【教学重点】：平面对量的坐标表示及坐标运算突破方法：渗透从特别到一般的化归,数形结合的思想.【教学难点】：对平面对量的坐标表示生成过程的懂得

4、突破方法：设置铺垫,蓄势成渠,留意过程分析.虽然教材中涉及平面对量坐标表示的笔墨不多, 但其中值得体会懂得的东西仍是比较多,比较有“内涵” .由于之前所学的定义、概念、定理在这里得到了综合应用, 共同作用得出了平面对量的坐标表示.第一课时意图表达学问的形成过程.其次课时向量坐标运算应用以及向量平行的坐标表示.三. 学情分析 ：对于同学来说, 向量是个新内容. 前面同学已经把握了向量的物理背景和概念,向量的几何表示, 向量加减法及几何意义. 同学对这块学问的学习是模棱两可的,学问的把握是浮在表面上的. 因此, 在本课的教学之中老师引导同学获得对问题本质的熟悉是一个具有挑战性的教学活动 所以妄想在

5、一节课中就实现同学联系各个模块学问敏捷运用是不现实的. 只有在今后的学习中,不断领会、反思、运用活动逐步深刻懂得并运用它们 .教学中, 老师要实行适当的方法, 留意启示引导, 不要以自己的想法代替同学的想法, 不是简洁的告知他们如何写出向量的坐标要留意引导同学积极参加学问形成的关节点处的争论、沟通等活动, 引导同学总结学问获得过程中的思想方法. 不要简化学问发生过程的教学,而把中心放在练习强化上 要防止练习中学问的面太大而产生负迁移而影响懂得学问的本质.四. 教学问题诊断分析1. 通过以往该课的教学,大多同学只是麻木的记住向量的坐标是怎样表示, 根本不去懂得其发生过程. 记住结果, 同学虽然可

6、以利用它求一系列题目, 但这样不利于同学思维深度性和活跃性的训练.2. 向量的坐标表示的形成过程比较枯燥,为了提高同学学习的信心和爱好, 老师需要有一个比较有新意的引入.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FHCDTIJBEKLMPNQSRG3. 该课时在新旧教材中差异并不大,但如何表达新课程的“新”了？我认为应当从课型上进行转变,争论、合作探究的学习方式能激发同学学习的主动性,课堂上, 在老师引导下老师与同学. 同学与同学相互争论合作探究, 使老师与同学、同学与同学之间面对面在一起学习, 增进彼此靠近感, 排除了同学的焦虑心理,同学的主动性受到了激发,使全班同学都能获得成就感.另

7、外,老师只起引 导作用,把绝大部分讲话时间让给同学,争论中有了更多的同学在讲话,因此, 在这种探究性学习中, 同学说的机会是传统数学课堂的几倍甚至十几倍.整个课堂气氛很轻松、热闹,突出了同学的主体位置,调动了同学学习的主动性.五教学方法： 启示式谈话法教具：多媒体课件授课类型：新授课六. 教学过程 ：（）课题引入（采纳多媒体）自我介绍,从姓氏“陈”字引出向量话题课件展现“向量化”的方块字：笔画次序- 方向线段长度 大小提问：是否存在相等的向量？存在,有哪些？同学：长度相等且方向相同的向量即为相等的向量 老师：强调自由向量 -仅由大小和方向确定,与起点位置无关 .引入直角坐标系 -x 轴、 y

8、轴、原点、单位长度平面内每一个点都可以用一对实数即它的坐标 来表示,那么平面直角坐标系内的每一个向量是否也可以用一对实数来表示？假如可以,会是如何？ 板书课题： 平面对量的坐标表示及运算设计意图： 利用向量化的方块字引入, 比较生活化有新意, 激发同学的学习爱好和学习情感,为新课的自然引入供应契机 另外,老师要抓住每一次在新课中复习旧知的机会.（）新课讲解I. 平面对量的坐标表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 x 轴正方向相同的单位向量i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_432 AFHC1D TIJBE与 y 轴正方向相同的单位向量-j老师让同学把书本翻到95

9、 页并讲解正交分解, 并通过举例物理中的重力沿相互垂直的两个方向分解,让学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-5-4-3-2-1o123451015可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_KLMP-1N-2Q SR-3G生明白：假如取相互垂直的向量作为基底,会为我们争论问题带来便利.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-4CD-6LKBEi , FG3i , FHIJi ,4 j .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB., PQ.与 x 轴方向平行的向量可以用实数与i 的积表示与 y 轴方向平行的

10、向量可以用实数与j 的积表示提问：对于既不与 x 轴方向平行也不与y 轴方向平行的向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_量,如：AB, PQ仍能用 i 、 j 表示吗？怎么表示？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学：摸索,并讲出自己的想法.老师总结：不能“单独”表示,尝试“合作”表示,由此可链接哪个学问点（涉及一个向量用另两个向量线性表 示）？同学：平面对量的基底表示单位向量i 、 j 是同一平面内两个不共线的向量,故可y4作为基底,而且仍具有不同于一般基底的特别性-i 单位3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 A向量 | i | j |1. ii.

11、 相互垂直 ij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1B由平面对量基本-4-3-2-1o1234510定理得15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-1N-2ABON2i2 j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实数对-41,2 是唯独的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图： 循序渐进的向同学抛出一个接一个的问题,在不知不觉中同学懂得了向量坐标表示的形成过程.分解了本课的难点.学习文档 仅供参考-10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面对量的坐标表示y问：在这直角坐标系中,

12、 你能否找到分别表示这些向量的43相应实数对？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2FH1AB2i2 j , MNij , PQij ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BE5-4-3-2-1o12345（ -21,0-2）（ -151 , -1）（ 1 , -1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_KLM-1 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NQ-2BE-3G3i0 j , LKi0 j , FG0i4 j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-4（ 3 , 0）（ -1 , 0）（0, -4）因此,平面直角坐标系内的每一个

13、向量都可以按上述方法-6找到唯独的实数对与之对应.试让同学说说是怎样的方法.自习（教材 P95 页） 向量坐标表示的定义特别向量的坐标表示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i1, 0 ,j 0 ,1 , 0 0 , 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图： 全面铺垫后同学自习定义,形象思维帮忙抽象懂得,但淡化了平面对量基本定理的应用.通过自己学习向量坐标表示的定义,训练同学自学才能,以及学习的主动性.yII. 相关练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_43A2,3例 1.1 写出向量 BC 的坐标, 并与 OA的坐标进行比较.可编辑资料 -

14、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21C5,12 写出向量OC, OB 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-3-2-1o12345-1同学：积10极摸索, 独立完成15 之后请一同学说出解题过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-2B3,-2-3老师板演：解： （ 1）由图知 BCOA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-4BC2i3 j, OA2i3 j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCO

15、A2,3（ 2） OC5ij , OB3i2 jOC5,1, OB3, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_老师提问：（ 1）比较 BC 与 OA 的坐标,你能得出什么结论？ 同学经受观看、归纳的过程后得到：相等的向量的坐标相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）比较向量OA, OC,OB 的坐标与点 A,B,C 的坐标,你又能得到什么结论？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“必定”仍是“偶然”？“偶然”之中的“必定”又是什么？同学经受观看、归纳的过程后得到：以原点 O 为起点的向量 OA的坐标与点 A 的坐标相同设计意图： 该题一方面检查同学是

16、否能够写出向量的坐标,另一方面, 通过该题得到上述两个重要的结论. 很多结论不应当让同学死记硬背,而应当通过详细的实例,从中观看归纳得到.y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3A2,32III. 平面对量的坐标运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1C5,1由图可知OCOBBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-3-2-1o1234-1-2B3,-2-3-451015平面对量的运算平面对量的坐标运算假如用坐标表示是如何了？（ 5, 1） =（ 3, -2）

17、 +（ 2,3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_老师给出：已知 a-6 x1, y1, bx2 , y2 , 求ab, ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学观看后,摸索,并得出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab x1iy1 jx2iy2 j x1x2 i y1y2 j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab x1iy1 j x2iy2 j x1x2 i y1y2 j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

18、 欢迎下载精品_精品资料_ab x1x2, y1y2 , abx1x2 , y1y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并请同学总结向量坐标的加减运算方法：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差老师给出：已知 a x1 , y1 以及实数,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学通过类比得到axiy j xiy j x,y 并总结得出：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实数与向量的积的坐标表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原先向量的相应坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图：渗透特别到一般,猜想到证明的

19、数学思想.老师要留意板书推导过程,减法以及实数与向量的积运算可让同学自己证明. BCOCOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4Ax 1,y1 32, 3 = 5, 1 - 3, -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2Bx 2,y 21向量 OC, OB 的坐标与点 B,C 的坐标相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_老师给出：已知 A x1, y1, Bx2 , y2,依据平面对量坐标加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-3-2-1o123

20、451015可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-1-2减法运算求 AB 的坐标同学类比特别得到一般结果：-4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABOBOA x2 , y2 x1, y1 x2x1, y2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标-10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B-3,44IV. 相关练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3例 2.已知 a 2,1, b3,4, 求ab, ab,3a4b的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21A2

21、,1解: ab2,1 3,4 1,5 ,ab2,1 3,45, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-4-3-2-1o12 53a4b341032,14 3,46,312,16 6,19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-1设计意图： 让同学巩固向量坐标的运算,并让同学体会通过坐标表-2示向量的几何运算转为学校的算术.（iii）课堂小结： 回忆反思所学内容,你有那些体会和收成？课内师生可以在课内共同回忆与反思本节课的收成,课外也可以以数学小作文的形式或利用校内网络上的论坛, BBS ,博客等让同学就自己熟悉最深刻的某一个点或某一个详细问题谈谈自己的心得体会,或者提出

22、自己的问题设计意图： 提出一个问题比解决一个问题更重要通过师生的共同回忆反思, 加强师生沟通,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_拓展师生互动的空间,发挥同学的主体作用,使同学有所思,有所悟培育同学的学习探究才能,概括总结才能（ iv ）.作业布置作业本八. 学问结构向量化的方块字“陈”引入向量的坐标表示的形成过程探究简洁的向量坐标加减运算九【课后反思】通过这节课的试验,使自己对数学训练的熟悉上有了提高,课程标准指出： 同学应“通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发觉和制造的历程”, 这实际上对我们老师提出了更高的要求： “老师不仅是学问的传授者,而且也是同学学习的引导者,组

23、织者和合作者” ,因此,上课不止是教会同学如何使用结论,更重要是教会同学如何获得结论.本课是我对这一要求的一种探究与尝试.现总结为以下三个方面.1、 扮演好“引导者”的角色为了激发同学学习的热忱,我以自己姓氏引入,极大调动了同学的积极性, 为整节课的课堂成效作了一个很好的铺垫.这个环节让我感受到：对于一些“繁、难、偏、旧”的学习内容,单纯的机 械式接受学习既无法表达数学学问的背景与应用,也无法引起同学的学习爱好. 相反,对于这些内容, 假如我们可以多摸索一下, 从同学的生活体会和已有的学问背景动身, 向他们供应充分的从事数学活动和沟通的机会,引导他们在自主探究的过程中真正懂得和把握基本的数学学

24、问与技能、数学思想和方法, 同时获得广泛的数学活动体会,让同学感觉到自己是数学学习的主人.2、 扮演好“组织者”的角色在教学过程中, 光作好一个“引导者” 的角色是不够的. 无论过去仍是现在, 我们所面对的同学层次总有不同, 学问背景, 实际才能存在差异, 组织好教学内容及学习过程, 因材施教永久是我们老师需要考虑的问题. 同时在现代技术的背景下,数学教学中也显现了越来越多的新技术手段, 这些都是对传统教学手段的有益补充,如何用好这些手段, 同样需要我们老师专心将其整合到教学过程中去, 以期让全部同学都能从中或多或少的有所收成,使同学学习数学、懂得数学.在本节课教学中,为了突破本节课的重点和难点对平面对量的坐标表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_示生成过程的懂得.通过设置铺垫,蓄势成渠,留意过程分析,通过同学之间的 总结出最本质的内容, 从而引起每个同学对重难点的懂得, 达到了较好的教学成效.3、 扮演好“合作者”的角色本节课在老师的不断铺垫不断引导下,同学不断观看和摸索中, 得到了本课需要同学把握的结论. 因此在数学教学中, 老师的活动与同学的活动相互独立又相互依存. 我们作为老师, 必需把握我们自身所处的位置, 充分而又恰当的发挥老师的主导作用,同时要充分发挥和调动同学学习的积极性、主动性.可编辑资料 - - - 欢迎下载