双曲线的简单几何性质1公开课.docx

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1、322双曲线的简单几何性质（2课时，单元教学设计）杭州市临平实验中学夏灿芳一、单元内容和内容解析1.内容本单元包括双曲线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质的应用，它们是中学数学中的重 要内容.本单元共2课时，第1课时的主要内容是双曲线的简单几何性质（范围、对称性、 顶点、渐近线、离心率），第2课时的主要内容是双曲线的简单几何性质的应用.2.内容解析本单元是在学习双曲线的标准方程的基础上，类比椭圆的简单几何性质，进一步研究双 曲线的简单几何性质。研究双曲线的简单几何性质的主要思想方法如：类比归纳思想，转化 与化归思想，方程思想等与其他数学内容有紧密的联系，为后面的学习奠定基础；同时双曲 线的简

2、单几何性质在人们的生活中有广泛的应用，又是分析和解决大量数学问题和实际问题 的重要工具.有了研究椭圆的简单几何性质的经验，便可以按研究椭圆的简单几何性质的基本方法去 研究双曲线的简单几何性质.本节课要学的内容是双曲线的一些基本性质，其核心内容是双曲 线的离心率及渐近线，理解它关键是先让学生理解直观的图形，从中抽象出双曲线的性质.学生已经学过双曲线概念和标准方程，本节课的内容双曲线的简单几何性质就是在其基 础上的开展.由于它还与椭圆、抛物线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照比照的作用，所以 是双曲线的核心内容.结合以上分析，确定本单元的教学重点：双曲线的简单几何性质，解决重点的关键是引 导学生动手

3、、动脑，从图形的直观得到双曲线性质的准确刻画.二、单元目标和目标解析L目标（1） 了解双曲线的简单几何性质；（2）会用双曲线的几何性质解决相应的问题；（3）培养学生的类比的数学思想和逻辑思维能力；（4）培养学生的方法归纳能力和应用意识.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）双曲线的范围及概念，对称性，离心率，渐近线表示.（2）能够根据双曲线中三条线段之间的关系能求出双曲线的标准方程及离心率.三、教学问题诊断分析在本节双曲线性质的教学中，学生可能遇到的问题是双曲线的一些基本概念会与椭圆的 概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清.要解决这一问题，就 要类比着椭圆的概念及性

4、质学习，其中关键是借助图形直观类比.本节课的教学难点是渐近线的发现和离心率.四、单元教学支持条件分析通过教学课件的应用，增加学生学习兴趣；适当增加课堂内容的容量，通过习题解题操 作使学生熟悉双曲线的简单几何性质.五、课时教学设计第一课时双曲线的简单几何性质(1)课时教学内容：双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)(2)课时教学目标：1 . 了解双曲线的范围、对称轴、顶点、实轴、虚轴、渐近线等概念。2 .类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究并获得双曲线的几何性质。在经历探究双曲 线的几何性质的过程中，体会由数论形的一般方法。在解题过程中体会类比归纳思想、转化与化归思想、方程思

5、想的应用.(3)教学重点：1 .双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线。2 .进一步理解、运用、感悟从代数角度研究几何的思想和方法。教学难点：3 、渐近线的发现；2、代数角度研究几何的思想和方法(4)教学过程设计(一)创设情境，提出问题问题1：前面已经学习了双曲线的概念与双曲线的标准方程，按照解析几何研究几何图 形的内在逻辑，接下去我们应该研究什么？问题2：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研 究这些性质？我们应该明确，要研究双曲线的几何性质，然后，在观察双曲线图形的基础上，明确应 该研究双曲线的范围、对称性、顶点等.研究的基本思路与方法是先“

6、行”后“数”，即在观 察图形形状与特征的基础上先提出猜测,再通过双曲线的标准方程进行计算和推理.设计意图：让学生在明确的研究问题、研究方法的指引下学习与探究，提高思维的主动 性、深刻性，防止思维的被动性和盲目性.(二)各个击破，解决问题1 .范围问题3：观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？你能利用它的方程给出证 明吗？类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是4，或纵坐标的范围是yeR.明确曲线的范围即方程中两个变量的取值范围，然后在观察、猜测的基础上通过方程给出证明.设计意图：明确研究曲线范围实质上是研究什么，以及怎么样通过方程研究.2 .对称性问题4：

7、观察双曲线的形状，它有怎样的对称性？在平面直角坐标系中，要证明一个图形 关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗？类比研究椭圆的对称性的方法，在标准方程中，把光换成-,或把y换成-y,或把工,y同时换成-, -y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.设计意图：明确曲线的对称性的实质，以及怎么样通过方程判断曲线是否关于坐标轴或 原点对称.3 .顶点问题5：观察双曲线，你觉得有哪些比拟特殊的点？你能通过方程给出证明吗？何为特殊的点，即双曲线与坐标轴的交点,在问题解决后，给出双曲线的顶点、实轴、

8、虚 轴、实半轴长、虚半轴长等概念.22那么y无解,这说明双曲线有两个那么y无解,这说明双曲线有两个在标准方程T 一斗 = 1中，令y = 0得x = a；令x = 0, a顶点，A（一。，），43）22如图，对称轴上位于两顶点间的线段A4叫做双曲线鼻-2二1的实轴，其长度为加. a o4.渐近线22问题6：利用信息技术画出双曲线土-匕=1和两条直线22 = 0.在双曲线的右支上取 943 2一点测量点的横坐标句以及它到直线=0的距离沿曲线向右上方拖动点M ,观察山与d的大小关系，你发现了什么？归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线.（几 何画板演示引导学生发现

9、渐近线，明确渐近线与双曲线的关系）22结论：直线22二。叫做双曲线二一与=1（。0力o）的渐近线.a ba b画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲 线.时，双曲线为等轴双曲线.设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结卜 合讲授法“说明双曲线上的点越来越接近于直线y = -x采用两种方法:一是定量描述， a直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示, 直观反映“渐近”的特征.5.离心率与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率。a问题7：双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？因为由

10、等式。2=/+。2,可知：e = = =他卫=1耳=a N cr V a v cr a）所以双曲线的离心率e = l.a问题8：椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，那双曲线的离心率刻画了双曲线的什 么几何特征呢？双曲线的离心率el且e越大双曲线的开口就越开阔。设计意图：让首先从图形中直接感受离心率对双曲线的影响，然后利用几何画板进行展（三）应用巩固，内化迁移例1求双曲线9y216/=144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解:把方程9y2 16/ = 144化为标准方程由此可知，半实轴长 =4,半虚轴长 =3；c yl a2 +b2 + 3=5焦点坐标是（05）,（0,5）；

11、离心率e = = 9；渐近线方程为 = 与乩 a 43归纳小结：首先把方程化为标准方程，看准焦点在哪条轴上，得到a,b,c的值，再由双 曲线的几何性质求解.跟踪训练焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为:；22（2）过点（2, 0）,与双曲线2 2二1离心率相等.6416设计意图：及时巩固双曲线的几何性质，促进知识向技能迁移. 22例2求以下双曲线的标准方程：与双曲线弓-。=1有公共焦点，且过点（3后,2）；16422_（2）与双曲线土-& = 1有共同渐近线，且过点（-3,2石）9 16设计意图：让学生体会数学中的一题多解.通过具体问题，让学生掌握共渐近线，共焦点 的双曲线的设法，同时也掌握利用待定系数法解决求双曲线的标准方程。（四）回顾反思，深化理解. 问题9：本节课我们研究了曲线的哪些性质？这些性质通过怎样的方法得到？通过方程 研究曲线的几何性质有怎样的特点？设计意图：促进学生掌握研究圆锥曲线的几何性质的一般思路与方法，体会利用方程研 究曲线的几何性质的特点.（五）布置作业，应用迁移:作业本第54, 55页