2022年高三数列复习例题总结 .docx

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1、精品_精品资料_数列理科判定（是否）并证明,反证法和数学归纳法【北京市东城区 2022-2022 学年度其次学期高三综合练习II-数学理科】（20） 本小题共 14 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于数列an n1, 2 , m ,令 bk 为 a1 , a2,ak 中的最大值, 称数列bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 an的“创新数列” . 例如数列 2 , 1, 3 , 7 , 5 的创新数列为 2 , 2 , 3 , 7 , 7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

2、- 欢迎下载精品_精品资料_定义数列cn： c1,c2 ,c3,cm 是自然数 1, 2 , 3 , mm3 的一个排列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当 m5 时,写出创新数列为3, 4 , 4 , 5 , 5 的全部数列cn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）是否存在数列cn,使它的创新数列为等差数列？如存在,求出全部的数列cn,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如不存在,请说明理由.解：（

3、）由题意,创新数列为3 , 4 , 4 , 5, 5 的全部数列即：数列 3 , 4 , 1, 5 , 2 .cn 有两个,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 3 , 4 , 2 , 5, 1. 4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）存在数列cn,使它的创新数列为等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 cn的创新数列为en n1,2,3, m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 em 是所以 emc1 ,c2, cm

4、中的最大值,m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意知,ek 为 c1,c2, ck 中最大值,ek 1为 c1 ,c2, ck ,ck1 中的最大值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ekek 1,且 ek1,2, m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 en为等差数列,设其公差为d ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 dek 1ek0 且 dN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 d0 时, en为常数

5、列,又 emm ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列此时数列en为 m , m , m .cn是首项为 m 的任意一个符合条件的数列. 8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 d1 时,由于 emm ,所以数列en 为 1, 2 , 3 , m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时数列cn为1, 2 , 3 , m . 10 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 d2 时,由于

6、eme1m1) de1m122 m2e1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 m3 , e10,所以 emm ,这与 emm 冲突,所以此时en 不存在,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即不存在cn使得它的创新数列为公差d2 的等差数列 . 13 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,当数列cn 为以 m 为首项的任意一个符合条件的数列或cn 为数列 1,2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

7、资料_3 , m 时,它的创新数列为等差数列. 14 分【北京 2022 年高考理科数学模拟试题一】（20）（本小题共 14 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在单调递增数列 an 中, a12 ,不等式 n1anna2n 对任意nN * 都成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求a 2 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）判定数列 an 能否为等比数列？说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

8、- 欢迎下载精品_精品资料_（）设 b1111 11 , c611 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n22nn2 n*bncn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：对任意的nN ,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】（）解：由于 an 是单调递增数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a 2a1, a22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 n1, 2 a1a 2 , a24 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

9、- - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a 22, 4. 4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明：数列 an 不能为等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用反证法证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设数列 an 是公比为 q 的等比数列, a120 , an2q n 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 an 单调递增,所以 q1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 nN * , n1) anna2n 都成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下

10、载精品_精品资料_所以 nN * , 11q n*nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 q1 ,所以 n 0N ,使得当 nn0 时, q2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 11 n2 nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 n0N * ,当 nn0 时, q1n1,与冲突,故假设不成立.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 9 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明：观看：b1c13 , b21

11、5c249, b32135c33221,猜4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_想： bncn .用数学归纳法证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 当 n1 时, b13c13 成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 假设当 nk 时,bkck 成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当时,bb 11c 11611 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1k612 k 1k112 k 12 k16112 k 1

12、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_612 k 12 k12 k 122k 12k 12 2k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 bk 1ck 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据（ 1）（2）可知,对任意nN * ,都有bncn ,即bncn0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知得,a 2 n11 a .nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

13、- - 欢迎下载精品_精品资料_2所以 a n121n21 a n 111n 1 211121a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 n2 时, a n22bn 12cn 112112 n 112 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 a 2a412 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以对任意 nN* , an212 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对任意 nN * ,存在 mN * ,使得n2 m ,可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于数列 an 单调递增,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2所以 ana m由于 bncn12, an120 .0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bncn所以0 . 14 分an12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【北京 2022 年高考理科数学模拟试题二】20. 本小题满分 13 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知数列an 满意 a12 ,且对任意 nN ,都有 an4an2可编辑资料 - - -

15、欢迎下载精品_精品资料_5an 1an 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ）求证：数列1为等差数列.an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ）试问数列an中 akak 1kN是否仍是an中的项？假如是,请指出是数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列的第几项.假如不是,请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）令 bn21 3 an5,证明：对任意nN *, 都有不等式2bn2bn 成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

16、料_【解析】 解:（）anan 12an4anan 12 an1 ,即2an2an 13anan1 , 1 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_113所以, . 2an 1an2分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列15是以an2为首项,公差为3 的等差数列 3 分2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（II ）由（）可得数列1的通项公式为13n2,所以 an2 4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ak akanan2224123n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k2 3 k129k21k10 .5 分可编辑资

17、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9k 2221k623k 27k2 7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k 27k2由于k 23k1kk1, 8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k k当 kN 时,21肯定是正整数,所以3k27 k22 是正整数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 也可以从 k 的奇偶性来分析 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 akak 1 是

18、数列an 中的项,是第3k 27k22 项 9 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 证明：由（ 2）知： an23n2, bn2 153an2 3n2532n4 .10分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面用数学归纳法证明：n 42n24 对任意nN * 都成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当 n=1 时,明显 2552 ,不等式成立 . .11分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

19、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 假设当nkkN * 时,有 2k 4k42 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 nk1时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 k 1 422 k 42 k4 22k 216k32 k5 2k 26k7k52可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即有：n2bn 12bn 1 也成立.12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综合 iii知：对任意nN*, 都有不等式2bnb 2成立 1

20、3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【2022 年 高考试题 数学（理）北京卷】20 本小题共 13 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如数列 Ana1, a2,., an n2) 满意ak 1ak1k1,2,., n1) ,数列An 为 E 数列,记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S An = a1a2.an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）写出一个满意a1as0 ,且S As 0 的 E 数列An .可编辑资料 - - -

21、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如a112 , n=2022,证明： E 数列An 是递增数列的充要条件是an =2022.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）对任意给定的整数n（ n 2）,是否存在首项为 0 的 E数列An ,使得S An=0？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如存在,写出一个满意条件的E 数列An .假如不存在,说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】：（） 0, 1, 2,

22、1,0 是一具满意条件的E 数列 A5.（答案不唯独, 0, 1, 0, 1, 0 也是一个满意条件的E 的数列 A5）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）必要性：由于E 数列 A5 是递增数列,所以ak 1ak1k1,2,1999 . 所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列 . 所以 a2022=12+（ 2022 1）1=2022. 充分性,由于 a2022 a1000 1,a2022 a1000 1a2 a1 1 所以 a2022 a 19999,即 a2022 a1+1999.又由于 a1=12, a2022=

23、2022, 所以 a2022=a1+1999. 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an10k1,2,1999, 即An 是递增数列 . 综上,结论得证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数（指数函数,分段函数,二元函数）或曲线与数列结合【北京理科 2022 年高考数学模拟试题五】15.（本小题共 13 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知等差数列 an 的前 n 项和为Sn , a2=4, S5=35 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求数列 an 的前 n 项和Sn

24、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如数列 bn 满意bean,求数列 bn的前 n 项的和Tn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n【解析】（）设数列 an 的首项为 a1,公差为 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1d4a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就5a1551 d235d, 5 分3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an3n2 可编辑资料 - - - 欢迎

25、下载精品_精品资料_ 前 n项和 Snn13n2n3n1 7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（） an223n2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n be3n2,且 b1=e 8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2 时,3n 2bnee3 为定值, 10 分be3 n 1 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 数列 bn构成首项为 e,公比为 e3 的等比数列 11 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e

26、1e3n e3n 1e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Tn1e3e3 13 分1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 bn的前 n 项的和是 Tne3 n 1ee31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【北京理科 2022 年高考数学模拟试题五】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20.（本小题共 13 分）用 a 表示不大于 a 的最大整数令集合P1,2,3,4,5,对任意 kP 和 mN* ,定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

27、料_5k义 f m, k m1 ,集合 A mk1 | mN*,kP ,并将集合 A 中的元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1i1素依据从小到大的次序排列,记为数列 an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求f 1,2 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求a9 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求证：在数列 an中,不大于 m0k01 的项共有f m0, k0 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解

28、析】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由已知知33333 f 1,223456110002 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f 1,22 4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由于数列 an 是将集合 A mk1 | mN*,kP中的元素按从小到大的顺可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_序排成而成,所以我们可设计如下表格m12345m0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

29、_k12223242232 33 343342434452535562636从上表可知,每一行从左到右数字逐步增大,每一列从上到下数字逐步增大23456222324a932 且322 5所以 8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）任取m1, m2N * , k1,k2P ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 m1k11m2k21 ,就必有 m1m2,k1k2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即在（）表格中不会有两项的值相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于 m0k01 而言,如

30、在（）表格中的第一行共有m1 的数不大于 m0k01 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m0k01m0k01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 m12m0k01 ,即 m1,所以 m12 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m0k01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理,其次行共有m2 的数不大于 m0k01 ,有 m2 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m0k01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 i 行共有mi 的数不大于 m0k01 ,有 mi 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,在数列 an中,不大于m0k01 的项共有5 m0i 1k01i1 项,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f m0 , k0 项. 13 分【北京 2022 年高考理科数学模拟试题三】20. （本小题满分 13 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_