2022年高中数学排列组合题型总结 .docx

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1、精品_精品资料_排列组合题型总结排列组合问题千变万化,解法敏捷,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口.因而在求解排列组合应用题时,除做到：排列组合分清,加乘原理辩明,防止重复遗漏外,仍应留意积存排列组合问题得以快速精确求解.一 直接法1 特别元素法例 1 用 1 , 2 ,3, 4 ,5, 6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满意以下条件的四位数各有多少个1 数字 1 不排在个位和千位222数字 1 不在个位,数字 6 不在千位.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：1个位和千位有5 个数字可供挑选A5 ,其余2 位有四个可供挑选A4 ,由乘法原理：可编辑资料 - -

2、 - 欢迎下载精品_精品资料_A452 A2 =2403112 特别位置法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 当 1 在千位时余下三位有A5 =60 ,1 不在千位时,千位有A4 种选法,个位有A4 种,余下的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2AA112444有 A4 ,共有A =192 所以总共有 192+60=252二 间 接 法当 直 接 法 求 解 类 别 比 较 大 时 , 应 采 用 间 接 法 . 如 上 例 中 2 可 用 间 接 法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A5642A 3A 2 =252可编辑资料 - - - 欢迎下载精

3、品_精品资料_4例 2有五张卡片,它的正反面分别写0 与 1 ,2 与 3,4 与 5 ,6 与 7,8 与 9 ,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0 与 1 卡片用与不用,且用此卡片又分使用0 与使用 1 ,类别较复杂,因333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而可使用间接运算：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 52A3个,其中 0 在百位的有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4C 2222A2个 , 这 是 不 合 题 意 的 . 故 共 可 组 成 不

4、同 的 三 位 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 323A3 - C 222A2 =432 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5342三 插空法当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法.例 3在一个含有 8 个节目的节目单中, 暂时插入两个唱歌节目, 且保持原节目次序, 有多少中插入方法？11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：原有的 8 个节目中含有9 个空档,插入一个节目后,空档变为10 个,故有A9A10 =100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中插入方法.四 捆绑法当

5、需排元素中有必需相邻的元素时,宜用捆绑法.例44 名男生和 3 名女生共坐一排,男生必需排在一起的坐法有多少种？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有A4 种排法,而男生之间又有A4 种排法,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又乘法原理满意条件的排法有：A4 A4 =576可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,假设使每个盒子不空,就不同的放法有种23 C 4

6、A3 2. 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的同学参观,但每天只能支配一所学校,其中有一所学119可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1校人数较多,要支配连续参观2 天,其余只参观一天,就植物园30 天内不同的支配方法有C 29A28 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意连续参观2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C 29 其余的就是 19 所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学校选 28 天进行排列五 阁板法名额安排或相同物品的安排问题,相宜采阁板用法例 5某校

7、预备组建一个由 12 人组成篮球队,这12 个人由 8 个班的同学组成,每班至少一人,名额安排方案共种 .7分析：此例的实质是12 个名额安排给8 个班,每班至少一个名额,可在12 个名额种的 11 个空当中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_插入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的安排方式,故有练习 1.a+b+c+d15 有多少项？C11 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当项中只有一个字母时,有C4 种即 a.b.c.d 而指数只有 15 故C4 C14 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

8、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当项中有 2 个字母时,有C4 而指数和为 15 ,即将 15 安排给 2 个字母时,如何分,闸板法一分为2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121C14 即C4 C14332可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当项中有 3 个字母时C4 指数 15 分给 3 个字母分三组即可C4 C14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当项种 4 个字母都在时C4C14四者都相加即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2练习 2 有 20 个不加区分的小球

9、放入编号为1 ,2,3 的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不少编号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数,问有多少种不同的方法？C16 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 不定方程 X1+X 2+X 3+ +X 50 =100中不同的整数解有49C99 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六 平均分堆问题例 66 本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3分析：分出三堆书 a1,a2,a3 ,a4 ,a5,a6 由次序不同可以有C 2 C 2C 2A3

10、=6 种,而这 6 种分法只算一种分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有642A33=15 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 1 6 本书分三份, 2 份 1 本, 1 份 4 本,就有不同分法？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 某年级 6 个班的数学课,安排给甲乙丙三名数学老师任教,每人教两个班,就分派方法的种数.七合并单元格解决染色问题例 7全国卷文、理 如图 1,一个的区分为 5 个行政区域,现给的图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有四种颜色可供挑选,就不同的着色方法共有种以数字作答

11、.分析：颜色相同的区域可能是2 、3、4 、5 下面分情形争论 : 当 2、4 颜色相同且 3、 5 颜色不同时,将 2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4个元素的全排列数A42,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4当 2 、4 颜色不同且 3 、5 颜色相同时,与情形 类似同理可得 A4种着色法当 2、4 与 3 、5分别同色时,将 2 、4 . 3、5 分别合并,这样仅有三个单元格可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,43,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品_精品资料_从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有33C 4A3 种方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_433由加法原理知：不同着色方法共有2 A4C 4 A3 =48+24=72种练习 1天津卷文 将 3 种作物种植12345在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物, 不同的种植方法共种以数字作答72 2 江苏、辽宁、天津卷理 某城市中心广场建造一个花圃,花圃6 分为个部分如图 3,现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话,不同的栽种方法有种以数字作答120 5B614AD23CE图 3图

13、 43 如图 4 ,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,就符合这种要求的不同着色种数540 4 如图 5 ：四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必需穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是种 84 A4BE13CD2图 5图 65 将一四棱锥 图 6 的每个顶点染一种颜色, 并使同一条棱的两端点异色,假设只有五种颜色可供使用,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就不同的染色方法共种 420 八 递推法例八

14、 一楼梯共 10 级,假如规定每次只能跨上一级或两级,要走上这 10 级楼梯,共有多少种不同的走法？ 分析：设上 n 级楼梯的走法为 a n 种,易知 a1 =1,a 2=2, 当 n2 时,上 n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最终一步跨一级, 有 an-1 种走法,其次类是最终一步跨两级, 有 an-2 种走法, 由加法原理知： an=a n-1 + an-2 ,据此, a 3=a 1 +a 2 =3,a 4 =a # +a 2 =5,a 5 =a 4+a 3=8,a 6=13,a 7 =21,a 8 =34 ,a9=55,a 10 =89. 故走上 10 级楼梯共有 89 种不同的方法

15、.九. 几何问题31. 四周体的一个顶点位A, 从其它顶点与各棱中点取3 个点, 使它们和点 A 在同一平面上, 不同的取法有种 3 C5 +3=332. 四周体的棱中点和顶点共10 个点 1 从中任取 3 个点确定一个平面,共能确定多少个平面？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 C-4 C 3 +4-3C 3 +3-6C3+6+2 6=29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_106442 以这 10 个点为顶点,共能确定多少格凸棱锥？三棱锥 C10 4-4C 64 -6C 4 4-3C 44=141四棱锥 6 4 4=96 3 6=18共有 114十 先选后排法例

16、 9 有甲乙丙三项任务,甲需2 人承担,乙丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选派方法有A.1260 种B.2025 种C.2520 种D.5054 种分析：先从 10 人中选出 2 人十一用转换法解排列组合问题例 10 某人连续射击 8 次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同的结果有多少种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题2A5 =20 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例11 个人参与秋游带 10 瓶饮料,每人至少带1 瓶,一

17、共有多少钟不同的带法解 把问题转化为5 个相同的白球不相邻的插入已经排好的10 个相同的黑球之间的9 个间隙种的排列问9题 C 5 =126种例 12从 1 , 2 ,3 , 1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数,有多少种不同的去法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 把稳体转化为10 个相同的黑球与 990 个相同白球,其其中黑球不相邻的排列问题.10C991可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例13某城市街道呈棋盘形,南北向大街5 条,东西向大街4 条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种解无论怎样走必需经过三横四纵,因此,把问题转化为3

18、个相同的白球与四个相同的黑球的排列问3题 C7 =35 种例14一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同的走法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解依据题意要想 12 步登完只能 6 个一步登一个台阶,6 个一步登两个台阶,因此,把问题转化为6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6个相同的黑球与 6 个相同的白球的排列问题 例15求 a+b+c 10 的绽开式的项数C12 =924 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 绽开使的项为a b c,且+ + =10 ,因此,把问题转化为2 个相同的黑球与 1

19、0 个相同的白球的排可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列问题2C12 =66 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例16亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有5 名队员,按事先排好的次序参与擂台赛,双方先由1 号队员比赛,负者剔除,胜者再与负方2 号队员竞赛,直到一方全被剔除为止,另一方获胜,形成一种竞赛过程那么全部可能显现的竞赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为a1 ,a2 ,a5 ,欧洲队队员为 b 1, b 2 , b 5 ,下标表示事先排列的出场次序,假设以依次被剔除的队员为次序竞赛过程转化为这10 个字母相互穿插的一个排列,最终师胜队种步被剔除的队员和可能未参与参赛的

20、队员,所以竞赛过程可表示为5 个相同的白球和 5 个相同黑球排列问题,竞赛过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10程的总数为C 6 =252 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十二转化命题法例17 圆周上共有 15 个不同的点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析： 因两弦在圆内假设有一交点, 就该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形,就问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形,因此这些现在圆内的交点最多有C 4 =1365可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

21、_15个十三概率法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,假如数学必需排在体育之前, 那么该天的课程表有多少种排法？1分析：在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等,均为2,故本可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例所求的排法种数就是全部排法的11,即A=360种22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十四除序法例 19用 1 , 2,3 ,4, 5 ,6, 7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中,1假设偶数 2,4 , 6 次序肯定,有多少个？2假设偶数 2,4

22、 , 6 次序肯定,奇数 1,3 , 5,7 的次序也肯定的有多少个？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 17A73 2A7A7A3 A4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_334十五错位排列例 20同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的卡片,就不同的安排方法有种 9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式 1 ann1an 1an 2 n=4 时 a4 =3a 3 +a 2 =9 种 即三个人有两种错排,两个人有一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_种错排可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 an =n.1-11+-1.2.1+ +3.1 n 1 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习有五位客人参与宴会, 他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会终止后每人戴了一顶帽子回家,回家后, 他们的妻子都发觉他们戴了别人的帽子,问5 位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？44 可编辑资料 - - - 欢迎下载