2022年实际问题与二元一次方程组经典例题-针对各类型题型 .docx

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1、精品_精品资料_实际问题与二元一次方程组经典例题目标认知 学习目标：1. 能够借助二元一次方程组解决简洁的实际问题,再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2. 进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系,体会代数方法的优越性3. 体会列方程组比列一元一次方程简洁4. 进一步培育化实际问题为数学问题的才能和分析问题,解决问题的才能5. 把握列方程组解应用题的一般步骤.重点：1. 经受和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程.2. 进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.难点： 正确找出问题中的两个等量关系学问要点梳理学问点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把 “未知

2、” 转化为“已知” 的重要方法, 它的关键是把已知量和未知量联系起来, 找出题目中的相等关系. 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必需满意：1方程两边表示的是同类量. 2 同类量的单位要统一. 3 方程两边的数值要相等.学问点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1. 行程问题：(1) 追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行.这类问题比较直观,画线段,用图便于懂得与分析. 其等量关系式是 :两者的行程差开头时两者相距的路程.(2) 相遇问题 :相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行.这类问题也比较直观, 因而也画线段图帮忙懂得与分析.这类问

3、题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程.(3) 航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度.船在静水中的速度水速船的逆水速度.船的顺水速度船的逆水速度2水速.留意： 飞机航行问题同样会显现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.2. 工程问题： 工作效率工作时间 =工作量 .3. 商品销售利润问题：1 利润售价成本 进价 .2. 3利润成本进价利润率.(4) 标价成本 进价 1利润率 . 5 实际售价标价打折率.留意：“商品利润售价成本”中的右边为正时,是盈利.为负时,就是亏损.打几折就是按标价可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的非常之几或百分之几十销售.

4、例如八折就是按标价的非常之八即五分之四或者百分之八十4. 储蓄问题：(1) 基本概念本金：顾客存入银行的钱叫做本金.利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.本息和：本金与利息的和叫做本息和.期数：存入银行的时间叫做期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率.利息税：利息的税款叫做利息税.(2) 基本关系式利息本金利率期数本息和本金利息本金本金利率期数本金1利率期数 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率.税后利息利息1 利息税率 年利率月利率 12 .留意： 免税利息 =利息5. 配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.6增长率问题：解这类问题的基本等

5、量关系式是：原量1增长率 增长后的量.原量 1削减率 削减后的量 .7和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量余外量,总量倍数倍量. 8数字问题：解决这类问题,第一要正确把握自然数、奇数、偶数等有关概念、特点及其表示.如当n 为整数时, 奇数可表示为 2n+1 或 2n-1 ,偶数可表示为 2n 等,有关两位数的基本等量关系式为：两位数 =十位数字10+个位数字9. 浓度问题： 溶液质量浓度 =溶质质量 .10. 几何问题： 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等运算公式11. 年龄问题： 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永久不会变

6、的12. 优化方案问题：在解决问题时,经常需合理支配.需要从几种方案中,挑选最正确方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最正确方案.留意： 方案挑选题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最正确方案.学问点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、找、列、解、检、答”七步 .即：（ 1）审：通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数.（ 2）设：依据题意设元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3找：找出能够表示题意两个相等关系.4列：依据这两个相等关系列出必需的代数式,

7、从而列出方程组.5解：解这个方程组,求出两个未知数的值.6检：检查所求的解是否符合实际问题;7答：在对求出的方程的解做出是否合理判定的基础上,写出答案.要点诠释：(1) 解实际应用问题必需写“答” ,而且在写答案前要依据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应当舍去.(2) “设”、“答”两步,都要写清单位名称.(3) 一般来说,设几个未知数就应当列出几个方程并组成方程组.解答步骤简记为：问题方程组解答(4) 列方程组解应用题应留意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系.审题时,留意从文字,图表中获得有关信息.留意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,

8、列方程组与解方程组时,不要带 单位.正确书写速度单位,防止与路程单位混淆.在查找等量关系时,应留意挖掘隐含的条件. 列方程组解应用题肯定要留意检验.经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决 行程问题1. 甲、乙两的相距160 千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两的相向而行,1 小时 20分相遇 .相遇后, 拖拉机连续前进, 汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返回,在汽车再次动身半小时后追上了拖拉机 .这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨： 画直线型示意图懂得题意：(1) 这里有两个未知数：汽车的行程.拖拉机的行程.(2) 有两个等量关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

9、精品资料_相向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 160 千米 ;同向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 .解： 设汽车的速度为每小时行千米,拖拉机的速度为每小时千米 .依据题意,列方程组解这个方程组,得:.答：汽车行驶了 165 千米,拖拉机行驶了85 千米 .总结升华： 依据题意画出示意图,再依据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略.2 在某条高速大路上依次排列着A、B、C 三个加油站, A 到 B 的距离为 120 千米, B 到 C 的距离也是 120 千米分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速大路逃离

10、现场,正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立刻以相同的速度分别往A、C 两个加油站驶去,结果往 B 站驶来的团伙在1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3 小时后才被另一辆巡逻车追逐上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【分析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y 千米 / 时,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 x xy120,y120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得xy40,xy120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 80解得,y 40因此,巡逻

11、车的速度是80 千米 / 时,犯罪团伙的车的速度是40 千米 / 时点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都存在着一个相等关系,这个关系涉及到两者的速度、原先的距离以及行走的时间,详细表现在：“相向而遇”时,两者所走的路程之和等于它们原先的距离.“同向追及”时,快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原先的距离举一反三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式 1】甲、乙两人相距36 千米,相向而行,假如甲比乙先走2 小时,那么他们在乙动身2.5 小时后相遇.假如乙比甲先走2 小时,那么他们在甲动身3 小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米

12、？解： 设甲、乙两人每小时分别行走千米、千米.依据题意可得：解得：答：甲每小时走 6 千米,乙每小时走3.6 千米.【变式 2】两的相距 280 千米,一艘船在其间航行,顺流用14 小时,逆流用20 小时,求船在静水中的速度和水流速度.分析：船顺流速度静水中的速度水速船逆流速度静水中的速度水速解：设船在静水中的速度为x 千米 / 时,水速为 y 千米 / 时,就,解得：答：船在静水中的速度为17 千米 / 时,水速 3 千米 / 时.跟踪训练1、甲、乙两人在东西方向的大路上行走,甲在乙的西边300 米,假设甲、 乙两人同时向东走30 分钟后,甲正好追上乙.假设甲、乙两人同时相向而行,2 分钟后

13、相遇,问甲、乙两人的速度是多少？甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步,相向而行每隔两分钟相遇一次.同向而行,每隔6 分相遇一次,已知甲比乙跑的快,求甲乙每分钟跑多少圈？类型二：列二元一次方程组解决 工程问题1 一批机器零件共 840 个,假如甲先做 4 天,乙加入合做,那么再做8 天才能完成.假如乙先做 4 天,甲加入合做,那么再做9 天才能完成,问两人每天各做多少个机器零件？分析：由题意得甲做12 天,乙做 8 天能够完成任务.而甲做9 天,乙做 13 天也能完成任务,由此关系我们可列方程组求解设甲每天做x 个机器零件,乙每天做y 个机器零件,依据题意,得48x8y8409x49 y840可编

14、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得：x 50y 30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答：甲每天做50 个机器零件,乙每天做30 个机器零件2 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,依据这个服装厂原先的生产可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_才能,每天可生产这种服装150 套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的4 .现在工5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_厂改良了人员组织结构和生产流程,每天可生产这种工作服200 套,这样不仅比规定时间少用1 天,而且比订货量多生产25 套,求订做的工作服是几套？要求的

15、期限是几天？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：设订做的工作服是x 套,要求的期限是y 天,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意,得150 y4 x5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_200 y1x25x3375解得y18点评：工程问题与行程问题相类似,关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量 =工作时间工作效率” 以及它们的变式“工作时间 =工作量工作效率,工作效率 =工作量工作时间” 其次留意当题目与工作量大小、多少无关时,通常用“ 1”表示总工作量举一反三：【变式】 小明家预备装修一套新住房,假设甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱5.

16、2 万元.假设甲公司单独做 4 周后,剩下的由乙公司来做,仍需9 周完成,需工钱 4.8 万元. 假设只选一个公司单独完成,从节省开支的角度考虑,小明家应选甲公司仍是乙公司？请你说明理由.解： 设甲、乙两公司每周完成总工程的和,由题意得：, 解得：所以甲、乙单独完成这项工程分别需要10 周、 15 周.设需要付甲、乙每周的工钱分别是万元,万元,依据题意得：,解得：故甲公司单独完成需工钱：万元.乙公司单独完成需工钱：万元.答：甲公司单独完成需6 万元,乙公司单独完成需4 万元,故从节省的角度考虑,应选乙公司单独完成.跟踪训练1、一千零一夜 中有这样一段文字：有一群鸽子,其中一部分在树上欢歌,另一

17、部分在的上觅食,树上的一只鸽子对的上觅食的鸽子说：“假设从你们中飞上来一只,就树下的鸽子就是整个鸽群的1/3 , 假设从树上飞下去一只,就树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？类型三：列二元一次方程组解决 商品销售利润问题1 一件商品假如按定价打九折出售可以盈利20%.假如打八折出售可以盈利10 元,问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为x 元,进价为 y 元,就打九折时的卖出价为 0.9x元,获利 0.9x-y元,因此得方程0.9x-y=20%y .打八折时的卖出价为0.8x元,获利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

18、_精品资料_0.8x-y元,可得方程0.8x-y=10.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组0.9xy0.8xy20% y,10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x200解得,y150因此,此商品定价为200 元总结：利润率是相对于进价而言的,利润的运算一般有两种方法,一是：利润=售价 - 进价.二是：利润=进价利润率特殊留意“利润”和“利润率”是不同的两个概念2 有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利 46 元.价风格整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利 44 元,就两件商品的进价分别是多少元？思路点拨

19、：做此题的关键要知道： 利润进价利润率解：甲商品的进价为x 元,乙商品的进价为y 元,由题意得：,解得：答：两件商品的进价分别为600 元和 400 元.举一反三：【变式 1】 2022 湖南衡阳李大叔去年承包了10 亩的种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000 元,其中甲种蔬菜每亩获利2022 元,乙种蔬菜每亩获利1500 元,李大叔去年甲、 乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解：设李大叔去年甲种蔬菜种植了亩 ,乙种蔬菜种植了亩,就：,解得答：李大叔去年甲种蔬菜种植了 6 亩,乙种蔬菜种植了4 亩【变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品,销售完后共获利6 万元,其进价和售价如下表：AB进

20、价元 / 件12001000售价元 / 件13801200注：获利 =售价 进价求该商场购进 A、B 两种商品各多少件.解：设购进 A 种商品件, B 种商品件,依据题意得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简得：解得：答：该商场购进 A、B 两种商品分别为 200 件和 120 件.跟踪训练1、打折前, 买 60 件 A 商品和 30 件 B商品用了 1080 元,买 50 件 A 商品和 10 件 B 商品用了 840 元, 打折后,买 50 件 A 商品和 50 件 B 商品用了 960 元,比不打折少花多少钱？2、有甲、乙两种债券,年利率分别是10与 12,现有 400

21、 元债券,一年后获利45 元,问两种债券各有多少？类型四：列二元一次方程组解决 银行储蓄问题4小明的妈妈为了预备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2022 元钱, 一种是年利率为 2.25 的训练储蓄,另一种是年利率为2.25 的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱？利息所得税利息金额20%,训练储蓄没有利息所得税思路点拨： 设训练储蓄存了 x 元,一年定期存了y 元,我们可以依据题意可列出表格：解：设存一年训练储蓄的钱为x 元,存一年定期存款的钱为y 元,就列方程：,解得： 答：存训练储蓄的钱为1500 元,存一年定期的钱为500 元.总结升华

22、 :我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不简洁找出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析详细问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之出现出来.举一反三：【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了2022 元和 1000 元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息 43.92 元. 已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几？注：公民应缴 利息所得税 =利息金额 20%思路点拨： 扣税的情形：本金年利率1-20% 年数 =利息其中,利息所得税=利息金额 20% . 不扣税时：利息 =本金年利率年数 .解：设第一种储蓄的年利率为x,其次种储蓄的年

23、利率为y,依据题意得 :,解得 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答：第一种储蓄的年利率为2.25%,其次种储蓄的年利率为0.99%.【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000 元钱 . 第一种, 一年期整存整取,共反复存了3 次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%.其次种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%. 三年后同时取出共得利息303.75 元 不计利息税 ,问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？解：设第一种存款数为X 元,就其次种存款数为y 元,依据题意得：,解得：答：第一种存款数为1500 元,其次种存

24、款数为2500 元.类型五：列二元一次方程组解决 生产中的配套问题1某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖 5 只. 现方案用 132 米这种布料生产这批秋装 不考虑布料的损耗 ,应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨： 此题的第一个相等关系比较简洁得出：衣身、衣袖所用布料的和为132 米.其次个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2 倍 留意：别把 2 倍的关系写反了 .解： 设用米布料做衣身,用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,依据题意,得：答：用 60 米布料做衣身,用72 米布料做衣袖

25、才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华： 生产中的配套问题许多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等 .各种配套都有数量比例, 依次设未知数, 用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.2 某厂共有 120 名生产工人,每个工人每天可生产螺栓25 个或螺母 20 个,假如一个螺栓与两个螺母配成一套, 那么每天支配多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母, 才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套,只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套,依据题意,每天生产的 螺栓与螺母应满意关系式

26、：每天生产的螺栓数2=每天生产的螺母数 1因此,设支配人生产螺栓, 人生产螺母,就每天可生产螺栓25个,螺母 20个,依题意,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy50x120220y,解之,得1x20y100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故应支配 20 人生产螺栓, 100 人生产螺母可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结：解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是： “二合一”问题：假如件甲产品和件乙产品配成一套,那么一套中甲乙的数量比为a:b ,要想生产出来的全部产品配套,就得满意甲乙的总数量之比

27、也为a:b.举一反三：【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子,每张铁皮做8 个盒身或 22 个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子？思路点拨： 两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数,两个相等关系是：制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数 =190.制盒身个数的2 倍=制盒底个数 .解：设 x 张铁皮制盒身, y 张铁皮制盒底,由题意得：答：用 110 张制盒身, 80 张制盒底,正好制成一批完整的盒子.【变式 2】某工厂有工人 60 人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓14个或螺母 20 个,应安排多少人生产

28、螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.解：由一个螺栓套两个螺母的配套产品,可设生产螺栓的有x 人,生产螺母的有y 人,就：,解得：答：生产螺栓的有25 人,生产螺母的有35 人.【变式 3】一张方桌由1 个桌面、 4 条桌腿组成,假如1 立方米木料可以做桌面50 个,或做桌腿 300条.现有 5 立方米的木料, 那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿, 做出的桌面和桌腿, 恰好配成方桌？能配多少张方桌？解：设用 x 立方米的木料做桌面,用y 立方米的木料做桌腿,依据题意,得：, 解得：可做 50 3 150 张方桌.答：用 3 立方米的木料做桌面,用2 立方米的木

29、料做桌腿,可做成150 张方桌.类型六：列二元一次方程组解决 数字问题8.两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数.在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大2178, 求这两个两位数.思路点拨 ：设较大的两位数为x,较小的两位数为y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题 1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数,所写的数可表示为：100x y问题 2：在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示为：100y x解：设较大的两位数为x,较小的两位数为y.依题意可得：,解得：答：这两个两位数分别为45

30、, 23.举一反三：【变式 1】一个两位数,减去它的各位数字之和的3 倍,结果是 23.这个两位数除以它的各位数字之和,商是 5,余数是 1,这个两位数是多少？解：设十位数为 x,个位数为 y,就：,解得：答：这两位数为 56【变式 2】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,假如把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原先的两位数的一半仍少9,求这个两位数？解：设个位数字为x,十位数字为 y, 依据题意得：,解得：答：这个两位数为72.【变式 3】某三位数,中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,假如百位数字减1,个位数字加1,就所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒

31、序排列,求原三位数.解：设原三位数的百位数字为x ,个位数字为y,由题意得：,答：所求三位数是504.跟踪训练1、一个两位数字,个位数字比十位数字大5,假如把这两数字的位置对换,那么所得的新数与原数的和是 143,求这个两位数2、 甲乙两盒中各有一些小球,假如从甲盒中拿出10 个放入乙盒,就乙盒球就是甲盒球数的6 倍,假设从乙盒中拿出 10 个放入甲盒, 乙盒球数就是甲盒球数的3 倍多 10 个,求甲乙两盒原先的球数各是多少？ 类型七：列二元一次方程组解决 增长率问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.某工厂去年的利润总产值总支出为200 万元,今年总产值比去年增加了20%,总

32、支出比去年削减了 10%,今年的利润为 780 万元,去年的总产值、总支出各是多少万元？ 思路点拨 ：设去年的总产值为x 万元,总支出为 y 万元,就有总产值万元总支出万元利润万元去年xy200今年120%x90%y780依据题意知道去年的利润和今年的利润,由利润=总产值总支出和表格里的已知量和未知量,可以列出两个等式.解： 设去年的总产值为x 万元,总支出为 y 万元,依据题意得：,解之得：答：去年的总产值为2022 万元,总支出为 1800 万元总结升华： 当题的条件较多时,可以借助图表或图形进行分析.举一反三：【变式 1】假设条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元？ 解：设今年的总

33、产值为x 万元,总支出为 y 万元,由题意得：,解得：答：今年的总产值为2022 万元,总支出为 1800 万元摸索：本问题仍有没有其它的设法？【变式 2】某城市现有人口42 万,估量一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加 1.1%,这样全市人口增加 1%,求这个城市的城镇人口与农村人口.思路点拨： 由题意得两个等式关系,两个相等关系为：1城镇人口 +农村人口 =42 万.2城镇人口 1+0.8%+ 农村人口 1+1.1%=42 1+1%解：设现在城镇人口为x 万,农村人口为 y 万,由题意得：解得答：现在城镇人口14 万人,农村人口为28 万人类型八：列二元一次方程组解决 年龄问题1今年父

34、亲的年龄是儿子的5 倍, 6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍,求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨： 解此题的关键是懂得“ 6 年后”这几个字的含义,即6 年后父子俩都长了6 岁.今年父亲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的年龄是儿子的 5 倍, 6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍,依据这两个相等关系列方程.解：设现在父亲 x 岁,儿子 y 岁,依据题意得：, 答：父亲现在 30 岁,儿子 6 岁.总结升华： 解决年龄问题,要留意一点：一个人的年龄变化增大、减小了,其他人也一样增大或减小,并且增大或减小的岁数是相同的相同的时间内.举一反三：【变式 1】今年,小李的年龄是他爷爷的五

35、分之一. 小李发觉, 12 年之后,他的年龄变成爷爷的三分之一 . 试求出今年小李的年龄 .思路点拨： 此题的关键是两句话,第一句：小李的年龄是他爷爷的五分之一.其次句：他的年龄变成爷爷的三分之一.把未知数设出来,已知量和未知量依据这两句话列两个方程.解：设今年小李的年龄为x 岁,就爷爷的年龄为y 岁.依据题意得：,解得： 答：今年小李的年龄为12 岁.类型九：列二元一次方程组解决 和差倍分问题1. 2022 年北京丰台区中考一摸试题“爱心”帐篷厂和“暖和”帐篷厂原方案每周生产帐篷共 9 千顶,现某的震灾区急需帐篷14 千顶,两厂打算在一周内赶制出这批帐篷为此,全体职工加班加点,“爱心”帐篷厂

36、和“暖和”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别到达了原先的1.6 倍、 1.5 倍,恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“暖和”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨： 找出已知量和未知量,依据题意知未知量有两个,所以列两个方程,依据方案前后,倍数关系由已知量和未知量列出两个等式,即是两个方程组成的方程组.解：设原方案“爱心”帐篷厂生产帐篷x 千顶, “暖和”帐篷厂生产帐篷y 千顶,由题意得：, 解得：4=6答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8 千顶, “暖和”帐篷厂生产帐篷6 千顶 .举一反三：【变式 1】 2022 年北京门头沟区中考一模试题 “的球一小时”是世界自然基金会在 2022

37、 年提出的一项建议号召个人、社区、企业和政府在每年 3 月最终一个星期六 20 时 30 分 21 时 30 分熄灯一小时,旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,提倡低碳生活中国内的去年和今年共有 119 个城市参与了此项活动,且今年参与活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个,问中国内的去年、今年分别有多少个城市参与了此项活动解：设中国内的去年有 x 个城市参与了此项活动,今年有 y 个城市参与了此项活动依题意得, 解得：答：去年有 33 个城市参与了此项活动,今年有86 个城市参与了此项活动【变式 2】 游泳池中有一群小伴侣,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽.假如

38、每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1 倍,你知道男孩与女孩各有多少人吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路点拨： 此题关键之一是：小孩子看游泳帽时只看到别人的,没看到自己的帽子.关键之二是： 两个等式,列等式要看到重点语句,第一句：每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多.其次句：每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1 倍.找到已知量和未知量依据这两句话列两个方程.解：设男孩 x 人,女孩 y 人,依据题意得：,解得： 答：男孩 4 人和女孩有 3 人.类型十：列二元一次方程组解决 几何问题10如图,用 8 块相同的长方形的砖拼成一个长方形,

39、每块长方形的砖的长和宽分别是多少？思路点拨 ：初看这道题目中没有供应任何相等关系,但是题目供应的图形隐含着矩形两条宽相等,两条长相等,我们设每个小长方形的长为x,宽为 y,就可以列出关于x、 y 的二元一次方程组.解：设长方形的砖的长xcm, 宽 ycm,由题意得：,答：每块长方形的砖的长为45cm、宽为 15cm.总结升华： 几何应用题的相等关系一般隐匿在某些图形的性质中,解答这类问题时应留意仔细分析图形特点,找出图形的位置关系和数量关系,再列出方程求解.举一反三：【变式 1】用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形,假设将此矩形的长边剪掉3 厘米,补到较短边上去, 就得到一个正方形,求正方形的面

40、积比矩形面积大多少？思路点拨： 此题隐含两个可用的等量关系,其一长方形的周长为铁丝的长48 厘米,其次个等量关系是长方形的长剪掉3 厘米补到短边去,得到正方形,即长边截掉3 厘米等于短边加上3 厘米.解：设长方形的长为x 厘米,宽为 y 厘米,依据题意得：,所以正方形的边长为：9+3=12 厘米正方形的面积为：=144 厘米长方形的面积为：159=135 厘米答：正方形的面积比矩形面积大144-135=9 厘米总结升华 ：解题的关键找两个等量关系,最关键的是此题设的未知数不是该题要求的,此题要是设正方形的面积比矩形面积大多少,问题就复杂了.设长方形的长和宽,此题就简洁多了,所以列方程解应用题设

41、未知数是关键.【变式 2】一块矩形草坪的长比宽的2 倍多 10m,它的周长是 132m,就长和宽分别为多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设草坪的长为y m 宽为 x m,依题意得：,解得：答：草坪的长为m,宽为m类型十一：列二元一次方程组解决 优化方案问题：12某的生产一种绿色蔬菜,假设在市场上直接销售,每吨利润为1000 元.经粗加工后销售, 每吨利润可达 4500 元.经精加工后销售,每吨利润涨至7500 元.当的一家农工商公司收成这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产才能是：假如对蔬菜进行粗加工,每天可以加工16 吨.假如进行细加工,每天可加工 6 吨.但两种加工方

42、式不能同时进行.受季节条件的限制,公司必需在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工.方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售. 方案三：将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好在15 天完成你认为挑选哪种方案获利最多？为什么？思路点拨： 如何对蔬菜进行加工,获利最大,是生产经营者始终摸索的问题.此题正是基于这一点,对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案,供同学们自助探究,相互沟通,尝试解决,并在探究和解决问题的过程中,体会应用数学学问解决实际问题的乐趣.解： 方案一获利为： 4500 140=630000 元.方案二获利为： 7500 6 15+1000 140 6 15=675000+50000=725000 元.方案三获利如下：设将吨蔬菜进行精加工,吨蔬菜进行粗加工,就依据题