2022年机械振动——简谐运动的基本概念 .docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 旋转矢量引言：前面介绍了用数学表达式及曲线表示简谐运动中位移和时间的关系；本节将介绍用旋转矢量表示位移和时间的关系；引入旋转矢量的优点：1）形象地明白简谐运动的各个物理量； 2）为简谐运动的合成供应了最简捷的争论方法；一、旋转矢量图示法：一长度为 A 的矢量 A 在 XOY 平面内绕 O点沿逆时针方向旋转,其角速度为 ,在 t=0时,矢量与 X 轴的夹角为 ；这样的矢量称为旋转矢量；在任意时刻,矢量 A 与 X 轴的夹角为 t, A 的 矢 端 M 在 轴 上 的 投 影 为x A cos t ；即：旋转矢量本身并不作简谐运动,而是旋转矢量

2、的矢端在 X 轴上的投影点在作简谐运动；在旋转矢量的转动过程中,矢端作匀速圆周运动,此圆称为参考圆；二、 旋转矢量与简谐运动的关系：简 谐 振 动 的 方 程x=Acos t+ , 依据几何学原理可以把它看作一旋转着的矢量 A 在 x 轴上的投影；振幅矢量转动一周,相当于振动一个周期；当一矢量A 绕其一端点o 以角速度旋转时,另一端点在x 轴或 y 轴上的投影点上将作简谐振动；设 t=0 时, A 与 x 轴夹角为,t 时刻, A 转过t 角,就矢量端点在x 轴上投影点坐标为x =Asin（t+ ）；明显投影点作简谐振动的振幅、圆频率、初相与A 矢量大小、旋转角速度、初始 A 与 x 轴夹角一

3、一对应；当然,投影点的速度和加速度也与简谐振动的速度和加速度相对应；_精品资料_ A 振幅第 1 页,共 8 页圆频率相位初相位t+ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 三、 旋转矢量的应用：1作振动图 演示 ：用旋转矢量 A 来表示简谐振动形象直观,一目了然,在以后分析两个以上谐振动合成时十分有用和便利；旋转矢量图及简诣运动的 x-t 图2求初相位：/3A、如图,质点在x=A/2 处向右运动,质点在 x=A/2 处向左运动,/3质点在 x=-A/2 处向右运动,2/3质点在 x=-A/2 处向左运动,2/3vM3可以用来求速度和加速度：矢 端M的

4、速 度 与 加 速 度 大 小 为aM2A,在 X 轴上的投影为vvMsin tA sin t2 A cos taa Mcos t4振动的合成 第 6 节内容 例：一个质点沿 x 轴作简谐运动,振幅 A= 0.06m,周期 T= 2s,初始时刻质点位于 x0=0.03m 处且向 x 轴正方向运动；求：（1）初相位；（ 2）在 x=- 0.03m处且向向 x 轴负方向运动时物体的速度和加速度以及质点从这一位置回到平稳位置所需要的最短时间；解：（ 1）取平稳位置为坐标原点,质点的运动方程可写为_精品资料_ xAcostcos2.02rads1第 2 页,共 8 页依题意,有A=0.06m,T=2s

5、,就T2在 t=0 时,x 0Acos0 . 0603 mv 0Asin0因而解得3故振动方程为- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - x0.06cost3（SI）用旋转矢量法,就初相位在第四象限,故3；12（2）t1t时,x 10.06cost130 .03且1t3为其次象限角,故1t323得t1=1s,因而速度和加速度为vdxt1s.0 06sint 13.016 msdtsd 2 x 2adt 2t 1 s 0 . 06 cos t 13从 x=- 0.03m 处且向向 x 轴负方向运动到平稳位.030 m置,意味着旋转矢量从M 1 点转到M 2

6、点,因而所需要的最短时间满意t3252365故 t 6 5 0 . 83 s6可见用旋转矢量方法求解是比较简洁的；单摆与复摆引言：实际发生的振动问题并不象弹簧振子那么简洁,大多数比较复杂；例如1）回复力不肯定是弹性力,而是重力,浮力等其它性质的力；2）合外力可能是非线性力,只有在肯定的条件下,才能近似当作线性回复 力；此时争论问题的方法一般为：依据问题的性质,突出主要因素,建立合理 的物理模型,使运算简化；下面争论两个实际振动问题的近似处理；一、单摆 数学摆（ Mathematical Pendulum ）1概念：单摆是一个抱负化的振动系统：它是由一 根无弹性的轻绳挂一个质点构成的；如把质点从

7、平稳 位置略为移开,那么质点就在重力的作用下,在竖直平面内来回摇摆；摆锤 重物 摆线 细绳 平稳位置 O 点_精品资料_ 2动力学方程mg,绳的拉力T,第 3 页,共 8 页争论摆锤所受的力,有重力合力即为摆锤所受的回复力为：Fmgsin- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 当 很小时（ 5 0）, sin 因而F=-mg 与角位移成正比,近似在水平方向上运动；kgl又由于摆锤沿圆弧运动,xl,x/l因而Fmgxmgxll故单摆作简谐运动,mg/l 相当于弹簧振子的因而单摆的圆频率为2km3运动学方程和周期单摆的振动方程为xx 0cost振幅 x0 和

8、初相 由初始条件确定；由简谐运动的周期公式T2lmk得单摆的周期为T2g4说明：1）单摆的合外力与弹性力类似,但本质不同,称为准弹性力；2）单摆的周期与单摆的质量无关；3）如单摆的振幅不是很小时,周期的一般表达式为T2l11sin2m132sin4m2222 222g4式中 m 为最大摆角,并且含有 m 的各项逐步减小；当 m15 0时,实际周期与抱负周期的误差不超过 0.5%；4）单摆可以当作计时器；5）单摆供应了一种测量重力加速度的简便装置,只要测出周期T,就gT2l425单摆的频率2g1 T1gTl2l二、复摆 物理摆（ Physical Pendulum）1概念：质量为 m 的任意外形

9、物体,被支持在 无摩擦的与纸面垂直的水平轴 O 上,将它拉开 一个微小的角度 后释放；如忽视阻力与摩擦力,就物体将绕轴 O 作微小的自由摇摆 复 摆；2运动方程 重力矩： M=-mglsin -mgl 当 很小时（ 5 0）, sin 依据转动定律,可得_精品资料_ mglJJd22第 4 页,共 8 页dt- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 故d22mgl J0dt令mgl2J2 就 d 220 dt 所以复摆也是作简谐运动；3周期与频率T2JmglmglJ4应用 1）测重力加速度：要求已知 J,l,测 T g 2）测转动惯量：假如测出摆的质量,重

10、心到转轴的距离以及单摆的周期,就 可以得此物体系统绕该轴转动得转动惯量；有些外形复杂得物体得转动惯量,用数学方法进行运算比较困难,有时甚至是不行能得,但用振动方法可以测定（要求已知 g,l,测 TJ）；简谐运动的能量引言：作简谐运动的系统,除具有动能外,仍具有势能,其能量是动能和势能 的和；一、简谐运动的能量1能量表达式t 时刻质点的位移为x,速度为 v,就以弹性振子为例；假设在xAcostmv21mA22sin2tvAsint就系统动能为：E k122系统动能为：E p1kx21kA2cos2t2cos2t22因而系统的总能量为2sin2t1kAEEkEp1mA222考虑到2k,就mE1mA

11、221kA222即弹簧振子作简谐运动的能量与振 幅的平方成正比；_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 8 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 由于系统不受外力作用,并且内力为保守力,故在简谐运动的过程中,动 能与势能相互转化,总能量保持不变；说明：1EA2,对任何简谐运动皆成立；2动能与势能都随时间作周期性变化,变化频率是位移与速度变化频率的两 倍,而总能量保持不变；且总能量与位 移无关；动能 Ek=E-Ep 2能量曲线 留意懂得能量守恒和动能、势能相互转化过程；k A2/2= mv 02/2+ kx 02/2,解之即得：由能量守恒关系可得：Ax2v020

12、二、能量平均值定义：一个随时间变化的物理量f1TftdtT0ft ,在时间 T 内的平均值定义为因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为Ek1T12 mA2sin2tdt12 mA212 kAT0244因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为Ep1T12 kA2 costdt1kA212 mA2T0244结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等,它们都等 于总能量的一半；三、应用 在忽视阻力的条件下,作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重 力势能）,且二者之和保持不变,因而有d E k E p 0 dt 将详细问题中的动能与势能表达式代入上式,经过简化后,即可得到简谐 运动的微分方程及

13、振动周期和频率；这种方法在工程实际中有着广泛的应用；此方法对于争论非机械振动特别便利；例 1用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程；解：弹簧振子在振动过程中,机械能守恒,即_精品资料_ 1mv21kx21kA2xC0第 6 页,共 8 页2222两边对时间求导,得dx1m2vdv1k2dt2dt- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 即mvd2xkxv0dt2d2xkx0dt2m令2k,就md2x2x02 dt其解为xAcost代入守恒方程可得A=A例 2劲度系数为k、原长为l、质量为m 的匀质弹簧,一端固定,另一端系一质量为 M 的物体,在光滑的水平面上

14、作直线运动,求其运动方程；解：取物体受力平稳位置O 为坐标原点,向右为x 轴正方向,如下列图,设mM 且振幅不大；这样,弹簧上各点随物体作同相运动,固定端振幅为零,与物体相连的一端振幅与物体的振幅相同,各点的位移与到固定端的距离 S成正比 0Sl ；当物体位于 S 处时,取微元 dS,其质量为 dm=mdS/l ,位移为 Sx/l,速度为S/ldx/dt ,而 dx/dt=v 正是物体运动的速度；如忽视阻力,就系统机械能守恒；当物体位于 x 处时,弹簧的动能与物体的动能分别为l 21 m S 1 2E k 1 dS v mv0 2 l l 6E k 2 1 Mv 22系统的势能为E P1 kx 22依据机械能守恒定律,有1mv21Mv21kx2const6221M1mv21kx2const232将上式对时间求导,整理后可得M1mdvkx03dt或写成_精品资料_ d2x2x0第 7 页,共 8 页dt2- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 式中2k/M1m3可见,当弹簧质量远小于物体的质量时,且系统作微小运动时,弹簧振子的运动可以认为是简谐运动,振动周期为T 2 2 M m / 3k可见,周期比不计弹簧质量时要大；不过当较,误差也是不大于 1；m=M 时,与严格运算结果相比_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 8 页