2022年线性代数知识点总结第一章 .docx

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1、精品_精品资料_线性代数学问点总结第一章行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一节：二阶与三阶行列式a11a12a11a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把表达式a 11 a22a12a21 称为a 21a 22所确定的二阶行列式,并记作a 21,a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 Da11a22a12a21. 结果为一个数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a21a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理,把表达式a11a22a33a12a23a

2、31a13a21a32a11a23a32a12 a21a33a13a22a31,称为由数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11表 a21a31a11a12 a22 a32a12a13a23 所确定的三阶行列式,记作a33a13a11 a21 a31a12 a22 a32a13a23 .a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 a21a31a22 a32a23 a33= a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22 a31,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、_精品资料_二三阶行列式的运算：对角线法就留意：对角线法就只适用于二阶及三阶行列式的运算.利用行列式运算二元方程组和三元方程组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对二元方程组a11x1 a21 x1a12 x2b1a22 x2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11设 Da211就 xD1a12 a22b1 b20a12 a22b1a12D1b2a22D22,xD2a11 a21a11b1.a21b2b1b2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Da11a12Da11a12可编辑资料 - - - 欢迎

4、下载精品_精品资料_a21a22a21a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对三元方程组a11x1 a21 x1 a31x1a12 x2 a22 x2 a32 x2a13 x3 a23 x3 a33 x3b1b2 ,b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11设 Da21 a31a12 a22 a32a13a230 , a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1D1b2b3a12 a22 a32a13 a23 a33, D 2a11b1a21b2a31b

5、3a13 a23 a33, D3a11 a21 a31a12 a22 a32b1b2 ,b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x1D1 , x DD2, x3DD3.（课本上没有）D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2留意：以上规律仍能推广到n 元线性方程组的求解上.其次节：全排列及其逆序数全排列 ：把 n 个不同的元素排成一列,叫做这n 个元素的全排列（或排列）.n 个不同的元素的全部排列的总数,通常用Pn 或 An表示.（课本 P5）逆序及逆序数 ：在一个排列中, 假如两个数的前后位置与大小次序相反,即前面的数大于后面的数,那么称它们构成一个逆序,一个排列中

6、,逆序的总数称为这个排列的逆序数.排列的奇偶性： 逆序数为奇数的排列称为奇排列.逆序数为偶数的排列称为偶排列.（课本P5）运算排列逆序数的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一： 分别运算出排在 1,2, n1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2, n1,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这 n 个元素的逆序数,这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.方法二： 分别运算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.（课本上没有）第三节： n 阶行列式的定义可编辑资料 - - -

7、 欢迎下载精品_精品资料_定义： n 阶行列式 Da11 a21a12 a22a1n a2 n等于全部取自不同行、 不同列的 n 个元素的乘积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nan1an 2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12a1 p a2 panp的代数和,其中 p1 p2 pn 是 1, 2, ,n 的一个排列,每一项的符号由其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11a12a1n逆序数打算.D0a22a2 n1t 12na11a22anna11

8、a22ann也可简记为00ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_detaij,其中aij为行列式 D 的（ i, j 元）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据定义,有 D说明：a11 a21an1a12 a22an 2a1n a2 nannnp1 p2p nt p1 p21pn12a1 p a2 panp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、行列式是一种特定的算式,它是依据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_组的需要而定义的;可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品_精品资料_2、n 阶行列式是n. 项的代数和 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积 ;t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n4、 a1 p a2 panp的符号为1, t 的符号等于排列p1, p2 ,. pn 的逆序数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、一阶行列式 aa 不要与肯定值记号相混淆.推论 1：上,下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11 0即 Da12 a22a1n a2nt 121na11a22a

10、nna11a22ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积,副对角行列式的值等于以其副对角线上各元的乘积.n n 112乘可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即12n ,221 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn第四节：行列式的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义记 Da11 a21a12 a22a1 nTa2 n, Da11 a12a21 a22an1 a

11、n2,行列式D T 称为行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1D 的转置行列式.an 2anna1na2nann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 1行列式与它的转置行列式相等.说明行列式中行与列具有同等位置,因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 2互换行列式的两行rirj或列 cicj,行列式变号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论假如行列式有两行（列）完全相同,就此行列式为零.性

12、质 3行列式的某一行 （列） 中全部的元素都乘以同一数kr jk ,等于用数 k 乘此行列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式.推论 1D 的某一行（列）中全部元素的公因子可以提到D 的外面 ;推论 2D 中某一行（列）全部元素为零,就D =0 .性质 4行列式中假如有两行（列）元素成比例,就此行列式为零性质 5如行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11a21Da12 a22a1i a2ia1i a2i a1n a2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1an

13、 2aniani ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11a12a1ia1na11a12a1ia1 na21a22a2ia2 na21a22a2ia2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1an 2aniannan1an 2aniann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 6把行列式的某一列 （行）的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去, 行列式的值不变.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算行列式常用方法：利用定义.利用运算rikrj 把行列式化为上三角形行列式,从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而

14、算得行列式的值.说明行列式中行与列具有同等的位置,行列式的 6 个性质凡是对行成立的对列也同样成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第五节 行列式按行（列）绽开余子式在 n 阶行列式中,把元素aij所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下来的n1 阶行列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式叫做元素aij的余子式,记作M ij .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代数余子式记Aijij1M ij,叫做元素aij的代数余子式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

15、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_引理一个 n 阶行列式,假如其中第i 行全部元素除（ i,j） i ,j 元外aij都为零,那么这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即Daij Aij .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理n 阶行列式Da11 a21a12 a22a1n a2 n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

16、精品资料_an1an 2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的代数余子式的乘积之和,即Dai 1Ai1ai2 Ai 2ain Ain ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i1,2, n或Da1 j A1ja2 j A2 janj Anj , j1,2, n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_扩展范德蒙德 Vandermonde 行列式 Dn xix j 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

17、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x11x21xnx21x22x2nn i j 1xn 1xn 1xn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_绽开定理推论n 阶行列式Da11 a21a12 a22a1n a2n的任意一行（列）的各元素与另一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1an2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ai1 As1ai 2 As 2ain Asn0is 或a1 j A1ta2 j A2tanj Ant0 jt 可编辑资料 - - - 欢迎下载