2022年解三角形题型展示.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载第 9 讲正弦定理和余弦定理考向一利用正弦定懂得三角形1 人教 A 版教材习题改编 在 ABC中, A60, B75, a 10,就 c 等于 A 52B 102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_106C.3D 56可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由 A B C180,知C45,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理得：asincAC sin,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 10 c . c32221063sinA

2、cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在 ABC中,如,就 B 的值为 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A30B45C60D90解析由正弦定理知：BAsinAcosB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin sin, sinB cosB, B45.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案B3 2022 北京 在 ABC中,如 b 5, B,tan A2,就 sin A .a .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由于 ABC中, tanA2,所以 A 是锐角,sinA22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

3、精品资料_且cos 2, sinAA cos25A 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立解得sinA5,BAab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再由正弦定理得sin sin,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入数据解得a 210.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25答案5210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4在 ABC中,角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,且 a ,b3 0 , A45,就满意此条件的三角形个数是A0B1C2D很多个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a解 析 ： 直 接 根

4、 据 正 弦 定 理 可 得bbsinA, 可 得sinB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3sin 45 6sinAsinBa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： A2 1,没有意义,故满意条件的三角形的个数为0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 以下判定中正确选项（）A. ABC中, a=7, b=14,A=30 , 有两解B. ABC中, a=30,b=25,A=150 ,有一解C. ABC中, a=6,b=9 , A=45,有两解D. ABC中, b=9,c=10,B=60 , 无解1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学

5、习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载答案B6. 资 料 P180 例 1考向二利用余弦定懂得三角形1已知 a,b,c 是 ABC三边之长,如满意等式 abc abc ab,就角 C 的大小为 A60B90C120D150解析由 abc abc ab,得 ab 2c2ab, c2a2b2aba2b2 2abcos C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos

6、C答案C1C,120.2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.（ 2022福建,10）在 ABC中, 角 A、B、C 的对边分别为a、b、c ,如（a就角 B 的值为 +c -b）tanB=3 ac,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. B.63C.或65D.或 2633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案D32022 咸宁月考 已知 a、b、c 分别是 ABC 中角 A、B、C 的对边,且a2 c2 b2 ac. 1 求 角 B 的 大 小 . 2如 c 3a,求 tan A 的值例 2解1 a2 c2 b2 ac,可编辑资料 - - -

7、欢迎下载精品_精品资料_ cos B2 c2 b2a1 .2ac2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. 0B, B 32方法一将 c 3a 代入 a2 c2 b2 ac,得 b7a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由余弦定理,得cos A 0Aa, BA, cos A1sin2A 57.14 tan A sin A 3cos A5 .方法三 c 3a,由正弦定理,得sin C 3sin A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ B, C AB 323 A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 sin 3 A 3sin A,2可编辑资料 -

8、 - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载sin223 cos A cos 3 sin A 3sin A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32 cos A1sin A 3sin A, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 5sin A3cos A, tan A sin A 3cos A5 .24.在 ABC 中,

9、a、b、c 分别为 A、B、C 的对边, B 3 , b13, a c 4,求 a.变式迁移 2解由余弦定理得,b2 a2 c2 2accos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2 c222accos 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2 c2 ac a c2ac.又 a c 4, b13, ac 3,a c 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立ac 3,解得 a 1, c3,或 a3, c 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 等于 1 或 3.5在 ABC中, sin 2 Asin 2 Bsin 2 CsinBs

10、inC,就 A 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 0, 6B.6 ,C.0,3 D.3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由已知及正弦定理有a2 b2 c2 bc,而由余弦定理可知a2 b2 c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2bccosA,于是可得 b2 c2 2bccosA b2 c2bc,可得 cos A ABC中, 0A ,故 A 0, 3.考向三面积问题1. 在 ABC中, A=60 ,AB=5,BC=7, 就 ABC的面积为.1,留意到在2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案10 32. （ 2

11、022广东五校联考）在ABC中,角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c ,已知 a+b=5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2c=7 ,且 4sinAB2-cos2C= 7 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求角 C的大小.（2）求 ABC的面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 （ 1） A+B+C=180 , 由 4sin 2 AB -cos2C= 7 , 得 4cos 2 C -cos2C= 7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4 1cosC -2c

12、os 2C-1= 7 , 整理 , 得 4cos 2C-4cosC+1=0, 解得 cosC= 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 0 C180 , C=60 .222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 由余弦定理得c=a +b -2abcosC, 即 7=a +b -ab, 7=a+b-3ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由条件 a+b=5, 得 7=25-3ab,ab=6, SABC= 1 absinC=21 623 = 3 3 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精

13、品_精品资料_2 A3. 已知 A,B, C 为 ABC的三个内角,其所对的边分别为a,b, c,且 2cos2cosA0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求角 A的值.(2) 如 a 23, bc 4,求 ABC的面积3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

14、料_解1 由 2cos2 A2 cos A 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 1 cosA cosA 0,1即 cosA ,220 A , A 3 .2 由余弦定理得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba2 2222bccos A, A 2 ,c32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 a b c bc,2又 a 23, b c4, 有 12 4 bc,就 bc4,4.2022 上海文、理 在 ABC 中, a,b, c 分别是三个内角A,B,C 的对边如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2 ,C , cos B25 ,求AB

15、C 的面积 S 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_425可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 解：由题意,得cosB3 , B 为锐角,5sin B4 ,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin BC sin3 B72 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理得c10 ,S1 ac4sin B10121048可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7227575 2022 全国卷文 设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为a, b,c ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a cosB3,

16、b sin A4 （ ）求边长 a . （ ）如 ABC 的面积 S10 ,求 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的周长 l 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 解：（ 1）由bsin A4 与 a cosB3两式相除,有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4b sin A3a cosBsin AabcosBsin BbbcosBsin B,又cosBsin 2 Bcos2 B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a cosB3 知： cosB0 , 所以cos B3 , sin B4 ,55可编辑资料 - - - 欢迎下载精

17、品_精品资料_3所以a53 ,解得 a5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）由 S1 ac sin2B = 15c 24 =10,得到 c5 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由余弦定理, 得 b 2a 2c 22ac cos B25252553520 ,解得： b25 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以, ABC 的周长l1025可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考向四：三角形的外形判定1. 在 ABC中,如 2cosBsinA=sinC,就 ABC肯定是（）A. 等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D. 等边三角形

18、答案B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在 ABC中,如acosbA coscB cos.就 ABC是 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形解析由正弦定理得a 2RsinA, b2RsinB,c 2Rs

19、inC R 为 ABC外接圆半径 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAsinBsinC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCA coscoscos.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 tanAtanB tanC, A B C.答案B3. 已知 ABC 的三个内角A、 B、C 的对边分别为a、b、c ,如a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0, 求角 B 的大小并判定ABC的外形 .2解方法一 2cos2B-8cosB+5=0, 22cosB-1-8cosB+5=0.2 4cos B-8cosB+3=0,即 2cosB-12co

20、sB-3=0.解得 cosB= 1 或 cosB= 3 （舍去） . cosB= 1 . 0 B, B=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222acba2c23 ac 221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a, b, c 成等差数列,a+c=2b. cosB=2ac=,2ac2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简得 a +c-2ac=0, 解得 a=c. 又 B=3, ABC是等边三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二 2cos2B-8cosB+5=0 , 2（

21、 2cos 2B-1 ） -8cosB+5=0.2 4cos B-8cosB+3=0,即 2cosB-12cosB-3=0.解得 cosB= 1 或 cosB= 3 （舍去） . cosB= 1 , 0 B, B=,2223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a,b,c成等差数列,a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sinA+sin2A =3 , sinA+sin32cos A -cos32 sin A =3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简得3 sinA+23 c

22、osA=3 , sin2A=1.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A+=, A=, C=, ABC为等边三角形 .6233考向五：正弦余弦定理的综合应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 在 ABC中,a : b : c3 : 5 : 7 ,就 ABC的最大角是 120 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 bsinA=3 acosB.（ 1）求角 B 的大小.（ 2）如 b=3,sinC=2sinA ,求 a,c 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3在 ABC

23、中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知sinCcosA 2cos Ccos B2cab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A(1) 求sin的值.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,(2) 如 cosB14ABC的周长为 5,求 b 的长可编辑

24、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析1 由正弦定理,设abck,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAsinBsinC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ca就b2ksinCksinA ksinB2sinC sinAsinB,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA 2cos C所以cos B2sinCsinA sinB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即cosA2cos CsinB2sinCsinAcosB, 化简可得 sin AB 2sin BC 又 ABC,Asin所以 sinC2sinA,因此 sinC2.可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinCA2 由sin2 得 c 2a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得由余弦定理及 cosB14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2 a2 c22accosB a2 4a24a2 14a2.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 b2a. 又 ab c 5. 从而 a1,因此 b2.4.在 ABC 中,角 A , B, C 所对的边分别为a, b, c,且满意cos A25 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求 ABC 的面积.2如 b c 6,求 a 的值ABAC=3.25可编辑资

26、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 解1 由于A25,cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25所 以 cos A2cos2A 13sin A 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分又由 ,.4255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABAC 3 得 bccos A 3,所以 bc 5,因此S ABC 1bcsin A 2.82分2由1 知, bc 5,又 b c 6,由余弦定理, 得 a2 b2 c2 2bccos A b c2 16bc20,所以 a 25.12 分5可编辑资料 - - -

27、欢迎下载精品_精品资料_5. 设 ABC的内角 A, B, C 所对的边长分别为a, b, c,且 cos B(1) 当 A30时,求a 的值.(2) 当 ABC的面积为3 时,求 a c 的值4, b 2.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 由于 cosB43,所以 sinB . 55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理5asinbAsina10B,可得 sin 30 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所 以 a .36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6

28、 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载2 由于 ABC的面积 S 1acsinB,sinB32 ,53所以ac 3, ac 10.10222由余弦定理得b a c 2accosB,22822222得 4 a c 5ac a c 16,即 a c 20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a c22ac 20, a c 40.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a c210.第 10 讲正弦定理、余弦定

29、理应用举例可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考向一测量距离问题【例 1】 人教 A 版教材习题改编 如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C,测出 AC的距离为50 m, ACB45, CAB105后,就可以运算出 A, B 两点的距离为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 502 m B 503 m C 252 m D.2522m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由正弦定理得ABsin AC sin,又 B30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACsin ACBACBB5022可编辑资料 - -

30、- 欢迎下载精品_精品资料_AB答案AsinB1 502m 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. .如下列图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在这岸定一基线CD,现已测出 CD a 和 ACD60,BCD30, BDC105, ADC60,试求AB的长 审题视点 在 BCD中,求出BC,在 ABC中,求出AB.解在 ACD中,已知CD a, ACD60, ADC60,所以AC a. BCD30,BDC105 CBD45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 BCD中,由正弦定理可得BCasin 105 sin 45 3 12a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

31、品_精品资料_在 ABC中,已经求得AC和 BC,又由于 ACB30,所以利用余弦定理可以求得A, B 两222点之间的距离为ABACBC 2ACBCcos 30 2 a.3在某次测量中,在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是 50,且到 A 的距离为 2,C 点的俯角为 70,且到 A 的距离为 3,就 B、C 间的距离为 A.16B.177可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -

32、 - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载C.18D.19解析：因 BAC120, AB2,AC3. BC2 AB2 AC22AB ACcosBAC 4 9223cos 120 19. BC19.答案： D4如下列图,为了测量某障碍物两侧A,B 间的距离,给定以下四组数据,不能确定 A,B 间距离的是 A ,a,bB, ,aCa,b,D, ,b解析选项 B 中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定AB. 选项 C 中可由余弦定理确定 AB. 选项 D同 B 类似,应选 A.答案A考向二测量高度问题【例 2】.如图,山脚下有一小塔AB,在塔底 B 测得山顶C的仰角为60,在山顶C测得塔顶 A 的俯角为 45,已知塔高AB 20 m,求山高CD. 审题视点 过点 C作 CE DB,延长 BA交 CE于点 E,在 AEC中建立关系解如图,设CD x m,就 AE x20 m,CDtan 60 ,BD可编辑资料 - -