2022年高中数学-圆锥曲线题型总结 .docx

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1、精品_精品资料_直线和圆锥曲线常考题型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运用的学问 ：1、中点坐标公式： xx1x2 ,yy1y2,其中x, y是点A x , y ,Bx, y 的中点坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、弦长公式：假设点A x1, y1, Bx2, y2 在直线ykxbk0 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 y1kx1b, y2kx2b ,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,可编辑资料 - - - 欢迎下

2、载精品_精品资料_AB xx 2 yy 2 xx 2kxkx 21k 2 xx 212121212121k2 xx 24 x x 121 222112212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或者 AB x1x2 y1y2 x1x2 y1y212 y1y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2kkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 yk 21y24 y1 y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两条直线l1 :yk1xb1, l2 :yk2xb2 垂直：就k1k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条直线垂直,就

3、直线所在的向量v1 v202bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、韦达定理：假设一元二次方程常见的一些题型：axbxc0a0 有两个不同的根x1 , x2 ,就 x1x2, x1 x2.aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 1、已知直线l : ykx1 与椭圆C :1 始终有交点,求m 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4mx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依据直线l : ykx1 的方程可知,直线恒过定点0

4、 , 1,椭圆C :1 过动点（0,m, 且m4 ,假如直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4mx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l : ykx1 和椭圆C :1 始终有交点,就m1,且m4 ,即 1m且m4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4m规律提示：通过直线的代数形式,可以看出直线的特点：l : ykx1过定点（ 0,1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l : ykx1过定点（1, 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l : y2k x1过定点（1,2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

5、题型二：弦的垂直平分线问题例题 2、过点 T-1,0 作直线 l 与曲线 N ： y2x 交于 A、B 两点,在 x 轴上是否存在一点 E x0 ,0,使得ABE 是等边三角形,假设存可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在,求出x0 .假设不存在,请说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依题意知,直线的斜率存在,且不等于0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设直线l : yk x1 , k0 , A x1, y1 , Bx2 , y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yk x1由

6、消 y 整理,得y2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2 x22k 21xk20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由直线和抛物线交于两点,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k 2124k44k210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21即 0k4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由韦达定理,得： x12 k 2x2k 21, x1x21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就线段 AB 的中点为 2k22k 211, .2k可编辑资料 - - - 欢迎下

7、载精品_精品资料_线段的垂直平分线方程为：1112k 2y x2 2kk2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112令 y=0,得 x02,就 E11 ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k2ABE 为正三角形,2 k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11E2,0到直线 AB 的距离 d 为3 AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k22AB xx 2 yy 21212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14k 2k 21k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

8、品资料_1 k 2d2 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 14k22k21k 21 k 22 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_39解得 k满意式135此时 x0.3题型三：动弦过定点的问题x2y23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 3、已知椭圆 C：a 2I求椭圆的方程.b 21ab0 的离心率为,且在 x 轴上的顶点分别为 A 1-2,0,A 22,0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 假设直线l : xt t2 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 l 上异于点 T 的任一点,直线 PA1,PA2 分别与椭圆交

9、于 M、N 点,试问直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：I由已知椭圆 C 的离心率 ecax23 , a22 ,就得 c3, b1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而椭圆的方程为4y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 设M x1, y1 ,Nx2, y2,直线A1M 的斜率为k1 ,就直线A1M 的方程为yk1 x2 ,由yk1 x222消 y 整理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x

10、4y414k 2 x216k x16k 2401212和x1 是方程的两个根,116k 242x2114k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x128k21114k2, y14k1,114k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即点 M 的坐标为28k 2114k 2,4k1 ,14k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_118k 224k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理,设直线 A 2N 的斜率为 k2,就得点 N 的坐标为214k 2,2 14k 2可编辑资料 - - - 欢迎

11、下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ypk1t2, ypk2 t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1k22,k1k2t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 MN 的方程为：yy1xx1y2y1,x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 y=0 ,得 xx2 y1y1x1y2 y2,将点 M 、N 的坐标代入,化简后得：x4t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又t2 ,042t可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品_精品资料_椭圆的焦点为 3,043 ,即 t43t343故当 t时, MN 过椭圆的焦点.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型四：过已知曲线上定点的弦的问题2例题 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E： xa2y2b21 ab0 上的三点,其中点 A 23,0 是椭圆的右顶点,直线BC 过椭圆的中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_心 O,且AC BC0 , BC2 AC ,如图.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(I) 求点 C 的坐标及椭圆E 的方程.(II) 假设椭圆 E 上存在两点

13、P、Q,使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 x3 对称,求直线 PQ 的斜率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： IBC2AC ,且 BC 过椭圆的中心O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OCACAC BC0ACO2又A 23,0点 C 的坐标为 3,3 .A 23,0 是椭圆的右顶点,a2 3 ,就椭圆方程为：22x y112b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2将点 C 3,3 代入方程,得b4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2y椭圆 E 的方程为1124II直线 PC 与直线 QC 关于直线 x3 对称,设直线

14、 PC 的斜率为 k ,就直线 QC 的斜率为k ,从而直线 PC 的方程为：y 3k x3 ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykx31k ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykx由31k消 y,整理得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x23 y2120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13k 2 x263k1k x9k 218k30x3 是方程的一个根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xP39k 218k32可编辑资

15、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 xP9k 218k32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_313k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可得：9k 2xQ18k32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_313k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yPyQkxP31kkxQ31k k xPxQ 23k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 k313k 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx9k18k39k18k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精

16、品_精品资料_22PQ313k313k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_36 k313k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kPQyPyQ1xPxQ31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就直线 PQ 的斜率为定值.3题型五：共线向量问题x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 5、设过点 D0,3 的直线交曲线M ：941 于 P、Q 两点,且 DPDQ ,求实数的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 Px1,y1,Qx 2,y2,DPDQx1 ,y1-3=x2 ,y2-3x 1x2即y13y 23

17、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一：方程组消元法x 2y2又P、Q 是椭圆+94=1 上的点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 222194x 2y33 222194可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_消去 x2,22 y33 22y2可得124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 y2 =1356可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 2y22,135226解之得： 155就实数的取值范畴是1 ,5.5方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设直线 PQ 的方程为：yk

18、x3, k0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由22消 y 整理后,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x9y36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_49k2 x254kx450可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22P、Q 是曲线 M 上的两点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_54k 244549k 144k800可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 9k 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由韦达定理得：x1x254k452 , x1

19、x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_49k49kxx 2xx12122x1x2x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_542k 24549k 21 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_369k 244即15129k 29k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由得 011,代入,整理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9k 251369 ,5125可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解之得 155当直线 PQ 的斜率不存在,即 x0 时,易知5 或1 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总之

20、实数的取值范畴是1 ,5.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型六：面积问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例题 6、已知椭圆 C： xa 2y261 ab0的离心率为, 短轴一个端点到右焦点的距离为3 .b 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求椭圆 C 的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为3 ,求 AOB 面积的最大值.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c6 ,解：设椭圆的半焦距为c ,依题意a3a3,可编辑资料 - - - 欢

21、迎下载精品_精品资料_22b1 ,所求椭圆方程为 x3y1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设Ax1,y1 , B x2, y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 AB x 轴时,AB3 .2当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 ykxm .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知m1k 23 ,得 m222223 k241 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把 ykxm 代入椭圆方程,整理得3k1x6kmx3m30

22、 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6kmx1x223m21, x1 x22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k13k1222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2AB1k 2 xx 21k2 36k m12m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_213k13k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12k213k 21m23k 219k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k 2123k 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12k 212

23、12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_39k 46k 2139k 21k26k0 34 .236可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当9k 212 ,即k3k时等号成立.当k30 时, AB3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述AB max2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 AB 最大时, AOB面积取最大值SABmax.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型七：弦或弦长为定值问题222可编辑资料 - -

24、 - 欢迎下载精品_精品资料_例题 7、在平面直角坐标系xOy 中,过定点 C0,p作直线与抛物线 x2=2pyp0相交于 A、B 两点.假设点 N 是点 C 关于坐标原点O 的对称点,求 ANB 面积的最小值.是否存在垂直于y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？假设存在,求出l 的方程.假设不存在,说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意,点 N 的坐标为 N0,-p,可设 A x 1,y 1,B x2,y2,直线 AB 的方程为 y=kx+p, 与 x2=2py 联立得y 得 x2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得 x1+x2=2p

25、k,x 1x2=-2p 2.x22 py消去ykxp.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 SABNS BCNS ACN12 p x1x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ p x1x2p x1x 24x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 p4 p 2k 28 p22 p 2k 22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当k0时,（ SA

26、BN）min22 p2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设满意条件的直线l 存在,其方程为y=a,AC的中点为O ,t与AC为直 径的圆相交于点P、Q, PQ 的中点为 H,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O HPQ,O 点的坐标为（x1 , y1p） 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2O P1 AC1221221 y1p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1p.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O Hay

27、1p 212ay1p ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222PHO PO H可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1= 1 y24pp 2 1 2ay 4p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 a y12a pa ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22PQ 2 PH 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 4 ap y22a pa .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a令p0 ,得 a 2p , 此时 PQ 2p 为定值,故满意条件的直线l 存在,其方程为 y

28、p ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即抛物线的通径所在的直线.解法 2：前同解法 1,再由弦长公式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB1k 2 xx1k 2 xx 24 x x1k24 p2k 28 p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12121 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 p 1k 2k 22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由点到直线的距离公式得d2 p.1k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而,S ABN1 dAB12 p 1k 2k 222 p2 p 2k 22 ,

29、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当k0时,（ S ABN）max2 2 p2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设满意条件的直线t 存在,其方程为 y=a ,就以 AC 为直径的圆的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x0 xx1 yp yy10, 将直线方程 y=a 代入得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xx1x1就 x2a4apap ay10,y14 ap y1 2a pa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

30、资料_设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 Px2,y2,Qx 4,y4,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PQx3x4p4 a1pp y 2a pa2 ap y 2a pa .1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 a0,得a 2, 此时 PQ2p 为定值,故满意条件的直线l 存在,其方程为 y.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即抛物线的通径所在的直线.题型八：角度问题例题 8、如图 21图, M-2 , 0和 N2,0是平面上的两点,动点P满意：PMPN6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求点 P 的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设PM PN21cosMPN, 求点 P的坐标 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由椭圆的定义,点 P的轨迹是以 M、N为焦点,长轴长 2a=6 的椭圆 .2因此半焦距 c=2,长半轴 a=3,从而短半轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b=a 2c5