2022年高中数学简单的三角恒等变换示范教案新人教版必修.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3.2简洁的三角恒等变换整体设计教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简洁的恒等变换 , 以及三角恒等变换在数学中的应用 . 本节的内容都是用例题来呈现的 , 通过例题的解答 , 引导同学对变换对象和变换目标进行对比、分析 , 促使同学形成对解题过程中如何挑选公式 , 如何依据问题的条件进行公式变形, 以及变换过程中表达的换元、 逆向使用公式等数学思想方法的熟悉 , 从而加深懂得变换思想, 提高同学的推理才能 .本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上, 从而使三角函数性质的争论

2、得到延长. 三角恒等变换不同于代数变换,后者往往着眼于式子结构形式的变换,变换内容比较单一. 而对于三角变换,不仅要考虑三角函数是结构方面的差异,仍要考虑三角函数式所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面的差异,它是一种立体的综合性变换. 从函数式结构、 函数种类、 角与角之间的联系等方面找一个切入点,并以此为依据挑选可以 联系它们的适当公式进行转化变形,是三角恒等变换的重要特点.三维目标1. 通过经受二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式,能利用和与差的正弦、 余弦公式推导出积化和差与和差化积公式, 体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想,提高同学的推理才能.2. 懂得并把

3、握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简洁的恒等变形, 体会三角恒等变换在数学中的应用.3. 通过例题的解答,引导同学对变换对象目标进行对比、分析, 促使同学形成对解题过程中 如何挑选公式, 如何依据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中表达的换元、逆向使用公式等数学思想方法的熟悉,从而加深懂得变换思想,提高同学的推理才能.重点难点教学重点： 1. 半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2. 三角变换的内容、思路和方法, 在与代数变换相比较中, 体会三角变换的特点.教学难点： 熟悉三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的才能.课时支

4、配2 课时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导入新课教学过程第 1 课时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路1. 我们知道变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一,三角函数主 要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、 公式的逆向变换和多向变换以及引入帮助角的变换. 前面已经利用诱导公式进行了简洁的恒等变换,本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路 2. 三角函数的化简、求值、证明,都离不开三角恒等变换. 学习了和角公式,差角公式, 倍角公式以后,我们就有了进行三角变换的新工具,从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和敏捷,同时

5、也为培育和提高我们的推理、运算、 实践才能供应了宽阔的空间 和进展的平台 . 对于三角变换, 由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异, 而且仍会有所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面的差异, 因此三角恒等变换常常第一查找 式子所包含的各个角之间的联系, 并以此为依据挑选可以联系它们的适当公式, 这是三角式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

6、 - - -恒等变换的重要特点.推动新课新知探究提出问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 与a 有什么关系 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 a如何建立cos 与 sin之间的关系？a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sin=1cosa , cos 2 a =1cosa , tan 2 a =1cosa 这三个式子有什么共同特点？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222221cosa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通过上面的三个问题,你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

7、品_精品资料_证明 1sincos=1 sin+sin - ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sin+sin =2sincos.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并观看这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？2 aa活动： 老师引导同学联想关于余弦的二倍角公式cos=1 -2sin, 将公式中的 用22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2代替 , 解出 sina 即可 . 老师对同学的争论进行提问,同学可以发觉： 是2a 的二倍角 . 在倍2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角公

8、式 cos2=1 -2sin2 中, 以 代替 2, 以a2 a代替 , 即得 cos=1 -2sin,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所 以 sin 2 a = 12cosa .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在倍角公式cos2=2cos -1 中, 以 代替 2, 以a 代替 , 即得2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cos=2cosa -1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 a1所以 cos=2cosa .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将两个等式的左右两边分别相除, 即得可编辑资料 - -

9、- 欢迎下载精品_精品资料_2tana = 1cosa .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21cosa老师引导同学观看上面的式,可让同学总结出以下特点：(1) 用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2) 由左式的“二次式”转化为右式的“一次式” 即用此式可达到“降次”的目的.老师与同学一起总结出这样的特点, 并告知同学这些特点在三角恒等变形中将常常用到. 提示 学 生 在 以 后 的 学 习 中 引 起 注 意 . 同 时 仍 要 强 调 , 本 例 的 结 果 仍 可 表 示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为:sina =21cosa ,cos2

10、a =21cosa ,tan2a =21cosa1cosa, 并称之为半角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 不要求记忆 , 符号由a 所在象限打算.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_老师引导同学通过这两种变换共同争论归纳得出：对于三角变换, 由于不同的三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - -

11、 - - - - - - - - -式不仅会有结构形式方面的差异,而且仍有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异 . 因此,三角恒等变换常常先查找式子所包含的各个角间的联系,并以此为依据,挑选可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点. 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换 .对于问题： （1）假如从右边动身,仅利用和（差）的正弦公式作绽开合并,就会得出左式 . 但为了更好的发挥本例的训练功能,把两个三角式结构形式上的不同点作为摸索的出发点,引导学生思考,哪些公式包含sin cos了？想到sin +=sin cos+cossin . 从方程角度看这个等式,sin cos, c

12、ossin 分别看成两个未知数. 二元方程要求得确定解,必需有2 个方程,这就促使同学考虑仍有没有 其他包含sin cos的公式,列出sin - =sin cos - cossin 后,解相应的以 sin cos, cossin 为未知数的二元一次方程组,就简洁得到所需要的结果.（2）由（ 1）得到以和的形式表示的积的形式后,解决它的反问题,即用积的形式表示和的形式,在思路和方法上都与（1）没有什么区分. 只需做个变换,令+=, - =,就 =,=, 代入 1 式即得 2 式.22证明 : 1 由于 sin +=sin cos+cossin ,sin - =sin cos - cossin ,

13、 将以上两式的左右两边分别相加, 得 sin +sin - =2sin cos,即 sin cos= 1 sin+sin - .22 由1,可得 sin +sin - =2sin cos. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 +=, - =, 那么 =2把 , 的值代入, =.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即得 sin +sin =2sincos.22老师给同学适时引导,指出这两个方程所用到的数学思想, 可以总结出在本例的证明过 程中用到了换元的思想, 如把 + 看作 , - 看作 , 从而把包含, 的三角函数式变换成 , 的三角函数式. 另外 , 把 si

14、n cos 看作 x,cos sin 看作 y, 把等式看作x,y 的方程 , 通过解方程求得x, 这就是方程思想的表达.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论结果： 是a 的二倍角 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sina =1-cos 12cosa .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略 见活动） .应用示例思路 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 化简 : 11sin x sin xcosx . .cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_活动： 此题考查公式的应用,利用倍角公式进行化简解题. 老师提

15、示同学留意半角公式和倍角公式的区分,它们的功能各异,本质相同,具有对立统一的关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 sin 2 xxxxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 原式 =2sincos2222 sinsin22cos 2=tanx .可编辑资料 - - -

16、欢迎下载精品_精品资料_2 cos2 x22 sin x2cos x22 cos x2cos x2sin x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 此题是对基本学问的考查,重在让同学懂得倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简:sin50 1+3 tan10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 原式=sin50 13 sin10sin 5012cos10.23sin 10 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos10cos10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=2sin50 sin 30cos10cos30sin 10可

17、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=2cos40sin 40 cos10cos10sin 80 cos10cos10 cos10=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 已知 sinx-cosx=1 , 求 sin 3 x-cos 3x 的值 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_活 动： 老师引导同学利用立方差公式进行对公式变换化简,然后再求解 . 由 于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_332333333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a-b=a -3a b+3ab2-b=a -b-3aba-b, a-b =a-b

18、+3aba-b.解完此题后 , 老师引导学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_生深挖本例的思想方法, 由于 sinx cosx与 sinx cosx之间的转化 . 提升同学的运算. 化简能力 及整体 代换思想.本题也 可 直接应用 上述公式求 之,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_333sin x-cosx=sinx-cosx+3sinxcosxsinx-cosx=化简问题之中 .11 . 此方法往往适用于sin 3xcos 3x 的16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 由 sinx-cosx=1 , 得sinx-cosx2= 1 ,可编辑资料

19、- - - 欢迎下载精品_精品资料_即 1-2sinxcosx=241 , sinxcosx=3 .323248可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinx-cosx=sinx-cosxsinx+sinxcosx+cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 1 1+23 =811 .16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 此题考查的是公式的变形、化简、求值, 留意公式的敏捷运用和化简的方法.变式训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2022年高考浙江卷,12已知sin +cos= 1 , 且523, 就 cos2的值是4可编辑资料

20、- - - 欢迎下载精品_精品资料_ .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案 :725cos 4 Asin 4 Acos4 Bsin 4 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 已知cos 2 Bsin 2 B1求证:2cosA1 .sin 2 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -

21、- - - - - -活动： 此题可从多个角度进行探究, 由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一样,只是将 A,B 的位置互换了, 因此应从所给的条件等式入手, 而条件等式中含有A,B 角的正、余22弦, 可利用平方关系来削减函数的种类. 从结构上看 , 已知条件是a +b =1 的形式 , 可利用三角代换 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明一 : cos4 A cos2 Bsin 4 A1 ,sin 2 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos4Asin42B+sin24Acos42B=sin22Bcos +B.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

22、精品资料_44224cosA1-cosB+sinAcosB=1-cosBcos B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4即 cosA-cosBcosA-sinA=cosB-cos B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222222cos 4A-2cos 2Acos2B+cos4B=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA-cosB =0. cosA=cos B. sinA=sin B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos 4 Bcos 2 Asin 4 Bsin 2 Acos2B

23、+sin2B=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明二 : 令cos2 Acos a,sin 2A=sin ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos Bsin B22就 cos A=cosBcos,sinA=sinBsin .两式相加 , 得 1=cosBcos+sinBsin , 即cosB- =1.B- =2kk Z, 即 B=2k+k Z.2222cos=cosB,sin =sinB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA=cosBcos=cosB,sinA=sinBsin =sinB.可

24、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 cosB4sinB4cosB4sinB22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos 2 Asin 2 Acos2 Bsin 2=cosBB+sinB=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评 : 要善于从不同的角度来观看问题, 本例从角与函数的种类两方面观看, 利用平方关系进行了合理消元.变式训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在锐角三角形ABC中,ABC 是它的三个内角, 记 S=11tan A11tan B, 求证 :S90, 90A90 - B0

25、.tanAtan90 -B=cotB0,tanAtanB1. S0. tan- 20.22又 0, - 20, 得 0- 2.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 tan =tan- 2, 得 =22- 2, 即 +2=.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 求证 :sinasin 2 sin cos2tan21tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_活动：证明三角恒等式, 一般要遵循“由繁到简”的原就, 另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中常常使用的方法.可编辑资料 - -

26、- 欢迎下载精品_精品资料_证明 : 证法一 : 左边 = sin coscossinsincoscossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2 a cos2cos2asin 2cos2 asin 2tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=sin2cos21sin 2 cos21tan2 a=右边. 原式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法二 : 右边 =1-cos2 sin 2sin 2cos2cos2a sin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2 cos2sin 2a cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= sina coscos a sinsin a coscos a sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2 cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin a=sin 2 sin a cos 2=左边. 原式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 此题进一步训练同学三角恒等式的变形, 敏捷运用三角函数公式的才能以