2022年高中数学解析几何总结.docx

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1、精品_精品资料_高中数学解析几何第一部分 :直线一、直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角 1 定义：直线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角.2 范畴： 01802. 斜率：直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.kt an（1）.倾斜角为 90 的直线没有斜率.（2）.每一条直线都有唯独的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时, 其斜率不存在 ,这就打算了我们在讨论直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在 这两种情形,否就会产生漏解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）设经过Ax1, y1 和 Bx2 , y2 两点的直线的斜率为k ,可编

2、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 x1x2 时, ktany1y2.当 x1x1x2x2 时,90o.斜率不存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、直线的方程1. 点斜式：已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率 k（倾斜角 ）求直线的方程用点斜式：y-y0=kx-x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： 当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为x x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 斜截式：如已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ,斜率为 k ,就直可编辑资料 - - - 欢迎下载精

3、品_精品资料_线方程： ykxb .特殊的,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y kx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：正确懂得“ 截距”这一概念,它具有 方向性,有正负之分,与“距离”有区分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 两点式：如已知直线经过 x1 , y1 和 x2 , y2 两点,且（ x1x2, y1y2 就直线的方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy1y2y1x x1.x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：不能表示与x 轴和 y 轴垂直的直线.可

4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当两点式方程写成如下形式 x2x1 yy1 y2y1 xx10 时, 方程可以适应在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于任何一条直线 .4 截距式：如已知直线在x 轴, y 轴上的截距分别是 a , b （ a0, b0 ）就直线方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy1 .ab留意： 1） .截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.2） .横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a; 横截距与纵截距互为相反数的直可编辑资料 - - - 欢迎

5、下载精品_精品资料_线方程可设为x-y=a5 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：AxByC0 .（A, B 不同时为零）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线.留意： 直线方程的特殊形式, 都可以化为直线方程的一般式,但一般式不肯定都能化为特可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_殊形式,这要看系数A, B, C 是否为 0 才能确定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指出此时直线的方向向量： B,A , B, A ,B,A2B 2AA2B 2（单可编辑资料 - -

6、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_位向量）.直线的法向量： A, B .（与直线垂直的向量）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x6选修 4-4 参数式yx0aty0bt（ t 参数）其中方向向量为a,b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单位向量a,b. kb . | PP |t |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2点a 2b2| PP |a|t1ot 2 |.a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载

7、精品_精品资料_P1, P2对应的参数为t1, t2 ,就1 2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0yy0t cos t sin（ t 为参数）其中方向向量为cos,sin , t 的几何意义为| PPo|.斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率为 tan.倾斜角为0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、两条直线的位置关系位置关系l1 : y l 2 : yk1xb1k 2xb2l1 :l 2 :A1A1x A2 xB1B1 yC10B2 yC20C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

8、_精品资料_平行k1k2 ,且b1b2A2B2A1B2-A2B1 =0C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重合k1k2 ,且b1b2A1B1C1A2B2C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相交k1k2A1B1A2B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_垂直k1k 21A1 A2B1 B20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设两直线的方程分别为：l1

9、 : y l 2 : yk1 x k2xb1 或b2l1 :l 2 :A1 x A2 xB1 yC1B2 yC 20 .当0k1k2 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A BA B 时它们相交,交点坐标为方程组yk1 xb1 或A1 xB1 yC10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1221yk 2xb2A2 xB2 yC 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解.留意： 对于平行和重合,即它们的方向向量（法向量）平行.如： A1 , B1 A2 , B2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

10、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于垂直,即它们的方向向量（法向量）垂直.如 A1 , B1 A2 , B2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如两直线的斜率都不存在,就两直线 平行 .如一条直线的斜率不存在,另始终线的斜率为 0,就两直线垂直.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于A1A2B1B20 来说,无论直线的斜率存在与否,该式都成立.因此,此公式使用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_起来更便利斜率相等时, 两直线平行 或重合 .但两直线平行 或重合 时,斜率不肯定相等,由于斜率有可能不存在.四、两直线的交角可编辑资料 -

11、- - 欢迎下载精品_精品资料_（1） l 1 到 l 2 的角：把直线l1 依逆时针方向旋转到与l 2 重合时所转的角.它是有向角,其范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_围是 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：l1 到 l 2 的角与l 2 到 l 1 的角是不一样的.旋转的方向是逆时针方向.绕“定点”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是指两直线的交点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 直线l1 与 l 2 的夹角：是指由l1 与 l 2 相交所成的四个角的最小角 或不大于直角的角 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精

12、品_精品资料_它的取值范畴是0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 设两直线方程分别为：l 1 : yk1xb1 或 l1 :A1 xB1 yC10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l 2 : yk2 xb2k2k1l 2 : A2 xB2 yC 20A1B2A2B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如为 l1 到 l 2 的角 , tan1k k或 tan.A AB B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如为 l 和 l 的夹角 ,就tan2 1k2k11或 tan21A1B22A2B1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

13、资料_121k2k1A1A2B1B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 1k1k 20 或 A1 A2B1B20 时,o90 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：上述与 k 有关的公式中,其前提是两直线斜率都存在,而且两直线互不垂直.当有一条直线斜率不存在时,用数形结合法处理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线l1 到 l 2 的角与 l1 和 l 2 的夹角： 或2 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、点到直线的距离公式：1

14、. 点 Px0 , y0 到直线 l : AxByC0 的距离为： d| Ax0By0C |.A2B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| C1C2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 两平行线l1 : AxByC10, l2: AxByC20 的距离为： d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、直线系：（1） 设直线l1 :A1 xB1 yC10 , l 2 :A2 xB 2 yC 20 ,经过l1 ,l 2 的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

15、 欢迎下载精品_精品资料_的直线方程为A1xB1yC1 A2xB2 yC2 0 （除去l 2 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： ykx1y 1kx0 ,即也就是过 y10 与 x0 的交点0,1 除去 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线l : m1 x2 m1 ym5 恒过一个定点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：推广到过曲线f1 x, y0 与 f 2 x, y0 的交点

16、的方程为：f1 xf x20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 与 l : AxByC0 平行的直线为AxByC10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 与 l : AxByC0 垂直的直线为 BxAyC10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七、对称问题：（1） 中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点Aa,b 关于C c, d 的对称点可编辑资料 - -

17、- 欢迎下载精品_精品资料_2ca,2db直线关于点的对称：、在已知直线上取两点, 利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再由两点式求出直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、求出一个对称点,在利用l1 / l 2 由点斜式得出直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、利用点到直线的距离相等.求出直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：求与已知直线（2） 轴对称：点关于直线对称：l1 : 2x3 y60 关于点P1,1 对称的直线l 2 的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、点与对称点的中点在已知直线上,

18、点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数. 、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：求点 A3,5 关于直线l : 3x4 y40 对称的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线关于直线对称：（设a,b 关于 l 对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、如a, b 相交,就 a 到l 的角等于 b 到 l 的角.如a / l,就 b / l,且 a, b 与 l 的

19、距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离相等. 、求出 a上两个点A, B 关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、设P x,y 为所求直线直线上的任意一点,就 P 关于 l 的对称点P 的坐标适合 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：求直线a : 2 xy40 关于 l: 3x4 y10 对称的直线 b 的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_八、简洁的线性规划：可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品_精品资料_（1） 设点Px0, y0 和直线l : AxByC0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 点 P 在 直 线 l 上 , 就Ax0By0C0 . 如 点 P 在 直 线 l 的 上 方 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B Ax0By0C0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如点 P 在直线 l 的下方,就B Ax0By0C0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 二元一次不等式表示平面区域：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于任意

21、的二元一次不等式AxByC00 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 B0 时,就 AxByC0 表示直线l : AxByC0 上方的区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AxByC0 表示直线l : AxByC0 下方的区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 B0 时,就 AxByC0 表示直线l : AxByC0 下方的区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

22、迎下载精品_精品资料_AxByC0 表示直线l : AxByC0 上方的区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：通常情形下将原点0,0 代入直线 AxByC中,依据0 或0 来表示二元一次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式表示平面区域.（3） 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意线性约束条件的解 x,y 叫做可行解,由全部可行解组成的集合叫做可行域.生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_产实际中有

23、很多问题都可以归结为线性规划问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：当 B0 时,将直线 AxBy0 向上平移,就zAxBy 的值越来越大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 AxBy0 向下平移,就zAxBy 的值越来越小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 B0 时,将直线 AxBy0 向上平移,就zAxBy 的值越来越小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 AxBy0 向下平

24、移,就zAxBy 的值越来越大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：在如下列图的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界）,目标函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zxay 取得最小值的最优解有很多个,就a 为.yC4,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次部分：圆与方程2.1 圆的标准方程： xa) 2 yb) 22r圆心C a, b ,半径 rOA1,1B5,12x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特例：圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：x2y 2r.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.2 点与圆的位置关系：

25、1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为 r ：1 点在圆上d=r. 2点在圆外d r.3 点在圆内d r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222. 给定点M x 0 , y 0 及圆C : xa) 2 yb) 2r 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C 内 x0 a y0 br M 在圆 C 上（x 0a) 2 y 0b) 2r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C 外 x0a) 2 y0b) 2r 2可编辑资料 - - -

26、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.3 圆的一般方程：x 2y 2DxEyF0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22DED 2E 24F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 DE4F0 时,方程表示一个圆,其中圆心C,半径 r.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 D 2E 24F0 时,方程表示一个点D ,E.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

27、当 D 2E 2 4F0 时,方程无图形（称虚圆）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：（ 1）方程Ax 2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是：B0 且 AC0 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22DE4 AF0 .圆的直径系方程：已知AB 是圆的直径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A x1 , y1 B x2 ,y 2 xx1 xx 2 yy1 yy 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.4 直线与圆的位置关系：直线

28、AxByC0 与圆 xa) 2 yb 2r 2 的位置关系有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三种, d 是圆心到直线的距离, dAaBbC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) dr相离0. 2dr相切0.（ 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dr相交0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为 r1, r2,O1O2d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

29、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） dr1r2外离4条公切线.（ 2） dr1r2外切3条公切线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） r1r2dr1r2相交2条公切线.（ 4） dr1r 2内切1条公切线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5） 0dr1r2内含无公切线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_外离外切相交内切内含2.6 圆的切线方程：1.直线与圆相切：1 圆心到直线距离等于半径r.（ 2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）可编辑资料 - - -

30、 欢迎下载精品_精品资料_2.圆 x 2y2r 2的斜率为 k 的切线方程是ykx1 k 2 r 过圆22xyDxEyF0 上一点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x 0 ,y 0的切线方程为：x 0 xy0 yx x 0D2y y0E2F0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般方程如点 x0 ,y0在圆上,就 x ax0 a+ y b y0 b= R2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,过圆x 2y 2r 2 上一点P x0 ,y 0 的切线方程为x 0 xy0 yr 2 .可编辑资料

31、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y 0k x1x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如点 x0 ,y0不在圆上,圆心为a,b就Rby 1k ax 1,联立求出 k切线方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.7 圆的弦长问题：1. 半弦L 、半径 r 、弦心距d 构成直角三角形,满意勾股定理：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222LRd 2AB（x12x ）2 y12y 2可编辑资料

32、- - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 弦长公式（设而不求）：（1k 2） xx 24x x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三部分 : 椭圆一椭圆及其标准方程121 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1,F2 距离的和等于常数 2aF1 F2的点的轨迹叫做可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆,即点集 M=P| |PF 1|+|PF 2|=2a , 2a |F 1F2|=2c .这里两个定点 F1,F2 叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2aF1F22c 时为线段F1 F2 , 2aF1F22c 无轨迹）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 标准方程：c2a2b2可编辑资料 - - - 欢迎