2022年高中数学必修五知识点公式总结.docx

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1、精品_精品资料_必修五数学公式概念第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.1.1 正弦定理1、正弦定理： 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等,即sin Asin Bsin C.ab正弦定理推论：sin Asin Bcsin C2R（ R 为三角形外接圆的半径） a2Rsin A, b2 Rsin B, c2R sin Cabsin A,bsin Basin Asin C a : b : csin A:sin B :sin Cbsin Bsin Bccsin Csin Cc,asin Aasin Abcsin Bsin C2、解三角

2、形的概念：一般的,我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素.任何一个三角形都有六个元素：三条边 a, b, c 和三个内角 A, B,C .在三角形中,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.3、正弦定理确定三角形解的情形图形关系式解 的 个 数 absin A ab一 解A为锐b sin Aab两 解角absin A无 解A为钝角或直角ab一 解ab无解abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、任意三角形面积公式为：111abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SVABCbc sin Aac sin Bab sin C可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品_精品资料_2224R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p pa pb pcr abc2 R2 sin A sin B sin C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.1.2 余弦定理5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2c22bc cos A, b2a 2c22cacos B , c2a 2b22ab cosC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余弦定理推论：22co

4、s Ab2c22bca , cosBa2c22acb , cosCa2b2c22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15751051656262626244446262626244446、不常用的三角函数值sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan23232323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.2 应用举例1、方位角：如图 1,从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角.2、方向角：如图2,从指定线到目标方向线所成的小于90的水平角.（指定方向线是指正北或正南或正西或正东）3、仰角和俯角：如图3,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视

5、线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角.（ 1）方位角（ 2）方向角（ 3）仰角和俯角（ 4）视角4、视角：如图 4,观看物体的两端,视线张开的角度称为视角.5、铅直平行：于海平面垂直的平面.6、坡角与坡比：如图5,坡面与水平面所成的夹角叫坡角,坡面的铅直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h高度与水平宽度的比叫坡比i.l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次章数 列（5）坡角与坡比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.1 数列的概念与简洁表示法1、数列的定义： 根据肯定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都叫

6、做这个数列的项.数列中的每一项和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1 项（也叫首项） , 排在其次位的数称为这个数列的第2 项,排在第 n 位的数称为这个数列的第n 项.所以,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的一般形式可以写成a1 , a2, a3 ,an ,简记为an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、数列的通项公式：假如数列an 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么这个公式叫做这个数列的通项公式.3、数列的递推公式：假如已

7、知数列的第1 项（或前几项） ,且从第 2 项（或某一项）开头的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任一项an 与它的前一项an1（或前几项） （ n2 ）间的关系可以用一个公式表示,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个公式叫做这个数列的递推公式.定义式为an2an 11（ n1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、数列与函数：数列可以看成以正整数集N* （或它的有限子集1, 2, 3, 4, , n）为定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

8、料_义域的函数 anf n ,当自变量根据从大到小的次序依次取值时,所对应的一列函数值.通项公式可以看成函数的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、数列的单调性：如数列an 满意：对一切正整数n ,都有 an1an （或 an1an ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就称数列an 为递增数列（或递减数列）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定方法：转化为函数,借助函数的单调性,求数列的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作差比较法,即作差比较an 1 与 an 的大小.可

9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.2 等差数列1、等差数列的定义：一般的,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个 常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示.定义式为 anan 1d （ n2 , nN* ）或an 1and （ nN* ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等差中项：由三个数a , A , b 组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列.这时,A叫做 a 与 b 的等差中项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 是 a , b

10、 的等差中项Aab 22 AabAabA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、等差中项判定等差数列：任取相邻的三项an 1 , an ,an 1 （ n2, nN* ）,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1 , an , an1 成等差数列2anan 1an 1 （ n2 ）an 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、等差数列的通项公式ana1n1 d ,其中a1 为首项, d 为公差.

11、变形为： dana1.n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、通项公式的变形： anamnm d ,其中am 为第 m 项.变形为 danam.nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、等差数列的性质： （ 1）如 n , m , p ,q*N ,且 mnp q ,就 amanapaq .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 如 mn2 p ,就 aman2ap .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

12、品资料_（3） 如 m , p , n 成等差数列,就am , ap, an 成等差关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 如 an成等差数列anpnq （公差为 p ,首项为 pq ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5） 如 cn成等差数列,就an 也成等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6） 假如 anbn 都是等差数列,就panq , panqbm也是等差数列.可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品_精品资料_2.3 等差数列的前 n 项和S1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、一般数列an 与 sn 的关系为an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SnSn 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等差数列前 n 项和的公式：Snn a1an2na1n n1 d 2n n1d2d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、等差数列前 n 项和公式的函数特点： （ 1）由 Snna1dna1n ,2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 Ad ,B

14、 2ad ,就 a 2为等差数列SnAnBn（A、 B 为常数,其中d2 A ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1na1ab ）. 如 A0 ,即 d0 ,就Sn 是关于 n 的无常数项的二次函数.如 A0 ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d0 ,就 Snna1.（ 2）如an 为等差数列,Snd也是等差数列,公差为n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）如 an为等差数列,Sk,S2kSK ,S3kS2k ,也成等差数列可编辑资料 - - -

15、 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）如 Snm, Smn ,就Sm nmn（ 5）如SmSn ,就Sm n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）如 ab是均为等差数列,前n 项和分别是 A 与 B ,就有 amA2 m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnbmB2 m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 7）在等差数列an 中, a10 , d0 ,就Sn 存在最大值,a10 , d0 ,就Sn 存可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

16、料_在最小值.2.4 等比数列1、等比数列：一般的假如一个数列从第2 项起,每一项与它前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示 q0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义式：anan 1q , n2 , an0 , q0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等比中项：假如在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 b 的等比数列.a , G , b 成等比数列GbG2abGab .aG可编辑资料 -

17、- - 欢迎下载精品_精品资料_两数同号才有等比中项,且有2 个互为相反数.n 1a1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、通项公式： ana1qq*q其中首相为a1 ,公比为 q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、等比数列的性质： ana qn m （ n , mN ） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m2.5 等比数列的前 n 项和na1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、

18、等比数列的前 n 项和的公式：Sna1 1qn1qa1anq q11q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等比数列的前n 项和的函数特点：当q1 时, Sna1 1qn1qa1a1qn . 记1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nAa1,即1qSAqnA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、等比数列的前 n 项和的性质：在等比数列中：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 当Sk , S2kSk ,S3 kS2k ,均不为零时,数列

19、成等差数列.公比为qk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） Sn mSqn SSqmS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mnnmam（3） （3）anqm n 或 aaqm n （ m 、 nN* ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mn（4） 如 mnpq,就 am anap aq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5） 如an 为等差数列,就Can为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

20、下载精品_精品资料_（6） 如an 为正项等比数列,就logC an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（7） 如a、 b均为等比数列, 就a0 、 a、a k、ab、an等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnnnnanbn1kq1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_仍是等比数列.公比分别为：q、 、q 、 q 、q1q2、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_qq2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（8） 等比数列an的增减性： 当a10,或a10时, an为递增

21、数列. 当a10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q10q10q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10或时,q1an 为递增减数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、由递推公式求数列通向法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 累加法：an 1anfn变形：an 1anfn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 累乘法：an 1anfn变形：an 1fn an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 取倒数法：an 1panqanp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 构建新数列

22、法：an 1panq （其中 p , q 均为常数,pq p10 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 an 1kp ankank 为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三章不等式3.1不等式关系与不等式1、不等式定义： 用不 等号（、 、） 表示不等关系的式子叫不等式,记作fxg x , fxg x 等.用“ ”或“ ”连接的不等式叫严格不等式,用不“ ” 或“”连接的不等式叫非严格不等式.2、实数的基本性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abab0 . abab0 . abab0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实数

23、的其他性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 0ab0, abb 00 . a0b0ab0, ab0 . ab0ab0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、不等式的基本性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 对称性： abba（2） 传递性： ab, bcac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 可加性： ababacbc推论 1： abcacb （移向法就）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 2：cdacbd （同向不等式的相加法就）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

24、 欢迎下载精品_精品资料_ab（4） 可乘性：abacbc .acbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c0c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab（5） 同向相加：cdabacbd .异向可减：dcadbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6）同向可乘：cd0acbd .异项可除：0dcdc（7）乘方法就： ab0anbn （ nN , n1 ）（8）可开方性法就： ab0n an b （ nN , n2 ）ab（9）倒数法就：ab01a1b3.2一元二次不等式及其解法1、一元二次不等式定义： 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的

25、不等式, 称为一元二次不等式.使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式的全部解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.2、二次函数,一元二次方程,一元二次不等式三者之间的关系b24ac000ax2bxc0a0 的图像ax2bxc0两个不相等的实数根两个相等的实数根a0 的根x1x2x1x没有实数根2ax2bxc0x xx 或x1x2x xa0 的解集b2aRax2bxc0x x1xx2ab0ab0ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 的解集附：韦达定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在函数ax 2bxc0a0 ,就x1x2

26、bc, x1x2.aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.3 二元一次不等式（组）与简洁的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、平面区域：一般的,在平面直角坐标系中,二元一次不等式AxByC0 表示直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AxByC0 某一侧全部点组成的平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包括可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_边界.不等式AxByC0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、平面区域的判定：一般的,

27、当ykxb 时,表示ykxb 的上方区域.当3.3.2简洁的线性规划问题ykxb 时,表示ykxb 的下方区域.3、线性规划有关概念：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称线性规划问题.如约束条件是关于变量的一次不等式（方程）,就成为线性约束条件. 要求最大（小） 值所涉及的关于变量x, y 的一次解析式叫做线性目标函数.满意线性约束条件的解（ x , y）叫做可行解,由全部可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.4 基本不等式：abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

28、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21、主要不等式：设 a , bR ,就 ab22ab （当且仅当 ab 时取“ = ”）ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、基本不等式：设 a0 , b0 ,就2ab （当且仅当 ab 时取“ = ”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数.变形：ab2ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ababa2b2ab 2a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

29、_精品资料_3、应用：abab22ab（ a , bR ）22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、基本不等式的应用（1） 假如和 xy 是定值 S ,那么当且仅当xyS 时,积 x y 有最大值 S.224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 假如积 x y 是定值 P ,那么当且仅当 xyP 时,和 xy 有最小值 2P .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应留意以下几点：各项或各因式必需为整数.各项或各因式的和（或积）必需为常数.各项或各因式能够取相等的值.以上三个条件简称为“一正,二定,三相等”射影定理： CD 2AD BD . AC 2A

30、DAB .关于不等式其他补充内容 CB2BDAB .1、两点间的距离公式：设P1 x1,y1 , P2 x2, y2,就 P1P2x1x22y1y2.22、点到直线的距离公式： 设 P x0, y0 ,直线 l 的方程为 AxByC0 （ A 、 B 不同时为零）,就 P 到直线 l 的距离 dAx0By0CA2B2.3、两平行线间的距离公式：两平行直线AxByC10 和 AxByC20 间的距离dC1A2C2B2.4、点斜式方程： kyy0xx0,即 yy0k xx05、斜截式方程： ykxb ,其中 k 为斜率, b 为截距.6、直线方程的一般形式：AxByC0 （ A 、 B 不同时为零） ,当 B0 时,方程可化为 yA xC ,表示斜率为BBA,在 y 轴上的截距为BC的直线.B7、圆的标准方程：xa2yb2r. 其中圆心为 C a, b ,半径为2r .可编辑资料 - - - 欢迎下载