2022年高中数学椭圆经典例题详解- .docx

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1、精品_精品资料_例 1 已知椭圆mx23y2椭圆标准方程典型例题6m0 的一个焦点为 0, 2求 m 的值 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 把椭圆的方程化为标准方程,由c2 ,依据关系 a 2b 2c2 可求出 m 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y2解： 方程变形为1 由于焦点在 y 轴上,所以 2 m6 ,解得 m3 62m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 c2 ,所以 2m622 , m5 适合故 m5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

2、 欢迎下载精品_精品资料_例 2 已知椭圆的中心在原点,且经过点P 3,0, a3b ,求椭圆的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情形依据题设条件,运用待定系数法,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222求出参数 a 和 b 或a 和 b 的值,即可求得椭圆的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解： 当焦点在 x 轴上时,设其方程为xa 2y1 a b2b0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

3、精品资料_由椭圆过点P 3,0,知 9a 201 又b 2a3b ,代入得 b 21 , a 29 ,故椭圆的方程为x29y 21 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当焦点在 y 轴上时,设其方程为y 2x222ab1 ab0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由椭圆过点P 3,0 ,知 901 又 a3b ,联立解得 a 281 ,b2y2x29 ,故椭圆的方程为1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22ab819例 3ABC 的底边 BC16 , AC

4、和 AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹分析：1由已知可得 GCGB20,再利用椭圆定义求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 G 的轨迹方程 G 、 A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程 解：1以 BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系 设 G 点坐标为x, y,由 GCGB20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_知 G 点的轨迹是以B 、 C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点因a10 , c8 ,有 b6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

5、_2故其方程为x2y1 y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10036可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222设A x, y , G x , y,就 xy1 y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx ,310036x 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意有y代入,得A 的轨迹方程为y39001 y3240 ,其轨迹是椭圆除去x 轴上两点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程45 和325 ,过 P

6、 点作焦点所在轴3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设两焦点为F 、 F ,且 PF45 , PF25 从椭圆定义知 2aPFPF2 5 即 a5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12121233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从 PF1PF2 知PF2垂直焦点所在的对称轴,所以在Rt PF2F1中,sinPF1F2PF21,PF12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可求出PF1F2, 2c6PF1cos62 52,从而 b3a 2c210 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x23 y23 x2y 2所求椭圆方程

7、为1或1510105可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2例 5 已知椭圆方程2ay1 a b22b0 ,长轴端点为A1 ,A2 ,焦点为F1 , F2 , P 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆上一点,A1PA2,F1PF2求：F1PF2 的面积用 a 、 b 、表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用S1 ab sin C 求面积2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

8、- - 欢迎下载精品_精品资料_解： 如图,设P x,y,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由余弦定理知：2F1F22PF12PF22 PF1PF2cos4c2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由椭圆定义知：PF1PF22a,就 得PF1PF22b21cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 S F1 PF21PF12PF2sin12b22 1cossinb 2 tan

9、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 已知动圆 P 过定点 A3,0,且在定圆B：x3 2y264的内部与其相内切, 求动圆圆心 P 的轨迹方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 关键是依据题意,列出点P 满意的关系式解： 如下图,设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M 动点 P 到两定点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即定点 A3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 PAPBPM

10、PBBM8 点 P 的轨迹是以 A , B 为两焦点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_半长轴为 4,半短轴长为 b4232x2y27 的椭圆的方程：1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_167说明： 此题是先依据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后依据椭圆的标准方程,求轨迹的方程这是求轨迹方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的一种重要思想方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2例 7 已知椭圆2y21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

11、精品资料_,1求过点 P 1122且被 P 平分的弦所在直线的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3过A 2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满意求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法kOP1kOQ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

12、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设弦两端点分别为M x1, y1, N x2,y2,线段 MN 的中点R x,y ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1122y22,x2222y22,得 x1x2x1x22 y1y2y1y20 y12yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2y1y22x, 2y,由题意知 x1x2 ,就上式两端同除以 x1x2 ,有 x1x2 2 y120 ,x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将代入得 x2 y y1y2x1x20 可编辑资料 - - -

13、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1将 x1 , y21 y1y2代入,得2 x1x22221 ,故所求直线方程为：2112x4 y30 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将代入椭圆方程x2 y2得 6 y6 y0 ,4364640 符合题意, 2 x4 y30 为所求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2将 y1y2x1x22 代入得所求轨迹方程为：x 4 y0 椭圆内部分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3将 y1y2

14、x1x2y 1 代入得所求轨迹方程为：x2x22y 22x2 y0 椭圆内部分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx22y124由得：122222 ,将平方并整理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2x24x 22x x,y2y24 y22 y y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121 21212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将代入得：4 x22 x1x2 44 y 22 y1y22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再将 y1 y21 x x122代入式得：2

15、 x2x1x24 y221 x x1222 ,即x2y1 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此即为所求轨迹方程当然,此题除了设弦端坐标的方法,仍可用其它方法解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8 已知椭圆4x2y21及直线 yxm 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设直线被椭圆截得的弦长为2 105,求直线的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解：1把直线方程 yxm 代入椭圆方程4x

16、2y21得4x22x m1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 5 x22mxm210 2m45m2116m2200 ,解得5m5 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1 , x2 ,由 1得 x1x22 m, x1x25m215可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据弦长公式得：1122m24m21210解得 m0 方程为yx 555说明： 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采纳的方法与处理直线和圆的有所

17、区分 这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式.解决弦长问题,一般应用弦长公式 用弦长公式,假设能合理运用韦达定理即根与系数的关系,可大大简化运算过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y2例 9 以椭圆1的焦点为焦点,过直线l ： xy 90 上一点 M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123点 M 应在何处？并求出此时的椭圆方程分析： 椭圆的焦点简单求出,依据椭圆的定义,此题实际上就是要在已知直线上找一点, 使该点到直线同侧的两已知点即两焦点的距离之和最小,只须利用对称就可解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

18、料_2解： 如下图,椭圆 x21y1 的焦点为 F3,0, F23,0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 F1 关于直线l： xy90 的对称点 F 的坐标为 9, 6,直线FF2 的方程为 x2 y30 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组x2y3xy90 得交点 M 的坐标为 5, 4此时0MF1MF2最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求椭圆的长轴：2aMF1MF2FF265 , a3

19、 5 ,又 c3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b2a 2c223 532x2y236 因此,所求椭圆的方程为1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4536x2y 2例10已知方程1表示椭圆,求k 的取值范畴 k53k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k5解： 由 3kk50,0,3k,得 3k5 ,且 k4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意条件的 k 的取值范畴是 3k5 ,且 k4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 此题易显现如下错解：由k50,3k0,得 3k5 ,故 k 的取值范畴是 3k5 可

20、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_出错的缘由是没有留意椭圆的标准方程中ab0 这个条件,当ab 时,并不表示椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例11已知x2 siny2 cos1 0 表示焦点在y 轴上的椭圆,求的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 依据已知条件确定的三角函数的大小关系再依据三角函数的单调性,求出的取值范畴x2y211解： 方程可化为1 由于焦点在 y 轴上,所以0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 sin

21、1sin0 且 tan1cos1 从而, 3 24cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 1由椭圆的标准方程知1sin0 ,1 cos0 ,这是简单无视的的方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 由焦点在 y 轴上,知 a 212, bcos1sin 3 求的取值范畴时,应留意题目中的条件0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过A3 ,2 和 B 23 , 1 两点的椭圆方程可编辑资料 - - - 欢迎下

22、载精品_精品资料_分析： 由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了运算简便起见,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可设其方程为mx2ny21 m0 , n0 ,且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解： 设所求椭圆方程为mxny1 m0 , n0 由 A3 ,2 和 B 23 ,1 两点在椭圆上可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2m 3 2n 2 21,3m4n1,11x2y2可编辑资料 -

23、 - - 欢迎下载精品_精品资料_即所以m, n故所求的椭圆方程为1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m 23 2n 121,12mn1,155155可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例13知圆x2y 21,从这个圆上任意一点P 向 y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 此题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题这种题目一般利用中间变量相关点 求轨迹方程或轨迹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设点 M 的坐标为 x ,y) ,点 P 的坐标为 x0, y0 ,就 xx0 , y2y0 可编辑资料

24、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0由于 P x0, y0 在圆x2y21 上,所以 x 2y 21 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 x02x , y0200y 代入方程 x0y 21 得 4 x2y 21. 所以点 M 的轨迹是一个椭圆4x 2y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法详细做法如下：第一设动点的坐标为 x ,y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

25、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设已知轨迹上的点的坐标为 x0, y0 ,然后依据题目要求,使x , y 与 x0 ,y0 建立等式关系,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而由这些等式关系求出x0 和y0 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x , y 的方程,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简后即我们所求的方程这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必需把握可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 14 已知长轴为 12,短轴长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆, 过它对的左焦点B

26、两点,求弦 AB 的长F1 作倾斜解为的直线交椭圆于 A ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 可以利用弦长公式AB1k 2 xx1k 2 xx 24x1x2 求得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212也可以利用椭圆定义及余弦定理,仍可以利用焦点半径来求 解： 法 1利用直线与椭圆相交的弦长公式求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2AB1kx1x21k 2 xx 24 x1 x2 由于 a6 , b3 ,所以 c3 3 由于焦点在 x 轴上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

27、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12x2y2所以椭圆方程为1 ,左焦点 F 33 , 0 ,从而直线方程为y3x9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_369可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由直线方程与椭圆方程联立得：13x2723x3680 设x1 ,x2 为方程两根,所以x1x2723,11213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2368, k133 ,从而 AB1k 2 xx1k 2 xx 24824 x1x2 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

28、 - - 欢迎下载精品_精品资料_ 法 2利用椭圆的定义及余弦定理求解x2y2由题意可知椭圆方程为1 ,设AF1m, BF1n ,就AF212m ,BF212n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 AF1F2 中,62AF23692AF12F1F22 AF1F1F2cos,即3612m 2m236 32 m 631 .248可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 m同理在BF1F2 中,用余弦定理得 n,所以 ABmn434313 法 3利用焦半径求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先依据直线与椭圆联立的方程13x272 3x3680求出方程的两根

29、x , x ,它们分别是 A , B 的横坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再依据焦半径AF1aex1,BF1aex2 ,从而求出 ABAF1BF1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2例 15椭圆1 上的点 M 到焦点F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,就ON O 为坐标原点的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2593A 4B 2C 8D2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 ： 如 下 图 , 设 椭 圆 的 另

30、 一 个 焦 点 为F2 , 由 椭 圆 第 一 定 义 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MF1MF22a10,所以MF210MF11028 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 ON 为MF1F2的中位线,所以 ON1 MF224 ,故答案为 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 1椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数大于F1F2的点的轨迹叫做椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

31、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 椭圆上的点必定适合椭圆的这肯定义,即MF1MF22a,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 16 已知椭圆x2y2C：1 ,试确定 m 的取值范畴,使得对于直线l： y4 xm ,椭圆 C 上有不同的两点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_43关于该直线对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 假设设椭圆上 A , B 两点关于直线 l 对称,就已知条件等价于：1 直线 AB上l .2 弦 AB 的中点 M 在 l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用上述条件建立 m 的不等式即可求得m 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 法 1设椭圆上Ax1, y1 , B x2, y2 两点关于直线 l 对称,直线 AB 与l 交于M x0, y0 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l