2022年高中数学第二章随机变量及其分布章末复习学案.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -其次章随机变量及其分布1离散型随机变量及其分布列(1) 随机变量：在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示 在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量通常用字母X,Y, , ,等表示(2) 离散型随机变量：全部取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量(3) 离散型随机变量的分布列：一般的,如离散型随机变量X 可能取的不同值为x1,x2, xi ,xn,X 取每一个值xi i 1, 2, n 的概率 P X xi p

2、i ,以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列,简称为X的分布列有时为了简洁起见,也用等式P X xi pi ,i 1, 2, n 表示 X的分布列(4) 离散型随机变量的分布列的性质：pi 0, i 1, 2, n.npi 1.i 1(5) 常见的分布列：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

3、- - -两点分布：假如随机变量X 的分布列具有下表的形式,就称X 听从两点分布,并称p P X1 为成功概率 .X01P1 pp两点分布又称0 1 分布,伯努利分布超几何分布：一般的,在含有M件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,就事k n kCMCN M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_件 X k 发生的概率为P Xk n, k 0, 1, 2, m,即CN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X01m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C0 n01 n 1m nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MCNMnnPCNCMCN

4、 MnCNCMCNM CN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*其中 m min M, n ,且 n N, M N, n,M, N N. 假如随机变量X 的分布列具有上表的形式,就称随机变量X听从超几何分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2二项分布及其应用(1) 条件概率：一般的,设A 和 B 是两个大事,且P A 0,称 P B| A P（ AB）P（A） 为在大事A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_发生的条件下,大事B 发生的条件概率P B| A 读作 A 发生的条件下B 发生的概率(2) 条件概率的性质：0 P B| A 1.必定大事的条件概率为

5、1,不行能大事的条件概率为0.假如 B 和 C 是两个互斥大事,就P BC| A P B| A P C| A (3) 大事的相互独立性：设A, B为两个大事,假如P AB P A P B ,就称大事A与大事 B相互独立假如大事A 与 B 相互独立,那么A 与B, A与 B, A与 B也都相互独立(4) 独立重复试验：一般的,在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验(5) 二项分布：一般的,在n 次独立重复试验中,设大事A 发生的次数为X,在每次试验中 大事 A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中,大事A 恰好发生k 次的概率为P X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

6、资料_kk kn k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Cnp 1 p,k 0,1,2, n. 此时称随机变量X 听从二项分布, 记作 XB n,p ,并称 p 为成功概率两点分布是当n 1 时的二项分布,二项分布可以看成是两点分布的一般形式3离散型随机变量的均值与方差(1) 均值、方差：一般的,如离散型随机变量X的分布列为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - -

7、- - - - - - - -Xx1x2xixn就称 E X x1p1 x2p2Pp1xi pi p2 xnpnpi为随机变量pnX 的均值或数学期望,它反映了离散2型随机变量取值的平均水平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nD X称 i 1 xi E Xpi 为随机变量X 的方差,D（ X）为随机变量X的标准差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 均值与方差的性质：如 YaX b,其中 a,b 是常数, X是随机变量, 就 Y也是随机变量,且 E aX b aE X b,D aX b a2D X (3) 常见分布的均值和方差公式：两点分布：如随机变量X 听从参

8、数为p 的两点分布,就均值 E X p,方差 D X p1 p 二项分布：如随机变量XB n, p ,就均值 E X np,方差 D X np1 p 4正态分布(1) 正态曲线与正态分布：1（ x ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正态曲线：我们把函数 , x e2 2 2, x , 其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是样本均值, 是样本标准差 的图象称为正态分布密度曲线,简称正态曲线,正态曲线呈钟形,即中间高,两边低b正态分布：一般的,假如对于任何实数a, b ab ,随机变量X 满意 P a X b a , xd x,就称随机变量X 听从正态分布正态分布

9、完全由参数 , 确定,因此正态分2布常记作N , (2) 正态曲线的特点：曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交.曲线是单峰的,它关于直线x 对称.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线在x 处达到峰值. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线与x 轴之间的面积为1.(3) 和 对正态曲线的影响：当 肯定时,曲线的位置由 确定,曲线随着 的变化而沿x 轴平移.当 肯定时, 曲线的外形由 确定, 越小,曲线越“瘦高”, 表示总体的分布越集中. 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - -

10、- - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(4) 正态分布的3 原就： 如随机变量X N ,2 ,就 P X 0.682 6, P 2 X 2 0.954 4 , P 3 X 3 0.997 4.在实际应用中, 通常认为听从于正态分布N , 2 的随机变量X 只取 3, 3 之间的值, 并简称之为 3 原就 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型一条件概率的求法求条件概率的主要方法：1 利用条件概率： P B| A

11、n（ AB）P（ AB）P（ A） .2针对古典概型, 缩减基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_本领件总数P B| A n（ A） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1坛子里放着7 个大小、外形相同的鸭蛋,其中有4 个是绿皮的,3 个是白皮的假如不放回的依次拿出2 个鸭蛋,求：(1) 第 1 次拿出绿皮鸭蛋的概率.(2) 第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋的概率.(3) 在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2 次拿出绿皮鸭蛋的概率解设“第 1 次拿出绿皮鸭蛋”为大事A,“第 2 次拿出绿皮鸭蛋”为大事B,就“第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋”为大事AB.

12、21 从 7 个鸭蛋中不放回的依次拿出2 个的大事数为n A7 42. 依据分步乘法计数原理,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n A A4 A624.n（ A）244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7于是 P A n（ ） 42 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 由于 n AB A4 12,n（ AB）122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7所以 P AB n（ ） 42 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 法一由 12可得,在第1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2 次拿出绿皮鸭蛋的概率为2P（ AB）71

13、2P B| A P（ A） 4 .7法二由于 n AB 12, n A 24,n（ AB）121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2所 以 P B| A n（ A） 24 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_跟踪演练1一个盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品、 1 只二等品,从中取产品两次,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

14、 - - -每次任取一只, 作不放回抽样, 设大事 A 为“第一次取到的是一等品”,大事 B 为“其次次取到的是一等品”,试求条件概率P B| A 解将产品编号1,2,3 号为一等品, 4 号为二等品,以 i , j 表示第一次,其次次分别取 到第 i 号、第 j 号产品,就试验的样本空间为 1 ,2 ,1 ,3 ,1 ,4 ,2 ,1 ,2 , 3 , 2 , 4 , 4 , 1 , 4 ,2 , 4 ,3A 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 4 ,2 , 1 ,2 , 3 , 2 , 4 , 3 , 1 , 3 , 2 , 3 , 4AB 1 , 2 , 1 , 3 , 2 ,1 ,

15、 2 ,3 , 3 ,1 , 3 , 2P B| A n（ AB） 2.n（ A）3题型二互斥大事、相互独立大事的概率求概领先转化为互斥大事概率的和,再运用相互独立大事的概率公式求解例 2 国家射击队为备战 20XX年里约热内卢奥运会进行紧急艰苦的训练, 训练项目完成后, 教练总会设计支配一些放松、 消遣性复原活动 在一次速射“飞碟”的嬉戏活动中, 教练制定如下规章： 每次飞碟飞行过程中只答应射击三次, 依据飞碟飞行的规律, 队员甲在飞行距2离为 50 米远处命中的概率为.3(1) 假如队员甲一共参与了三次射击飞碟的嬉戏,试求队员甲在这三次嬉戏中第一次至少有一次击中的概率.(2) 假如队员甲射

16、击飞行距离为50 米远处的飞碟,假如第一次未命中,就进行其次次射击,同时其次次射击时飞碟飞行距离变为100 米.假如其次次未命中,就进行第三次射击,第三次射击时飞碟飞行距离变为150 米 此后飞碟不在射程之内 已知,命中的概率与飞碟飞行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_距离的平方成反比,求队员甲在一次嬉戏中命中飞碟的概率26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 记“队员甲在三次嬉戏中,第一次至少有一次命中”为大事A. P A 1P A 27.2 记“在一次嬉戏中,第i 次击中飞碟”为大事Bi i 1,2, 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P B

17、12 3,P B22 31 216 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2P B3 3 1 223 27.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 Bi 是相互独立大事, P B P B1 P B1B2 P B1B2B3P B1 P B1 P B2 P B1 P B2 P B3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 -

18、- - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21 1152 361.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3363627486跟踪演练2甲、乙两队进行一场排球竞赛,依据以往体会,单局竞赛甲队胜乙队的概率为0.6. 本场竞赛采纳五局三胜制,即先胜三局的队获胜,竞赛终止 设各局竞赛相互间没有影响,求前三局竞赛甲队领先的概率解单局竞赛甲队胜乙队的概率为0.6 ,乙队胜甲队的概率为1 0.6 0.4 ,记“甲队胜三局”为大事A,“甲队胜二局”为大事B,就：3P A 0.6 30.216 . P B C20.6 2 0.4 0.432.前三局竞赛甲

19、队领先的概率为P A P B 0.648.题型三离散型随机变量的分布列、期望与方差离散型随机变量的分布列是讨论随机变量的期望和方差的基础,利用分布列仍可以求随机变量在某个范畴内取值的概率例 32022 山东理 甲、乙两支排球队进行竞赛,商定先胜3 局者获得竞赛的成功,竞赛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_立即终止, 除第五局甲队获胜的概率是1外,其余每局竞赛甲队获胜的概率都是22,假设各局3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_竞赛结果相互独立1 分别求甲队以30, 3 1, 3 2 成功的概率.2 如竞赛结果为30或 31,就成功方得3 分,对方得0 分.如竞赛结果为

20、32,就胜 利方得 2 分、对方得1 分求乙队得分X的分布列及数学期望解1 记“甲队以30 成功”为大事A1,“甲队以31 成功”为大事A2,“甲队以32成功”为大事A3,由题意,各局竞赛结果相互独立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 P A1 2 383 27,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A C2 2 2228 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_323 3 13 27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2 22 214可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2P

21、A3 C4 3 1 3 27884可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,甲队以30, 3 1, 3 2 成功的概率分别是,.272727可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设“乙队以32成功”为大事A4,由题意,各局竞赛结果相互独立,所以22 2 2 214P A4 C41 3 3 1 2 27由题意,随机变量X的全部可能的取值为0, 1, 2, 3,依据大事的互斥性得16P X 0 P A1 A2 P A1 P A2 27,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - -

22、- - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4P X 1 P A3 ,274P X 2 P A4 27,3P X 3 1 P X 0 P X1 P X 2 27故 X 的分布列为01231644327272727164437271 272 273279X P所以 E X 0跟踪演练3口袋里装有大小相同的卡片8 张,其中 3 张标有数字1,3 张标有数字2,2 张标有数字3. 第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后,其次次再任意抽取一张,记第一22次与其次次取到卡片上数字之和为 . 求 的

23、期望解依题意,随机变量 的取值是 2,3, 4, 5, 6.392318可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P 2 82 64, P 3 22,864可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P 4 3 232212 3 212, P 5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_82 642248264可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P 6 82 64. 的分布列是23456918211246464646464P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9182112415可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_64E 2 643 64

24、45 646 64 4 .题型四正态分布的应用求解正态分布的问题,要依据正态曲线的对称性,仍要结合3 原就,知道正态曲线与x轴之间的面积为1.例 4某的数学考试的成果X 听从正态分布,某密度函数曲线如右图所示,成果X 位于区间 52 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -68 的概率为多少？2解设成果 X N , ,就正态分布的密度函数1（ x

25、 ） 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ , x e2 22,由图可知, 60, 8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P52 X68 P60 8x60 8 P X 0.682 6.跟踪演练4已知某的农夫工年均收入听从正态分布,其密度函数图象如下列图(1) 写出此的农夫工年均收入的概率密度曲线函数式.(2) 求此的农夫工年均收入在8 000 8 500 元之间的人数百分比2解设农夫工年均收入 N , ,结合图象可知 8 000 , 500.1 此的农夫工年均收入的正态分布密度函数表达式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x 1e2（ x ） 22

26、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（ x8 000 ） 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e50022,x , 2 500可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 P7 500 8 500P8 000 500 8 000 5000.682 6.P8 000 8 5001 P7 500 8 50020.341 3.即农夫工年均收入在8 000 8 500 之间的人数占总体的34.13%.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载