2022年高等数学复习资料大全.docx

《2022年高等数学复习资料大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学复习资料大全.docx（30页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高等数学复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法就求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断懂得并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A. 极限的求法（ 1）用定义求（ 2）代入法（对连续函数,可用因式分解或有理化排除零因子）（ 3）变量替换法（ 4）两个重要极限法（ 5）用夹逼定理和单调有界

2、定理求（ 6）等价无穷小量替换法（ 7）洛必达法就与Taylor 级数法（ 8）其他（微积分性质,数列与级数的性质）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. limarctan xxlimarctan xx1 （ 等价小量与洛必达 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 ln12 x3 x02 x 36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.已知limsin 6 xxf x0,求lim 6f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x3x0x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limsin 6xxf xlim6cos6xf

3、xxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： x0x 3x03x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim36 sin 6 x2 yxy lim216 cos 6 x3 y xy 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x02166x3 y 006x06y 072可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim 6f xlimylimy 7236（ 洛必达）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x2x0 2xx0 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. lim 2 x

4、 x 1（重要极限 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.已知 a、b 为正常数,求 lim a3xb x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 txx ab23

5、 x , ln t3 ln a xxb x ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim ln tlim3a x ln ab x ln b3 ln ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0 a xb x2（ 变量替换 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t ab 3 / 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. lim cos x1ln 1x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 tcos x1ln 1x2

6、, ln t1ln1x 2 lncos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limln tlimtan x1te1/ 2（ 变量替换 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x02 x2x 2f tdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.设f x 连续, f 00, f 00 ,求lim01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 洛必达与微积分性质 ）lncos x x2 , x0x0 x2xf t dt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.已知f xa, x0在 x=0 连

7、续,求a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 alimlncos x / x 21/ 2（ 连续性的概念 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0三、补充习题（作业）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. limex1x3（洛必达 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x01xcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. lim ctgx 11 （ 洛必达或 Taylor）x0sin xxxt 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xedt3. lim01（ 洛

8、必达与微积分性质 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x01e x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次讲 导数、微分及其应用一、理论要求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四就、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2

9、.微分中值定理懂得 Roll 、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理睬用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图会运算曲率（半径）二、题型与解法A. 导数微分的运算基本公式、四就、复合、高阶、隐函数、参数方程求导xarctan tdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. yyx 由 2 yty 2et5 打算,求dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. yy x由ln x2yx3 ysin x 打算,求dy|x 01dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

10、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：两边微分得x=0 时 yy cos xy ,将 x=0 代入等式得y=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. yy x由2 xyxy 打算,就dy |x 0ln 21dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B. 曲线切法线问题4.求对数螺线e 在（, ） （e/ 2 ,/ 2处切线的直角坐标方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x ecos解：y esi

11、n, x, y |/ 20, e/ 2 ,y |/ 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ye / 2x5.fx 为 周 期 为5的 连 续 函 数 , 它 在x=1可 导 , 在x=0的 某 邻 域 内 满 足f1+sinx-3f1-sinx=8x+ox.求 fx 在（ 6,f6 ）处的切线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：需求f 6,f 6或f1,f 1 ,等式取x-0 的极限有： f1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf 1sin x3 f 1sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0sin x可编辑资料

12、- - - 欢迎下载精品_精品资料_sin xtlim f 1t f 13 f 1tf 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t0tt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 f 18f 12y2 x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.导数应用问题6.已知 yf x 对一切 x满意xf x2xf x 21e x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f x0 0 x00 ,求 x0 , y0 点的性质.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 xx 代入, f x ex0 10, x00,故为微小值点.可编辑资料 - - -

13、 欢迎下载精品_精品资料_000ex0 x0, x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. yx3x1 2,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

14、_解：定义域x,11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y0y0驻点x拐点x0及x 0.x31：铅垂. yx2：斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8.求函数 y x1e/ 2 arctan x 的单调性与极值、渐进线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： yx 2x1x2 e/ 2 arctan x驻点 x0与x1 , 渐： ye x2与yx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

15、- - 欢迎下载精品_精品资料_dD. 幂级数绽开问题9.dx1xsin x0t 2 dtsin x2xt 2 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinxt 2xt 21 xt 63.11 n2n1. xt 4 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinxxsinxt 2 dtt 2x31 x3t 31 x7 x3.7t 71) nx 4n1 n 114n12n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6222033.74n12n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxdx 0sinxtdtx1 x 3.n1x22 n2n11.

16、sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或： xtud0 sin u 2 dxxdu dxdx0sin u2 dusin x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10.求f xx 2 ln1x在x0处的n阶导数 f n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： x2 ln1xx2 xxx2323n 2x1 n 1n2o xn 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

17、精品_精品资料_3x 4x5= x23nx1n 1n2o x n f n 01n1n.n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E.不等式的证明11. 设 x0,1 , 求证（ 1x) ln2 1xx 2, 11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln 2ln1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证： 1）令g x1x ln 2 1xx2 , g00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -

18、第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x, g x, g x2 ln1x0, g 0g 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 0,1时g x单调下降,g x0, g x单调下降可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x0, g x单调下降,g x0.得证.可编辑资料

19、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）令h x1ln1x1 , x x0,1, h x0,单调下降,得证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F.中值定理问题12.设函数f x在1,1 具有三阶连续导数,且f 10, f11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 00 ,求证：在（-1,1）上存在一点,使f 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 ： f xf

20、 0f 0x1 f 0 x22.1 f 3.x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中0, x, x1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0f 1将 x=1 , x=-1 代入有f 01 f 021 f 16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f 1f 01 f 021 f 26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相减：f 1 f 2 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,2 ,2f 21 f2 21 f4 2 3可编辑资

21、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. eabe ,求证： lnblna2 ba e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 ： Lagrange :f b bf a af 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f xln 2ln 2 bx,bln 2 a a2 ln可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令t ln t,t t 1ln t20t2ln2e 2e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln 2 bln 2 a42 ba e（关键：构造函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

22、料_三、补充习题（作业）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. f xln11x ,求y 03x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2.曲线yet sin 2t et cos 2t在0,1处切线为 y2 x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. yx ln

23、 e1 xx0的渐进线方程为yx1e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.证明 x0 时 x21) ln x x1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证：令g x x 21) ln x x1 2 , g x , g x, g x2 x21x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g 1g 10, g 120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0,1,

24、g 0, g2g0x0,1, g0g0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1, g 0, g2x1, g 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分把握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分懂得定积分的概念与性质懂得变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、题型与解法A. 积分运算1.dxx 4xdx24x2

25、arcsin x2C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.e 2x tan x1 2 dxe 2x sec2xdx2e2xtan xdxe2xtan xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.设f ln xln1x,求xf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：f xdxln1xeex dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e x ln1ex

26、 ex11exdxx1e x ln 1e x C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arctan x4.dx1x21arctan x |1xlimbb 11xx2 dx1x1 ln 242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料

27、- - - 欢迎下载精品_精品资料_B. 积分性质5.f x连续,x1f xtdt ,且limf xA ,求x并争论 x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 的连续性.0x0xxf ydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 ： f 000, yxt(x) 0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xxf xxf ydy02 0Al i m 0A / 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dx6.tfdx0 x 22xt 2 dtd 2dxxf x 202xt 2 d t 20x2 可

28、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxf yd yxf x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2dx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.积分的应用7.设f x在0 , 1 连续,在（ 0, 1）上f x0 ,且xf xf x3a x2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f x与 x=1,y=0 所围面积S=2.求f x ,且 a=.时 S 绕 x 轴旋转体积最小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：d dxf x 3

29、a x2f x3a x 2cx 21f xdx2c4a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x3a x 2241 xV 1y2 dx0a50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8.曲线 yx1 ,过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x 轴所围图形绕x 轴旋转的表面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：切线yx / 2 绕 x 轴旋转的表面积为22 yds50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 yx1 绕 x 轴旋转的表面积为22 yds15516可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总表面积为11516可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、补充习题（作业）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln sin x1. dxsin 2 xx5cotxlnsin 2 xcot xxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. dxx 26x13arcsinx3. dxx