2022年高中平面解析几何知识点总结.docx

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1、精品_精品资料_高中平面解析几何学问点总结一、直线部分1. 直线的倾斜角与斜率 :(1) 直线的倾斜角 : 在平面直角坐标系中 , 对于一条与 x 轴相交的直线 , 假如把 x 轴围着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_倾斜角 0,180 ,90 斜率不存在、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k(2) 直线的斜率 :y2y1x2x1 x1x2 , ktan. 两点坐标为P1x1,y1 、 P2 x2, y2 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

2、资料_2. 直线方程的五种形式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 点斜式: yy1k xx1 直线 l 过点P1 x1 , y1, 且斜率为 k .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注: 当直线斜率不存在时 , 不能用点斜式表示 , 此时方程为 xx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 斜截式: ykxbyy1xb为直线 l 在 y 轴上的截距 、x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 两点式: y2y1x2x1 y1

3、y2 , x1x2 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注: 不能表示与 x 轴与 y 轴垂直的直线 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 方程形式为 :x2x1 yy1 y2y1 xx1 0 时, 方程可以表示任意直线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x(4) 截距式: ay1ba, b 分别为 x 轴 y 轴上的截距 , 且 a0, b0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注: 不能表示与 x 轴垂直的直线 , 也不能表示与 y 轴垂直的直线 , 特殊就是不能表示过原点的直线.可编

4、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 一般式: AxByC0其中 A、B 不同时为 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yA xCkA一般式化为斜截式 :BB , 即, 直线的斜率 :B .注:1 已知直线纵截距 b , 常设其方程为 ykxb 或 x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知直线横截距x0 , 常设其方程为x myx0 直线斜率 k 存在时, m 为 k 的倒数 或 y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知直线过点 x0 , y0 , 常设其方程为y k xx0 y

5、0 或 xx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 解析几何中讨论两条直线位置关系时 , 两条直线有可能重合 ; 立体几何中两条直线一般不重合 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 直线在坐标轴上的截矩可正 , 可负, 也可为 0、(1) 直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点 .(2) 直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点 .(3) 直线两截距肯定值相等直线的斜率为 1或直线过原点 .4. 两条直线的平行与垂直 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 如l1 : yk1xb1 ,l2 :yk2 xb2 , 有可

6、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l1 / l 2k1k2, b1b2 ; l1l 2k1k21 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 如l1 :A1 xB1 yC10 , l 2 :A2xB2 yC 20 , 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l1 / l 2A1 B2A2 B1且A1C 2A2 C1 ; l1l 2A1 A2B1B20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

7、- - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 平面两点距离公式 :P x , y P x , y P P xx 2 yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 已知两点坐标 111、 222, 就两点间距离 121212.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) x 轴上两点间距离 : ABxBxA .x0x1x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P PM x , y y1y 2y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 线段12 的中点就是00, 就2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品_精品资料_6. 点到直线的距离公式 :Ax0dBy0C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P x0 , y0到直线l： AxByC0 的距离:A2B 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 两平行直线间的距离公式 :C1C2d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条平行直线l1： AxByC10, l 2： AxByC 20 的距离:A2B 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 直线系方程 :(1) 平行直线系方程 : 直线 ykxb 中当斜率 k 肯定而 b 变动时,

9、 表示平行直线系方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 与直线l : AxByC0 平行的直线可表示为AxByC10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 过点P x0,y0 与直线l : AxByC0 平行的直线可表示为 :Axx0B yy00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 垂直直线系方程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 与直线l : AxByC0 垂直的直线可表示为BxAyC10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

10、品_精品资料_ 过点P x0,y0 与直线l : AxByC0 垂直的直线可表示为 :Bxx0A yy00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 定点直线系方程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 经过定点的系数.P0 x0, y0 的直线系方程为yy0k xx0 除直线xx0 , 其中 k 就是待定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 经过定点数.P0 x0, y0 的直线系方程为Axx0B yy00 , 其中A, B 就是待定的系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 共点直线系

11、方程 : 经过两直线l1： A1 xB1 yC10, l 2： A2 xB2 yC 20 交点的直线系方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程为 A1xB1 yC1 A2 xB2 yC 20 除开l2 , 其中就是待定的系数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 两条曲线的交点坐标 :f x, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 C1 :f x, y0 与C2 :gx, y0 的交点坐标方程组g x, y0 的解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、平面与空间直线参数方程 :

12、平面直线方程以向量形式给出 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xayb方向向量为 sn ,n下面推导参数方程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1令：xan2ybxt 就有12an1t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n2ybn2 t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 空间直线方程也以向量形式给出:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x ay bz b方向向量为 sn ,n ,n下面推导参数方程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1令：xn2n3ay bz c123xan1t就有可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品_精品资料_n1n2n3ty bn2 tz cn3t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意: 只有封闭曲线才会产生参数方程 , 对于无限曲线 , 例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程.二、圆部分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 圆的方程 :(1) 圆的标准方程 : xa 2 yb2r 2 r0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2(2) 圆的一般方程 : xy 2DxEyF0D 2E 24 F0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

14、精品_精品资料_(3) 圆的直径式方程 : 如Ax1, y1 , B x2 , y2 , 以线段 AB 为直径的圆的方程就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是: xx1 xx2 yy1 yy 2 0.D ,E r1D 2E 24 F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注:1 在圆的一般方程中 , 圆心坐标与半径分别就是(2) 一般方程的特点 :22,2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x 2 与y2 的系数相同且不为零 ; 没有 xy项; D 2E 24

15、F0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2(3) 二元二次方程Ax 2BxyCy 2DxEyF0 表示圆的等价条件就是 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AC0 ; B0 ; DE 24 AF0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 圆的弦长的求法 :(1) 几何法: 当直线与圆相交时 , 设弦长为 l , 弦心距为 d , 半径为 r ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222就: “半弦长+弦心距 =半径 ” l 22d 2r 2;可

16、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 代数法: 设l 的斜率为 k , l 与圆交点分别为Ax1, y1 , Bx 2, y2 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB |1k 2| xAxB |11 | y k 2Ay B |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 其中| x1x2 |,| y1y2 |的求法就是将直线与圆的方程联立消去y 或x , 利用韦达定理求解 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

17、_精品资料_3. 点与圆的位置关系 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P x0 , y02与圆 xa2 yb2r的位置关系有三种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ P 在在圆外 P 在在圆内 P 在在圆上dr x0dr x0dr x0a) 22aa) 2 y0 y0 y0b) 22bb 2r 2 .2r.r 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dax 2by 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【 P 到圆心距离4. 直线与圆的位置关系 :00】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

18、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 AxByC0 与圆 xa 2 yb 22r的位置关系有三种 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AaBbCd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心到直线距离为 d 二次方程的判别式为.A2B 2, 由直线与圆联立方程组消去 x 或 y 后, 所得一元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dr相离0 ;dr相切0 ;dr相交0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 两圆位置关系 :设两圆圆心分别为O1, O2 , 半径分别为r1, r2 ,O1O2d可编辑资料 - - - 欢

19、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dr1r2外离4条公切线 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dr1r2内含无公切线 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dr1r2dr1r2外切3条公切线 ;内切1条公切线 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1r2dr1r2相交2条公切线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

20、226. 圆系方程 : xy2DxEyF0D 2E 24F0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 过直线l： AxByC0 与圆 C : xy 2DxEyF0 的交点的圆系方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyDxEyF程:122 AxByC0 , 就是待定的系数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2(2) 过圆C1 : x方程:y 2D xE1 yF10 与圆 C2 : xy2D xE 2 yF 20

21、 的交点的圆系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x2y2D1xE1 yF1x 2y 2D xE 2 yF2 0 , 就是待定的系数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21x2y 2D xE yF x2y2D xE yF 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的, 当时,111222就就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D1线.D2 xE1E2 y F1F2 0 表示两圆的公共弦所在的直线

22、方程 , 即过两圆交点的直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_227. 圆的切线方程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22(1) 过圆 xyr上的点Px0, y0 的切线方程为 :x0 xy0 yr.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 过圆 xa 2 yb 2r 2 上的点P x0 , y0 的切线方程为 : xa x0a) yb y0b) r 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 当点P x0 , y0在圆外时 , 可设切方程为 yy0k xx0 , 利用圆心到直线距离等

23、于半径 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即drxx0 ., 求出 k ; 或利用0 , 求出 k . 如求得 k 只有一值 , 就仍有一条斜率不存在的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_28、 圆的参数方程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆方程参数方程源于 :2sincos1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22那么 （x a2 y b21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_RR（ x a可编辑资料 - - - 欢迎下载

24、精品_精品资料_设:Rsin得:xaRsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ y bybRcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1与2Rcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_29. 把两圆 xy2D xE1 yF10x2y 2D xE2 yF20 方程相减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即得相交弦所在直线方程 :10. 对称问题 :(1) 中心对称 :D1D 2 xE1E 2 yF1F2 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

25、品资料_ 点关于点对称 : 点 直线关于点对称 :A x1, y1 关于 Mx0 , y0 的对称点A 2x0x1 ,2 y0y1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法 1: 在直线上取两点 , 利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标, 由两点式求直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法 2: 求出一个对称点 , 在利用(2) 轴对称:l1 / l 2 由点斜式得出直线方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 点关于直线对称 : 点与对称点连线斜率就是已知直线斜率的负倒数, 点与对称点的中点在直线上 .AA lkAAkl1可编辑资料 -

26、 - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A、A关于直线 l 对称AA 中点在 l上AA 中点坐标满意l方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 直线关于直线对称 : 设a,b 关于 l 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法 1: 如 a, b 相交, 求出交点坐标 , 并在直线 a 上任取一点 , 求该点关于直线 l 的对称点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如a / l, 就b / l, 且a,b 与l 的距离相等 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法 2: 求出 a 上两个点(

27、3) 其她对称 :A, B 关于 l 的对称点 , 在由两点式求出直线的方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点a,b 关于 x 轴对称:a,-b;关于 y 轴对称:-a,b;关于原点对称 :-a,-b;点a,b 关于直线 y=x 对称:b,a;关于 y=-x 对称:-b,-a;关于 y =x+m 对称:b-m 、a+m;关于 y=-x+m 对称:-b+m 、-a+m、x1x2x3y1y2y3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 如Ax1,y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 , 就 ABC的

28、重心 G的坐标就是33.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 各种角的范畴 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线的倾斜角 0180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条相交直线的夹角090两条异面线所成的角090三、椭圆部分1、椭圆定义 : 到两定点距离之与为一常数的平面几何曲线:即 MO1 +MO2 =2a 或定义: 任意一条线段 , 在线段中任取两点 不包括两端点 , 将线段两端点置于这两点处 , 用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆. 从椭圆定义动身得到一个基本结论 : 椭圆上任意一点引出的两个焦半径之与为常数2a.2、

29、椭圆性质 :由于椭圆上任意一点到两点距离之与为常数, 所以从 A 点向焦点引两条焦半径AO1+AO 2=AO 2+O2B=2a这就是由于 AO1=O2B由图形比较瞧出 椭圆的标准方程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222xy1ab 椭圆参数方程 :2x2从圆方程知 :2yR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆方程参数方程源于 :2sin2cos12222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以按上面规律将椭圆方程x y1 视为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x设Rsin得:xabRsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

30、料_yRcosyRcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理椭圆参数方程为 :ay bsincos得:x yasin bcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于两个焦半径与为2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 O1CO2 C2a得: O1CO2 Ca222得: abc22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O1CO2 CO CbO Cccab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 椭圆离心率 , 来源于圆的定义 :圆实际上就是一种特殊的椭圆 , 而圆不过就是两个焦点与坐标圆点重合罢了.c椭圆离心率为 ea四、双曲线

31、部分1、双曲线定义 : 到两定点的距离之差的肯定值为常数的平面几何图形,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 双曲线的标准方程 :即:MO 2MO12a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xy122ab- 8 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的肯定值为常数2a、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2AQ AQ2AQ AQ1AB2aABBQ21AQ1AB2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 双曲线的渐近线 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2222由标准方程知 :b22可

32、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y又yba2 xa22byaxa2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_axaaxa x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yb x a为渐近线,另一条为yb xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以上为渐近线的推导过程.y2a22a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如标准方程为2122x, 那么这时baybyy bbbxy b x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意 y 下面对应 b,x 下面对应 a、 取 x=a 及 x=-a 两条直线 , 它们与渐近线的两个焦点的连线与y 轴的交点称为虚焦点 ,该轴称为虚轴. 推导 a、b、c 之间的关系 :22设双曲线上任意一点坐标 Mx,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MO 2x cy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -