2022年高考数学总复习教案导数在研究报告函数中应用 .docx

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1、精品_精品资料_其次章函数与导数第12 课时导数在争论函数中的应用对应同学用书 文、 理30 32页考情分析考点新知 导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势,应引起足够的重视.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以导数为争论函数的重要工具来解决函数的单调性与最值问题是高考的热点,同时解答题侧重于导数的综合应用,即导数与函 数、数列、不等式的综合应用懂得函数的单调性与导数的关系,能利用导数争论函数的单调性 .把握利用导数求函数极值与最值的方法.会利用导数解决某些实际问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,1. 选修 22P28 例 1 改编 函数 fx x

2、315x2 33x6 的单调减区间为 答案： 1, 11解读： f x 3x2 30x 33 3x 11x 1,由 x 11x 1亦可填写闭区间或半开半闭区间2. 选修 22P34 习题 3 改编如函数 fx ex ax 在 x 1 处取到极值,就 a答案： e解读：由题意, f 10,由于 f xex a,所以 a e.3. 选修 22P34 习题 8函数 y xsinx, x0 , 2 的值域为 答案： 0 , 2 解读：由 y 1 cosx 0,所以函数yx sinx 在0 ,2 上是单调增函数,所以值域为0 , 2 4. 原创 已知函数 fx 错误 .x2 blnx 在区间 错误 .,

3、 上是减函数,就 b 的取值范畴是 答案： ,4解读： f x x错误 . 0 在2 , 上恒成立,即bx2 在2 , 上恒成立5. 选修 22P35 例 1 改编用长为 90cm 、宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻折90 角,再焊接而成,就该容器的高为 cm 时,容器的容积最大 答案： 10解读：设容器的高为xcm,即小正方形的边长为xcm,该容器的容积为V,就 V90 2x48 2xx 4x3 69x2 1080x , 0x 12x 10x 36 ,当0x0.当 10x12 时, V上是减函数,故当 x10 时, V 最大1. 函数的

4、单调性与导数在区间 a, b内,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 假如 f x,0那么函数y fx为该区间上的增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 f x为该区间上的减函数2. 函数的极值与导数1 函数极值的定义如函数 fx在点 x a 处的函数值fa比它在点 x a 邻近其他点的函数值都要小,fa叫函数的微小值如函数 fx在点 x b 处的函数值 fb比它在点 x b 邻近其他点的函数值都要大,fb叫函数的极大值,微小值和极大值统称为极值2 求函数极值的方法解方程 f x 0,当 f 0x 0 时,假如在 x0 邻近左侧单调递增,右侧单调递减,那么fx0是极大值

5、假如在 x0 邻近左侧单调递减,右侧单调递增,那么fx0是微小值3. 函数的最值1 最大值与最小值的概念假如在函数定义域 I 内存在 x0,使得对任意的 x I,总有 fx f0x,就称 fx0 为函数 fx在定义域上的最大值假如在函数定义域 I 内存在 x0,使得对任意的 xI,总有 fx f0x,就称 fx0为函数 fx在定义域上的最小值2 求函数 yfx在a, b 上的最大值与最小值的步骤求函数 y fx在a, b内的极值将函数 y fx的各极值与fa、fb比较,其中值最大的一个是最大值,值最小的一个是最小值4. 生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：错误 .错误 .错误 .错误 .

6、题型 1 导数与函数的单调性例 1已知函数 fx x3 ax 1. 1 如 a3 时,求 fx的单调区间.2 如 fx在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范畴.3 是否存在实数a,使 fx在 1, 1上单调递减？如存在,求出a 的取值范畴.如不存在,说明理由解： 1 当 a 3 时, fxx3 3x 1, f x3x2 3,令 f x即0 3x2 30,解得 x1 或 x的单调增区间为 , 1 1, ,同理可求 fx的单调减区间为 1, 12 fx3x2 a. fx在实数集 R 上单调递增, f x 0恒成立,即 3x2 a0恒成立, a 3x2min. 3x2 的最小值为 0, a0

7、.3 假设存在实数 a 使 fx在 1, 1上单调递减, f x 0在 1,1上恒成立,即 a32x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 3x20 , 3, a 3. 存在实数 a 使 fx在 1, 1上单调递减,且 a3.错误 .1 已知函数 fx 错误 .x2 mlnx m 1x,当 m 0时,试争论函数 fx 的单调性. 2 如函数 fx 错误 .错误 .错误 . blnx 在1, 上是减函数,求实数b 的取值范畴解： 1函数的定义域为 错误 ., f xx 错误 . m 1 错误 . 错误 .当 1,0得 0x1,令 f x,0得 mx的单调递增区间是错误 .和错误 .

8、,单调递减区间是错误 .当 m 1 时,同理可得,函数fx的单调递增区间是 错误 .和错误 .,单调递减区间是错误 . 2由 fx 错误 . 错误 .错误 . blnx ,得 f x x 2 错误 .,由题意,知 f x 即0 错误 . 错误 . 0 在错误 .上恒成立, b错误 .错误 .,当 x错误 . 时, 错误 . 错误 ., b 1.题型 2导数与函数的极值、最值例 2设函数 fx x2 ax bexx R 1 如 a2, b 2,求函数 fx的极大值. 2 如 x 1 是函数 fx的一个极值点试用 a 表示 b.设 a 0,函数gx a2 14ex 4.如 1、2 0, 4 ,使得

9、 |f1 g 2| 1 成立,求 a 的取值范畴解： 1 f x2x aex x2 ax bex x2 2 ax a bex,当 a2, b 2 时, fx x2 2x2ex,就 f xx2 4xex,令 f x0 得x2 4xex0, ex 0, x2 4x 0,解得 x 4 或 x 0, 列表如下：x, 4 44, 000, f x00fxZ极大值微小值Z当 x 4 时,函数 fx取极大值, fx极大值 错误 . 2由1知 f xx2 2axabex. x 1 是函数 fx的一个极值点,f 1 0, 即 e1 2 a a b 0,解得 b 32a. 由 知 f xexx22 ax 3 a

10、exx 1x 3 a,当 a0 时, fx在区间 0, 1上的单调递减,在区间 1, 4上单调递增,函数 fx在区间 0 , 4上的最小值为 f1 a 2e. f0 b 3 2a0, f4 2a 13e4 0,函数 fx在区间 0 , 4上的值域是 f1 , f4, 即 a 2e, 2a 13e4 又 gx a2 14ex 4在区间 0 , 4 上是增函数,且它在区间0 , 4 上的值域是 a2 14e4, a2 14e8 , a2 14e4 2a13e4 a2 2a1e4 a 12e4 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在1、2 0 , 4 使得|f1 g 2| 1 成立

11、只须 a2 14e4 2a 13e41 Ta 12e4 1Ta 12错误 .T 1 错误 . a 1 错误 .错误 .已知函数 fx ax3 bx2 3xa、b R在点 x 1 处取得极大值为 2. 1 求函数 fx的解读式.2 如对于区间 2, 2 上任意两个自变量的值x1、x2,都有 |fx1 fx2 | ,c求实数 c 的最小值解： 1 fx3ax2 2bx3.由题意,得 错误 .即错误 .解得 错误 .所以 fx x33x.2 令f x0,即3x2 3 0,得x 1.x 2 2, 111, 111, 22f xfx 2增极大值减微小值增2由于 f 12 ,f1 2,所以当 x 2, 2

12、 时, fxmax 2, fxmin 2.就对于区间 2 , 2 上任意两个自变量的值x1、 x2,都有 |fx1 fx2| |fxmax fxmin| 4,所以 c4.所以 c 的最小值为 4.题型 3导数在实际问题中的应用例 3请你设计一个包装盒,如下列图,ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A、B、C、D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱外形的包装盒,E、 F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE FBx cm.1 某广告商要求包装盒侧面积Scm2最大,试问 x 应取何值？2 某厂

13、商要求包装盒容积Vcm3最大,试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解： 1 S 6024x2 60 2x2 240x 8x20x,所以 x 15 cm 时侧面积最大2 V 错误 .x2错误 .60 2x 2错误 .x230 x0x, 所以 V 6错误 .x20x,令 V 0,得 x20,当 0x20 时, V 递增.当 20x经猜测,一个桥墩的费用为256 万元,相邻两个桥墩之间的距离均为x,且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为1 错误 .x 万元,假设全部桥墩都视为点且不考虑其他因素,记工程总费用为y 万元1 试写出 y 关于 x 的函数关系式.2 当 m1 280M 时,

14、需要新建多少个桥墩才能使y 最小？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依据题意,需要建错误 .个桥墩和 错误 .段桥面工程1 y 256错误 . 错误 .1 错误 .x m错误 . m 256错误 .2 当 m1 280 时, y 1 280错误 . 1 536, y 1 280错误 . ,令 y 0,得 x64,当 0x64 时, y 64 时, y 0.所以当 x 64 时, y 有最小值 16 896,此时要建 21 个桥墩 答：需要建 21 个桥墩才能使y 最小【示例】 此题模拟高考评分标准,满分14 分已知函数 fx lnx axa R 1 求函数 fx的单调区间.2

15、 当 a0 时,求函数 fx在1 , 2 上的最小值审题引导： 知函数解读式求单调区间,实质是求f x,0f x在1, 2 上的单调性,再确定最值是端点值仍是极值. 由于解读式中含有参数a,要对参数 a 进行分类争论 规范解答： 解： 1 f x错误 . ax01 分当 a0时, fx错误 . a0,即函数 fx的单调增区间是 0, 3 分当 a0 时,令 f x 错误 .a 0,得 x错误 .,当 0x错误 .0,当 x错误 .时, f x 错误 .的单调增区间是 错误 .,单调减区间是 错误 .6 分 2当错误 . 1,即 a1时,函数 fx在区间 1, 2 上是减函数,所以 fx的最小值

16、是 f2 ln2 2a.8 分当 错误 . 2,即 0在区间 1 , 2 上是增函数, 所以 fx的最小值是 f1 a.10 分当 1错误 .2,即错误 . a在区间 错误 .上是增函数,在区间 错误 . 上是减函数,又 f2 f1ln2 a,所以当 错误 .a a. 当 ln2 a ln2 2a.12 分 综上可知,当 0a1. 2022 新课标 如存在正数 x 使 2xx a解读：由于2xx ax 错误 .,令 fx x错误 .,所以 f x 12 xln20,所以 fx在0, 上单调递增,所以fxf0 0 1 1,所以a 的取值范畴是 1 ,2. 2022 大纲 如函数 fx x2 ax

17、 错误 .在错误 .上是增函数,就 a 的取值范畴是 答案： a3解读： f x 2x a 错误 . 0 在错误 .上恒成立,即a错误 . 2x 在错误 .上恒成立令 gx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 错误 . 2x,求导可得 gx在错误 .上的最大值为 3,所以 a3.3. 2022 扬州期末 已知函数 fx lnx 错误 .m R在区间 1 , e 上取得最小值4,就 m 答案： 3e解读： f x 错误 . 错误 . 错误 .,令 f x 0,就 x m,且当 x单调递减,当 xm 时, f x0, fx单调递增如 m1,即 m1 时, fxmin f1 m1 ,不行

18、能等于 4 .如 1 me,即 e mmin f mln m1 , 令 ln m 1 4,得 m e3 e, 1.如 me,即 mmin fe1 错误 .,令 1 错误 . 4,得 m 3e,符合题意综上所述, m 3e.4. 2022 南京二模 设函数 fx x2 a 2x alnx. 1 求函数 fx的单调区间.2 如函数 fx有两个零点,求满意条件的最小正整数a 的值.3 如方程 fx c 有两个不相等的实数根x1、x2,求证： f 错误 .0. 1 解： f x2x a 2 错误 .错误 . 错误 .x0当 a0时, f x0,函数 fx在0, 上单调递增,所以函数 fx的单调增区间为

19、 0, 当 a0 时,由 f x,0得 x错误 .由 f x,0得 0x的单调增区间为 错误 .,单调减区间为 错误 . .2 解：由 1得,如函数 fx有两个零点,就a0,且 fx的最小值 f错误 .0,即 a24a 4aln 错误 .0,所以 a 4ln错误 . 40.令 ha a 4ln 错误 . 4,明显 ha 在0, 上为增函数,且h2 2 4ln错误 . 1 ln错误 . 10,所以存在 a02, 3, ha0 0.当 aa0 时, ha0.当 0a 32ln30, f1 0,所以 a 3 时, fx有两个零点 综上所述,满意条件的最小正整数a 的值为 3.3 证明：由于x1、x2

20、 是方程 fx c 的两个不等实根,由 1知 a0.不妨设 0x1x1 alnx1c, x错误 . a 2x2 alnx2 c.两式相减得 x错误 . a 2x1 alnx1 x错误 . a 2x2alnx2 0,即 x错误 . 2x1x错误 . 2x2 ax1 alnx1 ax2 alnx2ax1 lnx1 x2 lnx2 所以 a 错误 .由于 f 错误 . 0,当 x 错误 .时, fx0, 故只要证 错误 .错误 .即可,即证明 x1 x2错误 .,即证明 x错误 . x错误 . x1x2lnx1 lnx2x错误 . 2x1 x错误 . 2x2, 即证明 ln错误 .错误 .设 t 错

21、误 .0t 令 gt lnt 错误 .,就 g t错误 . 错误 . 错误 . 由于 t0 ,所以 gt ,0当且仅当 t 1 时, g t 0,所以 gt在0, 上是增函数又 g1 0,所以当 t 0, 1, gt上有且仅有一个解,那么实数a 的取值范畴为答案： a0或 a 2解读：由 ax 错误 . 3,得 a 错误 . 错误 .令 t 错误 .,就 ft 3t t3 , t 0, 用导数争论 ft 的图象,得 fmaxt 2,当 x 0, 1时, ft 递增,当x1, 时, ft递减,所以 a0或 a2.2. 已知函数fx lnx 错误 .,如函数fx在 0 , 上为增函数,就a 的取值

22、范畴是 答案： a2解读： f x 错误 . 0 在0, 上恒成立,易得 a2.3. 设直线 y a 分别与曲线 y2 x 和 y ex 交于点 M 、N,就当线段 MN 取得最小值时 a 的值为答案： 错误 .解读：由题意, Ma2 , a, Nlna,a,故 MN 的长 l |a2 lna| a2 lnaa0, 由 l 2a 错误 . 错误 . 错误 .,令 l ,0得 l a2 lna 在错误 .上单调递增.令 l ax2 xex,其中 e 是自然数的底数,a R. 1 当 a0.2 如 fx在 1,1 上是单调函数,求a 的取值范畴.3 当 a0 时,求整数 k 的全部值,使方程fxx

23、 2 在k, k1 上有解 解： 1 由于 ex0,所以不等式fx0 即为 ax2 x0.又 a0,所以不等式可化为x错误 .0 的解集为 错误 . . 2 fx2ax 1ex ax2xex ax2 2a 1x1ex ,当 a 0 时, f x x 1ex, f x 0在 1, 1 上恒成立,当且仅当x 1 时取等号,故 a 0 符合要求.当 a0时,令 gx ax2 2a 1x 1,由于 2a 124a 4a2 10,所以 gx 0有两个不相等的实数根 x1、x2,不妨设 x1x2,因此 fx有极大值又有微小值如 a0,由于g 1g0 a在 1, 1内有极值点,故 fx在 1, 1上不单调如

24、 a0x2,由于 gx的图象开口向下,要使 fx在1, 1 上单调,由于 g0 10,必需满意 错误 .即错误 . 所以 错误 . a0.综上可知, a 的取值范畴是 错误 .3 当 a0 时, 方程即为 xex x2,由于 ex0,所以 x0 不是方程的解,所以原方程等价于 ex 错误 . 1 0.令 hx ex错误 . 1,由于 hx ex错误 . 0 对于 x ,0 0, 恒成立,所以 hx 在 , 0和0, 内是单调增函数,又h1 e3 e2 20, h 3 e 3 错误 . e 20,所以方程 fx x 2 有且只有两个实数根,且分别在区间1 , 2和 3, 2 上,所以整数 k 的

25、全部值为 3, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 在已知函数fx是增函数 或减函数 ,求参数的取值范畴时,应令f x 或 0f x 恒成0立,解出参数的取值范畴一般可用不等式恒成立的理论求解,然后检验参数的取值能否使f 恒x等于 0,如能恒等于 0,就参数的这个值应舍去.如f 不x恒为 0,就参数范畴确定2. 懂得可导函数极值与最值的区分,极值表示函数在一点邻近的情形,是在局部对函数值的比较.函数的最值是表示函数在一个区间上的情形,是对函数在整个区间上的函数值的比较,故函数的最值可能是极值,也可能是区间端点的函数值3. 用导数求解实际问题中的最大小值,假如函数在区间内只有一个极值点,那么依据实际意义该极值点就是最值点请使用课时训练 A第 12 课时 见活页 备课札记 可编辑资料 - - - 欢迎下载