2022年高二数学人教版必修五《正弦定理》教案2.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学目标11 正弦定理（教学设计）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1学问与技能 : 通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理的内容及其证明方法.会运用正弦定理与三角形内角和定懂得斜三角形的两类基本问题.2.过程与方法 : 让同学从已有的几何学问动身, 共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导同学通过观看,推导,比较,由特别到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作.3情态与价值：培育同学在方程思想指导下

2、处懂得三角形问题的运算才能.培育同学合情推理探究数学规律的数学思思想才能,通过三角形函数、正弦定理、 向量的数量积等学问间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重、难点重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用.难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判定解的个数.学法与教学用具可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学法：引导同学第一从直角三角形中揭示边角关系：abc,接着就一般斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin C三角形进行探究,发觉也有这一关系.分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让同学发觉向量学问的简捷,新奇.教学过程：一

3、、创设情形、新课引入如图 1 1-1 ,固定ABC的边 CB及B,使边 AC围着顶点C 转动.A摸索：C 的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？明显,边AB的长度随着其对角C 的大小的增大而增大.能否用一个等式把这种关系精确的表示出来？CB二、新课讲解：图 1 1-1在中学, 我们已学过如何解直角三角形,下面就第一来探讨直角三角形中,角与边的等式关系.如图1 1-2 ,在 RtABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c,依据锐角三角函数中正弦函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的定义,有acsinA, bcsinB ,又 sin Cc1c ,A可编辑资料 - - -

4、欢迎下载精品_精品资料_就abccbcsin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而在直角三角形ABC中,abcCaB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin C 图 1 1-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_摸索：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍旧成立？（由同学争论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情形：如图 11-3 ,当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,依据任意角三角函数的ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义,有CD=asinBbsinA, 就sin Asin

5、B ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可得cb,ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Csin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而abcsin Asin Bsin CAcB图 1 1

6、-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_摸索：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来争论这个问题.（证法二）：过点 A 作 jAC,C由向量的加法可得ABACCB就jABj ACCBAB jABjACjCBj00jAB cos 90A0j CB cos 90C csin Aasin C ,即ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理,过点C 作 jBC ,可得sin AbcsinC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin BsinC从而abcsin Asin Bsin C类似可推出,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍旧成

7、立.（由同学课后自己推导）从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理： 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 懂得定理 sin AsinBsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在正数k 使 ak sinA , bk sinB , ck sin C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）abc等价于abcbac,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin A

8、sinB sin Csin Asin Bsin Csin Bsin Asin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如bsin Aasin B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin Aa sin B .b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形 . 例题分析 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -

9、第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1（课本例题） 在ABC 中,已知解：依据三角形内角和定理,A32.00 , B81.80 , a42.9 cm,解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1800AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_180032.00

10、81.80 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_66.20 . 依据正弦定理,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b asin B sin A42.9sin81.80sin32.0080.1cm .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据正弦定理,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c asin C sin A42.9sin66.274.1cm.sin32.00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评述：对于解三角形中的复杂运算可使用运算器.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式训练1： 已知在ABC中, c10, A4

11、50 ,C300 ,求a,b和B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：c10, A450 , C300可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ B180 0 AC 105 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由ac得a csin A10sin 4500102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin C由bc得sin Csin 30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Bb c

12、sin B sin Csin C10sin1050sin 30 0020 sin 75206256524可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2（课本例题）在ABC 中,已知 a确到 10 ,边长精确到1cm）.解：依据正弦定理,20 cm, b28 cm, A400 ,解三角形（角度精可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Bbsin Aa28sin40 0200.8999.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 00 B 1800 ,所以 B640 ,或 B1160.可编辑资料 - - - 欢迎下载

13、精品_精品资料_ 当 B640 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1800 AB180040 0640 760 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c asinC sin A20sin76 0sin40 030cm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 B1160 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1800 AB180040 01160 240 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

14、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_casinC sin A20sin24 0sin40 013cm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评述：应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形.变式训练2：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

15、资料_（1） 在ABC 中, b3, B600 , c1,求a和A, C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）在ABC中, c6 , A45 0 , a2, 求b和B ,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）b sin Bc,sin Csin Ccsin B b1sin 600132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bc, B060 ,CB, C为锐角,C0030, B90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ab2c22可编辑资料

16、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）a sin Ac,sin Csin Cc sin A a6sin 450322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c sin Aac,C600 或120 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当C60 0时, B750 ,bc sin B sin C6 sin 750sin 60031 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当C120 0时, B15 0 , bcsin B6 sin 15031可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Csin 60 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

17、b31, B750 , C60 0 或 b31, B150 , C120 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3： 已知ABC中,A600 , a3 , 求abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：可通过设一参数kk0 使abck ,sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明出abcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin BsinC sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

18、解：设absin Asin Bck ko sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 ak sinA , bk sinB , ck sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而abc= k sin Ak sinBk sinC = k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin Csin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又a32k ,所以abc=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin60 0sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

19、料_评述：在ABC中,等式abcabckk0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin Csin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_恒成立.变式训练3：已知ABC中, sinA:sinB:sinC1:2:3,求 a: b: c

20、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答案： 1： 2：3）例 4：在 ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为a、b、c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：三角形面积S1 ab sinC1 bcsin A1 acsin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC（记忆：两边夹角正弦值的一半）222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_附：（课本 P8 探究与发觉的分析）已知 a, b和 A,用正弦定理求 B 时的各种情形 :如 A 为锐角时 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab sin AabsinA无解一解直角可

21、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bsinAab二解一锐, 一钝ab一解锐角已知边 a,b 和ACCCCbabbba aaaAAAAHBB1HB2HB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aCH=bsinA无解a=CH=bsinA仅有一个解CH=bsinAab有两个解a b仅有一个解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 A 为直角或钝角时 :aab无解b一解锐角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、课堂小结（1）定理的表示形式：abcabckk0.可

22、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin Csin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 ak sinA, bk sinB , ck sinC k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）正弦定理的应用范畴：已知两角和任一边,求其它两边及一角.已知两边和其中一边对角,求另一边的对角.四、课时必记： （优化设计P1 学问拓展）正弦定理： 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_径）五、分层作业：A 组：sin Asin BsinC =2R（ 其中 R指的

23、是三角形外接圆的半可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 在 ABC中, sin 2A=sin 2B+sin 2C,就 ABC为AABC等边三角形D等腰三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在 ABC中,已知角 B045 ,c22, b43 , 就角 A 的值是（

24、D ）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A15B75C105D75或 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3如 sin AcosBcosC, 就 ABC是（C）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abcA等边三角形B有一内角是 30 C等腰直角三角形D有一内角是 30的等腰三角形4、tb0146101 已知ABC 中, a=50, b=256 , A=45 0,求 B.（答： 600 或 1200）5、tb0146102 在ABC 中,已知a=3 ,b=2 ,B=45 0,求角 A 、C 和边 c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答

25、： A=60 0, C=750,c=62 或 A=120 0, C=15 0,c=262 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B 组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、在 ABC中,a : b : c1:3 : 2 ,就A : B : C 等于（A）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCD152、tb4800310 已知在ABC 中,三内角正弦之比为4：5： 6,又周长为,求三边长.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（略解： 2, 52, 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 组：1、tb4800302 已知

26、ABC, B为 B 的平分线,求证：AB BC A C（备注：内角平分线定理）分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内争论问题,而 B 的平分线 BD将 ABC分成了两个三角形： ABD与 CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式： AB ADBCDC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的 正弦值 的 比,故 可利用正弦定理将 所证连续转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABADBC,DC,再依据相等角正弦值相等, 互补角正弦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin ABDsin ABDsin BDCsin DB C可编辑资料

27、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值也相等即可证明结论证明：在 ABD内,利用正弦定理得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABADAB即sinADB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinADBsinABDADsinABD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精

28、编优秀教案在 BCD内,利用正弦定理得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCsin BDCDCsin DBC,即 BCDCsin BDC . sin DBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BD是 B 的平分线 ABD DBC sin ABDsin DBC ADB BDC180 sin ADBsin （180 BDC） sin BDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ABAD ABBCsin ADBsin ABD ADDCsin BDCBCsin DBCCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评述： 此题可以启示同学利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且留意互补角的正弦值相等这一特别关系式的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载