2022年高等数学上册-知识点总结精编版.docx

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1、精品_精品资料_高等数学 同济第七版 上册-学问点总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一.函数的概念1. 两个无穷小的比较第一章 函数与极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 limf x0, limg x0 且 limf xl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） l = 0,称f x是比 gx 高阶的无穷小,记以 f x = 0是比fx低阶的无穷小.（ 2） l 0 ,称f x与gx 是同阶无穷小.（ 3） l = 1,称f x与gx 是等

2、价无穷小,记以 f x gx2. 常见的等价无穷小当x 0时g x ,称 gx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xsin x x,tan x x, arcsin x x, arccos x x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1-cos x x 2 / 2 ,e - 1 x , ln1x x , 1x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 求极限的方法1. 两个准就准就 1.单调有界数列极限肯定存在准就 2. （夹逼定理）设 g x f x h x可编辑

3、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 limg xA, limh xA ,就limf xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 两个重要公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式 1 limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式 2 lim 1x1/ xe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x03. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换4. 用泰勒公式当 x0 时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ex1xx 2.x.

4、x3n3.n.oxn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3sin xx3.x5.5. 1nx2n 2n11.o x2 n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cos x1x 2.x.44.1nx2 n2n.ox2 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ln1xxx3x .n21n 1 xo xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x231x2.x3x51 x.nx2n 11.n.n1 xnno x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

5、_精品资料_arctan xx3.5 1n 12n1ox2n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 洛必达法就 定理 1设函数f x 、 F x 满意以下条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）lim f x0 , limF x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）f x 与 F x 在 x0 的某一去心邻域内可导,且F x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）limf x存在（或为无穷大）,就limf

6、xlimf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0 F xxx 0F xxx0 F x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个定理说明：当limf x存在时,limf x也存在且等于limf x .当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0 F xxx0F xxx0 F x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf x为无穷大时,limf x也是无穷大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0 F xxx 0F x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这种在肯定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值

7、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的方法称为洛必达（型未定式L H ospital）法就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 2设函数 f x 、 F x 满意以下条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）lim f x, limF x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）f x 与 F x 在 x0 的某一去心邻域内可导,且F x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）limf x存在（或为无穷大）,就limf xlimf x可编辑资料 - -

8、 - 欢迎下载精品_精品资料_xx0 F xxx 0F xxx0 F x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：上述关于 x同样适用x0 时未定式型的洛必达法就,对于 x时未定式型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_使用洛必达法就时必需留意以下几点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 洛必达法就只能适用于“ 00”和“”型的未定式,其它的未定式须可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先化简变形成“ 00”或“”型才能运用该法就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 只要条件具

9、备,可以连续应用洛必达法就.（3） 洛必达法就的条件是充分的,但不必要因此,在该法就失效时并不能肯定原极限不存在6. 利用导数定义求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本公式limx0f x0xf x0 xf x 假如存在）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_07. 利用定积分定义求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本格式lim 1f k 1f xdx （假如存在）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn k 1n0三函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1） ）第一类间断点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设

10、x0是函数 y = f x 的间断点.假如 f x 在间断点x0 处的左、右极限都存在,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就称 x0是 f x 的第一类间断点.左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点. 左右极限不存在为跳动间断点. 第一类间断点包括可去间断点和跳动间断点.（2） ）其次类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为其次类间断点.常见的其次类间断点有无穷间断点和振荡间断点.四闭区间上连续函数的性质在闭区间 a,b 上连续的函数 f x ,有以下几个基本性质.这些性质以后都要用到.定理1（有界定理）假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续,就 f x 必在

11、a,b 上有界.定理2（最大值和最小值定理）假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续,就在这个区间上肯定存在最大值 M 和最小值 m .定理3（介值定理）假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续,且其最大值和最小值分别为M 和m ,就对于介于 m和M 之间的任何实数 c,在 a,b 上至少存在一个 ,使得f =c推论：假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续,且 f a 与f b 异号,就在 a,b内至少存在一个点 ,使得f =0这个推论也称为零点定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次章 导数与微分一基本概念1可微和可导等价,都可以推出连续,但是连续不能推出可微和可导.

12、二求导公式三常见求导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 复合函数运算法就2. 由参数方程确定函数的运算法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设x = t ,y =t 确定函数 y = y x ,其中t,t 存在,且t 0,就 dydx t t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 反函数求导法就设y = f x 的反函数 x = g y ,两者皆可导,且 f x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 g y1f x1f g yf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 隐函数运算法就设y = y x 是由方程 F

13、 x,y = 0 所确定,求 y的方法如下：把F x, y = 0两边的各项对 x求导,把 y 看作中间变量,用复合函数求导公式运算,然后再解出 y 的表达式（答应显现 y 变量）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 对数求导法就（指数类型 如 yxsin x ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y.对数求导法主要用于： 幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数（留意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域. 关于幂指函数 y = f x g x常用的一种方法 , y =就可以直接用复合函数运算法就进行.6

14、. 求n阶导数（ n 2 ,正整数）eg x ln f x 这样可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先求出 y,y, , 总结出规律性,然后写出 y n ,最终用归纳法证明.有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ） yex , y nex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） yax , y n ax lnan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ）（4） ）ysin x ,ycos x ,yn

15、 y nsin xn 2cosxn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5yln x ,yn 1 n1n1. x n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三章微分中值定理与导数应用一 . 罗尔定理设函数 f x 满意（ 1）在闭区间 a,b 上连续.（ 2）在开区间 a,b 内可导.（ 3） f a =f b就存在 a,b ,使得 f =0二 拉格朗日中值定理设函数 f x 满意（ 1）在闭区间 a,b 上连续.（2）在开区间 a,b 内可导.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就存在 a,b ,使得f bb

16、f aaf 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论1如f x 在 a,b 内可导,且 f x 0,就f x 在 a,b 内为常数.推论2如f x , g x在 a,b内皆可导,且f x g x ,就在 a,b 内f x= g x+ c,其中c为一个常数.三 . 柯西中值定理设函数f x 和g x 满意：（1）在闭区间 a,b 上皆连续.（ 2）在开区间 a,b 内皆可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导. 且g x 0就存在 a,b 使得f bf af ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g bg ag 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

17、_（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特别情形g x =x 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理. ）四. 泰勒公式（ 估值 求极限（麦克劳林） ）定理 1（皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式）设f x 在0 x 处有n 阶导数,就有公式, 称为皮亚诺余项定理2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式）设f x 在包含 0 x 的区间 a,b 内有n +1阶导数,在 a,b 上有n阶连续导数,就对 x a,b , 有公式, 称为拉格朗日余项上面绽开式称为以 0x 为中心的 n 阶泰勒公式. 当 x0 =0 时,也称为 n阶麦克劳林可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式.常用公式 前8个

18、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五导数的应用一基本学问设函数f x 在x0 处可导,且x0为f x 的一个极值点,就f x0 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们称x 满意f x0 0 的 x0称为 fx 的驻点,可导函数的极值点肯定是驻点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反之不然.极值点只能是驻点或不行导点, 所以只要从这两种点中进一步去判定.极值点判定方法1. 第一充分条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 在x0 的 邻

19、域 内 可 导, 且 f x0 0 , 就 如 当 xx0 时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 ,当 xx0 时, f x0 ,就x0 为极大值点. 如当 xx0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 ,当 xx0 时, f x0 ,就x0 为微小值点.如在x0 的两侧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 不变号,就 x0 不是极值点 .2. 其次充分条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 在x0 处二阶可导,

20、且 f x00 , f x0 0 ,就如 fx0 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x0 为极大值点.如f x00 ,就x0 为微小值点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 泰勒公式判别法（用的比较少,可以自行百度）二. 凹凸性与拐点1凹凸的定义设f x 在区间I 上连续,如对任意不同的两点 1 2 x , x ,恒有就称f x在I上是凸（凹）的.在几何上,曲线 y = f x上任意两点的割线在曲线下（上）面,就y = f x是凸（凹）的.假如曲线 y = f x 有切线的话, 每一点的切线都在曲线之上

21、 （下） 就y = f x是凸（凹）的.2. 拐点的定义曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点.3. 凹凸性的判别和拐点的求法设函数f x 在 a,b 内具有二阶导数 f x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如在 a,b 内的每一点 x,恒有f x0,就曲线 y = f x 在 a,b 内是凹的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如在 a,b 内的每一点 x,恒有 f x 0,就曲线 y = f x 在 a,b 内是凸的.求曲线y = f x 的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数 f x .其次步：求出访二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x1,x2,.xk

22、.第三步：对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数的符号,假如符号不同,该点就是拐点的横坐标.第四步：求出拐点的纵坐标.三渐近线的求法四曲率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第四章 不定积分一基本积分表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tgxdx ctgxdxln cosxCln sin xCdxcos2 x dxsec22xdxtgxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_secxdxln secxtgxCsin 2 xcscxdxctgxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cscxdxln cscxctgxCsecxtgxdxsecxC可

23、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxa2x21 arctg xC aacsc xa x dxctgxdx axCcsc xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxx2a2dxa2x21 ln xaC 2axa1 ln axC 2aaxshxdx chxdxln achxCshxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxa2x2arcsin xCadxx2a2ln xx2a 2 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nIsin n0xdx2cosn0xdxn1In 2n可编辑资料 - - - 欢

24、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2a 2 dx22xx 2a2 2x22aln x 22a 2x2a 2 C22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa dxxa 2xln xxaC2a 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2x2 dxa 2x22arcsinC2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二换元积分法和分部积分法换元积分法（1） ）第一类换元法（凑微分） ：f x xdxf uduu x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

25、- - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）其次类换元法（变量代换） ：f xdxf t (t) dtt1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分部积分法udvuvvdu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_使用分部积分法时被积函数中谁看作u x谁看作v x 有肯定规律.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记住口诀,反对幂指三为u x,靠前就为ux,例如ex arcsin xdx ,应当是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arcsin x 为ux ,由于反三角函数排在指数函数之前,同理可以推出其他.

26、三有理函数积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有理函数：f xP xQ x,其中P x和Q x是多项式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简洁有理函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xP x ,f xP x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x f x1xP x xa xbP x xa 2b1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、“拆”.2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第五章定积分一概念与性质1、定义：af x dxlim0f i xii12

27、、性质：（10 条） 3 bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 基本定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变 上 限 积 分 ： 设 xxaf t dt, 就 xf x推 广 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d xfdx xtdtf xxf x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NL 公式：如F x 为f x的一个原函数,就bf x dxaF bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 定积分的换元积分法和分部积分

28、法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二定积分的特别性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第六章定积分的应用一 平面图形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 直角坐标： Ab f 2 xaf1 x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 极坐标： A121222 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 体积1. 旋转体体积：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a) 曲边梯形 yf x, xa, xb, x轴,绕 x 轴旋转而成的旋转可编辑资料 - - -

29、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_体的体积： Vxbf 2 x dxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b) 曲边梯形 yf x, xa, xb, x轴,绕 y 轴旋转而成的旋转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三. 弧长体的体积： Vyb2 xfa xdx（柱壳法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 直角坐标： s222. 参数方程： sb1fa t x 22 dx2

30、 t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极坐标： sd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第七章微分方程一 概念1. 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所显现的未知函数的最高阶导数的阶数.2. 解：使微分方程成为恒等式的函数 . 通解：方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同 . 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.(1). 变量可分别的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g ydy(2). 齐次型方程f xdx ,两边积分g ydyf

31、 xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dyydx x ,设udxxydyx ,就 dx xdxux du dx .dv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 dy y ,设 vy ,就 dyvy dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3). 一阶线性微分方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dyP x y dxQx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用常数变易法或用公式： yP x dxeQ xeP x dxdxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4). 可降阶的高阶微分方程可编辑资料 - - -