2022年高等数学下知识点总结.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数1、二次曲面x 2y 2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 椭圆锥面：a 2x 2b 2y 2z 2x 2y 2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 椭球面：a 2b 2x 2y 21 旋转椭球面：1c 2a 2a 2c 2z 2x 2y 2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223） 单叶双曲面：ab1 双叶双曲面：c 2a 21b 2c 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2

2、x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224） 椭圆抛物面：abz 双曲抛物面（马鞍面） ：z a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 25） 椭圆柱面：26） 抛物柱面：xay1 双曲柱面：1a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）平面及其方程1、点法式方程：A xx0B yy 0 C zz0 0法向量： n A, B, C ,过点 x0 , y0 , z0 2、一般式方程：AxByCzD0xyz截距式方程：1abc可编辑资料 - - - 欢迎

3、下载精品_精品资料_3、两平面的夹角：n1 A1 , B1 ,C1 , n2 A2 , B2 , C2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA1A2B1B2C1C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC222111222ABC222A1B1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12A1 A2B1B2C1C20.1 /2A2B2C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、点P0 x0 ,y0 ,z0 到平面AxByCzD0 的距离：可编辑资

4、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax0dBy0Cz0D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2B2C 2（三） 空间直线及其方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、一般式方程：A1 x A2 xB1 y B 2 yC 1 z

5、C 2 zD 10D 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、对称式（点向式）方程：x x0my y0nz z0p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方向向量：s m, n, p ,过点 x 0 ,y0 ,z0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两直线的夹角：s1m1 , n1,p1 , s2m2 , n2, p2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosm1 m222n1 n22p1 p2

6、222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m1n1LLm mp1m2n2n np pp20.L/ Lm1n1p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212121212mnp222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAmBnCpA 2B 2C 2m 2n 2p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_L /AmBnCp0.LABCmnp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第九章多元函数

7、微分法及其应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、连续：limf x, yf x0 ,y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x, y 2、偏导数： x0 , y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x , y limf x0x, y0 f x0 ,y0 . f x , y limf x0 , y0yf x0 ,y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x00x0xy00y0y3、方向导数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ff coslxf cos y其中,为 l 的方

8、向角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、梯度： zf x, y,就 gradf x0 ,y0 f x x0 , y0 if y x0 , y0 j .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、全微分：设zf x, y,就 dzz dxz dyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一） 性质1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第

9、2 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导数连续函数可微充分条件必要条件偏导数存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4定义23函数连续2、微分法1）复合函数求导：链式法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 zfu, v, uu x,y, vvx,y ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zzuzv,xuxvxzzuzvyuyvy可编辑资料 - - - 欢迎下

10、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二） 应用1） 求函数 zf x, y的极值解方程组fx0f y0求出全部驻点,对于每一个驻点x0 , y0 ,令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A f xx x0 , y0 , Bf xy x0 , y0 , Cf yy x0 , y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如 ACB 20 , A0 ,函数有微小值,如ACB20 , A0 ,函数有极大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

11、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 ACB 0 ,函数没有极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 ACB 20 ,不定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、几何应用1） 曲线的切线与法平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x曲线:y zx t y t z t ,就上一点M x0 , y0 , z0 （对应参数为t 0 ）处的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0切线方程为：y y0z z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x t0 y t0 z t0

12、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法平面方程为：x t 0 xx0 y t0 yy0 z t 0 zz0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 曲面的切平面与法线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲面: F x

13、, y , z 0 ,就上一点M x0 , y0 , z0 处的切平面方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Fx x0 ,y0 , z0 xx0 Fy x0 , y0 , z0 yy0 Fz x0 , y0 , z0 zz0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法线方程为：x x0y y0z z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Fx x0 , y0 , z0 Fy x0 , y0 , z0 Fz x0 , y0 , z0 可编辑资料 - - - 欢迎下

14、载精品_精品资料_第十章重积分（一） 二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：D2、运算：f x, y dnlimf k ,k k 0 k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 直角坐标1 xy2 xb2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D x, yaxb,f x,Dydxdydxfa1 x x,yd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Dx, y1 ycx2 yyd,f x, ydxdyDd2 y

15、 dyc1 y f x,yd x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 极坐标12 f x, yd xdyd2 f cos,sind可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D,D1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二） 三重积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：f x, y, z d vnkklimf ,0k 1k vk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、运算：1） 直角坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x,y, z d vd xd yz2 x,

16、 yz1 x, yf x, y, zd z-“ 先一后二 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Df x, y, z d vbd zaDZf x, y, zdx d y-“ 先二后一 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 柱面坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x cosy sin,z zf x, y, zd vfcos,sin, zdddz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 球面坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - -

17、- -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x r sincosy r sinsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z r cosf x, y, zd vfr sincos,rsinsin, r2cosrsindrdd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三） 应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲面 S : zf x, y, x, yD 的面积：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

18、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1Dz2xz 2yd xd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第十一章曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：f x, ydsLnlimf i ,i si0 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设f x,xy 在 曲 线 弧 L 上 有 定 义 且 连 续 , L 的参数 方 程为yt ,tt , , 其 中t ,t 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

19、精品资料_,上具有一阶连续导数,且2 t 2 t 0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x,Lydsft ,t 2 t2 t dt,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二） 对坐标的曲线积分1、定义：设L为 xoy 面内从A 到 B 的一条有向光滑弧,函数P x, y , Q x,y 在L 上有界,定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x,Ly d xnlimP k ,k 0 k 1xk ,Q x,Ly d ynlimQ k ,k 0k 1y k

20、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量形式：Fd rLP x,Lyd xQ x, yd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、运算：设 P x, y , Q x, y 在有向光滑弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x t ,y t ,t : ,其中t ,t 在 , 上具有一阶连续导数,且2 t 2 t 0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x, y dLxQ x,yd y Pt , t tQ

21、t ,t t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两类曲线积分之间的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设平面有向曲线弧为L ：, L 上点 x,y 处的切向量的方向角为：,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2tt 2ty, cost 2tt

22、 2,t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就PdxQdyL P cosLQ cosds .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三） 格林公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、格林公式：设区域D 是由分段光滑正向曲线L 围成,函数Px, y ,Q x, y 在 D 上具有连续一阶偏导数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QP就有Dxyd xd yPdxLQd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

23、品_精品资料_2、 G 为一个单连通区域,函数Px, y ,Q x, y在 G 上具有连续一阶偏导数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QP就曲线积分xyPdxQdy 在 G 内与路径无关L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（四） 对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面,函数f x, y, z 是定义在上的一个有界函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义f x, y, z dSnlimf i ,i ,0i

24、1i Si可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、运算：“一单二投三代入”: zz x, y , x, yD xy ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x,y, z d S22D x yf x, y, z x, y1zx x, yzy x, y dxd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（五） 对坐标的曲面积分1、定义：设为 有 向 光 滑 曲 面 , 函 数P x, y, z, Q x, y, z, R x, y, z是 定 义 在上 的 有 界 函 数 , 定 义可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Rx, y, zd xdynlimRi ,i ,0i 1i Si xy 同理,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Px, y, zd ydznlimPi ,i ,0i 1i Si yz.Q x, y, zd zdxnlimRi ,0 i 1i ,i Si zx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）12 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

26、学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRd xdyPdydzQdzdxRd xdy12运算：“ 一投二代三定号”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_: zz x, y, x, yD xy , zz x, y 在D xy上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,Rx, y, z在上 连 续 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

27、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Rx, y, zd xdyR x, y, zx, ydxdy ,为上侧取“ +”,为下侧取“ - ”.Dx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两类曲面积分之间的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Pd yd zQ d zd xRd xd yP cosQcosRcosd S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中,为有向曲面在点 x, y, z 处的法向量的方向角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（六） 高斯公式可编辑资料

28、- - - 欢迎下载精品_精品资料_1、高斯公式： 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 ,的方向取外侧 ,函数P, Q, R 在上有连续的一阶偏导数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有PQRxyzd xd y d zP d y d zQ d z d xRdx d y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或PQxyRd x d y d z zPcosQcosRcosd S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、通量与散度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

29、品资料_通量：向量场AP, Q, R 通过曲面指定侧的通量为：Pd yd zQdzdxRdxd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_散度：divAPQRxyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（七）斯托克斯公式1、斯 托 克 斯 公式 ：设 光 滑 曲面的 边 界是 分 段 光 滑 曲 线 ,的 侧 与的正向符合右手法 就,P x, y, z, Q x, y, z, R x, y, z 在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_RQd yd zyzP R d zd

30、 xz xQ Pd xd yxyP d xQ d yRd z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为便于记忆 ,斯托克斯公式仍可写作:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d yd zx Pd z d xy Qd x d yz RP d xQ d yRd z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、环流量与旋度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_环流量：向量场A P,Q, R沿着有向闭曲线的环流量为P d xQ d yR d z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -