2022年高考抛物线专题做题技巧与方法总结 .docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点梳理：高考抛物线专题做题技巧与方法总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质p0 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准方程2y2pxy 22 pxx 22 pyx 22 py可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图形y yyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxOxOOO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点准线xF p2p 2,0F p 2xp2,0F 0, p2yp

2、2F 0,p 2yp2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_范畴x0, yRx0, yRxR, y0xR, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称轴x 轴y 轴顶点（0,0）离心率e12. 抛物线的焦半径、焦点弦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y 22 px p0 的焦半径 PFx P ; x222 py p0 的焦半径 PFy P .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 过焦点的全部弦中最短的弦,也被称做通径. 其长度为 2p.p 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

3、AB 为抛物线 y22 px 的焦点弦,就xA xB, y Ay Bp ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB |= x AxBp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. y22px的参数方程为2x 2 pty 2 pt（ t 为参数）,x 22 py 的参数方程为x 2 pty 2 pt2 （ t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为参数） .重难点突破重点:把握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通过方程争论抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的运算与论证重难点:环绕焦半径、

4、焦点弦,运用数形结合和代数方法争论抛物线的性质1.要有用定义的意识问题 1：抛物线 y=4 x2 上的一点 M到焦点的距离为 1,就点 M的纵坐标是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 17B.1615C.167D. 08可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：抛物线的标准方程为x21 y ,准线方程为 y41 , 由定义知,点 M到准16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线的距离为 1,所以点 M的纵坐标是 15162. 求标准方程要留意焦点位置和开口方向问题 2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点

5、（3, 2）的抛物线的条数有点拨：抛物线的类型一共有 4 种,经过第一象限的抛物线有2 种,故满意条件的抛物线有 2 条3. 争论几何性质,要具备数形结合思想, “两条腿走路”问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：设 AB 为抛物线的焦点弦, F 为抛物线的焦点,点A、B 分别是点A、B 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准线上的射影,弦 AB 的中点为 M,就 ABAFBFAA BB ,点 M 到准线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

6、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的距离为相切1 AA2BB1 AB2,以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、典型例题讲解： 考点 1 抛物线的定义题型 利用定义 , 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 例 1 已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P到点 Q（2, 1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和的最小值为解题思路： 将点 P到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 过点 P 作准线的垂线 l 交准线于点 R,由抛物线的定义知,可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品_精品资料_PQPFPQPR ,当 P 点为抛物线与垂线 l 的交点时, PQPR 取得最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最小值为点 Q到准线的距离,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3总结：敏捷利用抛物线的定义, 就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换,一般来说 , 用定义问题都与焦半径问题相关练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知抛物线2y2 px p0 的焦点为 F ,点 P x ,y ,P xy, ,P x, y 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

8、_精品资料_111222333抛物线上,且| P1F|、 | P2F| 、| P3F| 成等差数列, 就有（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A x1x2C x1x3x3 2 x2B y1y2D.y1y3y3 2 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 C由抛物线定义,2 xp xp xp, 即： xx2 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_213222132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知点最小时,A3,4, F 是抛物线

9、 y 28 x 的焦点,M 是抛物线上的动点 ,当 MAMF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M 点坐标是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.0,0B.3,26C. 2,4D.3,26 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 设 M 到准线的距离为 MK ,就| MA |MF |MAMK ,当 MAMK 最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小时, M 点坐标是2,4 ,选 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点 2抛物线的标

10、准方程题型: 求抛物线的标准方程 例 2 求满意以下条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程：1 过点-3,22焦点在直线 x2 y40 上解题思路： 以方程的观点看待问题,并留意开口方向的争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 1设所求的抛物线的方程为y22 px 或 x22 py p0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过点 -3,2 42 p3或92 p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_29 p或p可编辑资料 - - - 欢迎下载

11、精品_精品资料_34抛物线方程为y243x 或 x29 y ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前者的准线方程是 x1 , 后者的准线方程为 y938可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2令 x0 得 y2 ,令 y0 得 x4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线的焦点为 4,0 或0,-2,当焦点为 4,0 时, p4 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ p8 ,此时抛物线方程 p4 ,此时抛物线方程y16 x ; 焦点为 0,-2时 p222x28 y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

12、- 欢迎下载精品_精品资料_所求抛物线方程为y216 x 或x28 y , 对应的准线方程分别是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x4, y2 .总结： 对开口方向要特殊当心,考虑问题要全面练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如抛物线y22 px 的焦点与双曲线2xy21 的右焦点重合 , 就 p 的值3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 p231p4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 对于顶点在原点的抛物线,给出以下条件：焦点在 y 轴上.焦点在 x 轴上.抛物线上横坐

13、标为 1 的点到焦点的距离等于 6.抛物线的通径的长为 5.由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为（2,1）.能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是.（要求填写合适条件的序号） 解析用排除法,由抛物线方程 y2=10x 可排除,从而满意条件 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如抛物线的顶点在原点,开口向上, F 为焦点, M为准线与 Y 轴的交点, A 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线上一点 , 且| AM |17,| AF |3 ,求此抛物线的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

14、料_ 解析设点A 是点 A在准线上的射影,就| AA|3 ,由勾股定理知| MA|22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A 的横坐标为 22,3p ,代入方程 x 222 py 得 p2 或 4,抛物线的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 24 y或 x 28 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点 3抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的运算与论证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 3 设 A、B 为抛物线 y22px

15、上的点 ,且AOB90 O 为原点 ,就直线 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_必过的定点坐标为.解题思路： 由特殊入手,先探求定点位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析设直线 OA 方程为 ykx ,由ykxy 22 px解出 A 点坐标为 2 p , 2 pk2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1 xky 22 px解出 B 点坐标为2 pk 2 ,2 pk ,直线 AB 方程为 y2 pkk x12 pk 2 k 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

16、 欢迎下载精品_精品资料_令 y0 得 x2 p ,直线 AB 必过的定点2 p,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结：（1）由于是填空题,可取两特殊直线AB, 求交点即可.（2）B 点坐标可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 A 点坐标用练习：1 换 k 而得.k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 如直线 解析-1axy10 经过抛物线y24x 的焦点,就实数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A 、B,如 A、B 在抛物线准线上

17、的射可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_影为 A1, B1 ,就A1FB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.45B.60C. 90D.120 解析C基础巩固训练：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 过抛物线 y 24 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B 两点,它们的横坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_之和等于 a22a4aR ,就这样的直线（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 有且仅有一条B.有且仅有两条C.

18、1条或 2 条D.不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 解析C| AB |x AxBpa 22a5 a1 244 ,而通径的长为 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在平面直角坐标系 xOy 中,如抛物线5,就点 P 的纵坐标为（）x4 y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 3B. 4C. 5D. 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 B利用抛物线的定义,点 P 到准线 y为 41 的距离为 5,故点 P 的纵坐标可编辑资料 - -

19、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 两个正数 a、b 的等差中项是 922yba x 的焦点坐标为 ,一个等比中项是 25 ,且 ab, 就抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 0,1 41B0,4C 1 ,02D 1 ,04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 D.a5,b4,ba1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 假如P ,P ,P 是抛物线y

20、24 x 上的点,它们的横坐标依次为x ,x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2812x8 ,F 是抛物线的焦点, 如x1, x2, xnnN 成等差数列且 x1x2x945 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就| P5F | =（ ）A5B 6C 7D9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析B依据抛物线的定义, 可知PFxpx1（ i1,2,n）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iii2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 , x2 , xn nN 成等差数列且

21、x1x2x945 , x55 ,| P5F|=6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、抛物线 y24 x的焦点为F, 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_60的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB l,垂足为 B,就四边形 ABEF 的面积等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 3 3B. 43C. 63D. 83可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,设 Am

22、, n ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AFABm1, FHOHOFm1 ,m12m1m3, n2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四边形 ABEF 的面积=1 22312363可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、设 O是坐标原点, F 是抛物线y24x 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴正向的夹角为 60 ,就 OA 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析21 .过

23、 A 作 ADx 轴于 D,令 FDm ,就 FA2m即 2m2m ,解得 m2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A3,2 3OA3223221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综合提高训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 在抛物线 y标4x2 上求一点,使该点到直线y4x5 的距离为最短,求该点的坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 解法 1：设抛物线上的点P x,4 x2 ,1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

24、_点 P 到直线的距离 d| 4x24x5 | 4 x 24 |417 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 x171 时取等号,故所求的点为217171（ ,1）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 2：当平行于直线 y4 x5 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设该直线方程为y4xb ,代入抛物线方程得4 x24 xb0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由1616b0 得b1, x1 ,故所求的点为（221 ,1）2可编辑资料

25、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知抛物线C : yax （ a 为非零常数）的焦点为 F ,点 P 为抛物线 c 上一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_动点,过点 P 且与抛物线 c 相切的直线记为 l （1） ）求 F 的坐标.（2） ）当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）抛物线方程为故焦点 F 的坐标为x21 y a0, 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设 P x0 , y0 就4a00yax2可编辑资料 - -

26、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 2 ax,在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k2ax0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l 的方程是 yax22ax0 xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_02即2ax0 xyax00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_012d4aax20014a2 x 211.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ax0 1 24 a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

27、载精品_精品资料_当且仅当 x00 时上式取“”此时 P的坐标是0,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当P在0,0 处时,焦点F到切线L 的距离最小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设抛物线y2 px （ p0 ）的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点点 C 在抛物线的准线上,且 BCX 轴证明直线 AC 经过原点 O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明:由于抛物线的方程可设为2y2 px（ p0 ）的焦点为 Fp ,02,所

28、以经过点 F 的直线 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xmyp ,代人抛物线方程得2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y22 pmyp20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如记 A x1, y1, B x2 , y2,就 y1, y2 是该方程的两个根,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12y yp2 由于 BC X 轴,且点 C 在准线 xp 上,所以点 C 的坐标为2p, y2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

29、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故直线 CO 的斜率为 ky22 py1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_py1x12即k 也是直线 OA的斜率,所以直线 AC经过原点 Ox 2y 29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 椭圆1 上有一点 M（-4,）在抛物线 y 22 px （p0）的准线 l 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 25抛物线的焦点也是椭圆焦点 .（1） ）求椭圆方程.（2） ）如点 N 在抛物线上,过 N 作准线 l 的垂线,垂足为 Q 距离,求 |MN|+|NQ|的最小值 .可编辑资料 - -

30、- 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2解：（1）1上的点 M 在抛物线 y22 px （p0）的准线 l 上,抛物线22ab的焦点也是椭圆焦点 .c=-4,p=8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M（-4,9 ）在椭圆上5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 16a 28125b 21 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 2b2c2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由解得： a=5、b=3x2y 2椭圆为1259可编辑资料 - - - 欢

31、迎下载精品_精品资料_由 p=8 得抛物线为 y 216x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设椭圆焦点为 F（ 4,0）,由椭圆定义得 |NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=442 902541,即为所求的最小值 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考例题：1、已知抛物线 C 的一个焦点为 F（ 1 ,0）,对应于这个焦点的准线方程为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x=-1 .2（1） 写出抛物线 C 的方程.（2） 过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点, O 点

32、为坐标原点,求 AOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重心 G 的轨迹方程.（3） 点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆（ x-3）2+y2=2 的切线,切点分别是 M, N.当 P 点在何处时, |MN|的值最小？求出 |MN|的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（1）抛物线方程为： y2=2x.（ 4 分）（2） 当直线不垂直于 x 轴时,设方程为 y=kx-1 ,代入 y2=2x,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 22k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： kx -k+2x+0 .4k 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 A（x1, y1）, Bx2,y2,就 x1+x2=2k,y1+y2=kx1+x2-1=.k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x设AOB 的重心为 G（x, y）就y0x1x230y1y23k 223k 22,3k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_消去 k 得 y2= 2 x3（6 分）2 为所求,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当直线垂直于 x 轴时,