2022年高一数学一元二次不等式解法练习题及答案.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高一数学一元二次不等式解法练习题及答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例1 如0 a 1,就不等式x ax 1 0的解是a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A ax a1B x aa1Cx或x a a1Dx a 或x a1分析比较 a与的大小后写出答案a11解 0 a 1, a,解应当在“两根之间”,得a xaa选A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2x 2x6有意义,就x的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析求算术根,被开方数必

2、需是非负数解据题意有, x2 x 60,即 x 3x 2 0,解在“两根之外”,所以x3 或 x2例 3如 ax2 bx1 0 的解集为 x| 1x 2 ,就 a , b 分析依据一元二次不等式的解公式可知,1 和 2 是方程 ax2 bx 10 的两个根,考虑韦达定理解依据题意, 1,2 应为方程 ax 2 bx 1 0 的两根,就由韦达定理知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -

3、 - - - - - - - - - -b121a得11 22a11a, b22例 4解以下不等式1x 13 x 5 2x2xx 11 3x 1 232x 1x 3 3x 2 243x 23x13 x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5x 2x113 x x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析将不等式适当化简变为ax2 bx c0 0 形式,然后依据“解公式”给出答案 过程请同学们自己完成答 1x|x2 或 x432x|1 x234R5R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例5 不等式1 x1的解集为

4、1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A x|x 0B x|x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -C x|x 1D x|x 1 或 x 0分析直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采纳移项后通分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 不等式化为11 x 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通分得

5、x 21x 0 ,即1xx 2 0,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 0,x 1 0,即 x 1选 C说明：此题也可以通过对分母的符号进行争论求解x3例6 与不等式 0同解的不等式是2xA x 32 x 0 B 0x 212xC 0x3D x 32 x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一原不等式的同解不等式组为 x32x 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 0故排除 A、C、D,选 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3解法二 0化为x 3或x 32 x 0即 2 x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

6、精品资料_2x两边同减去2 得 0x 21选 B说明：留意“零”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax例7 不等式 1的解为 x1x|x 1或x 2 ,就 a的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A a211Ba21可编辑资料

7、- - - 欢迎下载精品_精品资料_Ca2Daa21x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析可以先将不等式整理为 0,转化为x1a 1x 1x 1 0,依据其解集为 x|x 1 或 x211可知 a 1 0 ,即 a 1,且 2 , aa12答选 C说明：留意此题中化“商”为“积”的技巧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例8 解不等式3x7x22 x 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解先将原不等式转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x7x 22x2 03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x 2x即x 22

8、 x1 0,所以32x 2xx 22 x1 03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 2x 2 x 1 2x 1 27 0, 48可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式进一步转化为同解不等式x2 2x3 0,即x 3x 1 0,解之得 3x 1解集为 x | 3 x1 说明：解不等式就是逐步转化,将生疏问题化归为熟识问题例 9已知集合 Ax|x 2 5x 40 与 B x|x 2 2ax a 2 0 ,如BA ,求a的范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 31 页 - - -

9、 - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分析先确定 A 集合,然后依据一元二次不等式和二次函数图像关系,结合 BA,利用数形结合,建立关于a的不等式解易得 A x|1 x4设 y x2 2ax a 2*1 如B,就明显 BA ,由0得4a 24a 2 0,解得 1a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如B,就抛物线* 的图像必需具有图116特点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应有x|x1 xx 2 x|

10、1x 4 从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 2a 1 a 2 024 2a 4 a 2 0 2 a1 4218解得 12 a 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述得a的范畴为181 a7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：二次函数问题可以借助它的图像求解例 10解关于 x 的不等式x 2ax 2 0分析不等式的解及其结构与a 相关,所以必需分类争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - -

11、 - - - -第 5 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解 1 当 a0 时,原不等式化为x 2 0 其解集为 x|x 2 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 当a 0时,由于 2 ,原不等式化为x 2x 0,其解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa集为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x|2 x 2 .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

12、资料_3 当0 a 1时,因 2 ,原不等式化为x 2x 0,其解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa集为2x|x 2 或x .a4当 a1 时,原不等式化为x 2 2 0,其解集是 x|x 2 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 当a 1时,由于 2,原不等式化为x 2x 0,其解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa集是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x|x2或x 2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而可以写出不等式的解集为：a 0 时, x|x 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a

13、0时, x|2 x 2.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 a 1时,2x|x 2 或x .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 1 时, x|x 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 1时,2x|x 或x 2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：争论时分类要合理,不添不漏可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精

14、品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 11如不等式 ax2 bx c0 的解集为 x| x 0 ,求 cx2 bx a0 的解集分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的,这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系考虑 使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a 0,依据韦达定理知：b ,ac ab 0,即ac 0aa0,b 0, c 0bab又,accb11 cca11由 ,ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对cx 2 bx a 0化为x 2 bax 0, cc可编辑资料 -

15、- - 欢迎下载精品_精品资料_由得1,1 是x 2 b x ca 0 两个根且c11 0, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x 2 b x ca2 0即cx bx a 0的解集为cx|x 1 或x 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二cx 2 bx a 0 是 ax2 bx a0 的倒数方程且 ax2 bx c0 解为 x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料

16、- - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cx 2 bx a 0 的解集为x|x 1或x 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：要在一题多解中锤炼自己的发散思维可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例12解关于xx的不等式： 1 aa R x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析将一边化为零后,对参数进行争论xax1a解 原不等式变为 1 a 0,即 0,x1x1进一步化为 ax 1ax 1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

17、精品资料_(1) 当 a 0 时,不等式化为a1x ax1 0,易见1 .a11,所以不等式解集为aa1x|ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a 0 时,不等式化为x1 0,即 x 1,所以不等式解集为x|x 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3a 0时,不等式化为a1xa x1 0,易见a11,所以a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式解集为a1x|x 1或x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,原不等式解集为：a1当a 0时, x|ax1 .当a 0时, x|x 1 .当a 0时, x|x a1或x1 a例

18、13 全国高考题 不等式 |x 2 3x| 4 的解集是 分析可转化为 1x 2 3x 4 或 2x 23x 4 两个一元二次不等式由1 可解得x 1或x 4, 2答填x|x 1 或 x 4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 141998 年上海高考题 设全集 U R,A x|x 2 5x 6 0 ,Bx|x5| aa 是常数 ,且 1

19、1 B,就A UAB R B AUB RC UA UB RD A B R分析由 x2 5x 6 0 得 x 1 或 x6,即A x|x 1 或 x 6 由|x 5| a 得 5 a x5 a,即B x|5 a x 5a11 B,|11 5| a 得 a65 a 1, 5a 11 A BR 答选 D说明：此题是一个综合题,涉及内容很广泛,集合、肯定值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法争论在不等式的综合题中,常常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范畴内全部值都成立的恒成立问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - -

20、- - - - - -第 9 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -恒成立问题的基本类型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型 1：设f xax2bxca0 ,（ 1）f x0在xR 上恒成立a0且0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） fx0在xR 上恒成立a0且0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型 2：设f xax 2bxc a0可编辑资料 -

21、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当 a0 时,f x0在x, 上恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2 a或bb2a或2 a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ff x00在x0, 上恒成立f 0f 0f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当 a0 时,f x0在x, 上恒成立f 0f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f

22、 x0在x, 上恒成立b2a或bb2a或2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 00f 0类型 3：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x对一切 x对一切 xI恒成立I恒成立f xminf xmax.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型 4：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg x对一切 xI恒成立f x的图象在 g x的图象的上方或f x ming x max可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xI 恒成立问题的解题的基本思路是：依据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用函数法、最小值法、数形结合等解

23、题方法求解.一、用一次函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于一次函数f xkxb, x m,n 有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0恒成立f m0, f x0恒成立f m0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n0f n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - -

24、- - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：如不等式2x1m x21对满意2m2 的全部 m都成立,求x 的范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：我们可以用转变主元的方法,将m 视为主变元,即将元不等式化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mx 212x10 ,.令f mmx 212 x1 ,就2m2 时,f m0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_恒成立,所以只需f 20即2x 212 x10,所以 x 的范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2017132 x21 2x10可编辑资料

25、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x, .22二、利用一元二次函数的判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于一元二次函数f xax2bxc0 a0, xR 有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ） fx0在xR 上恒成立a0且0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） fx0在xR 上恒成立a0且0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：如不等式m1) x2m1 x20

26、的解集是 R,求 m 的范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m ,所以要争论m-1 是否是 0.（ 1）当 m-1=0时,元不等式化为20 恒成立,满意题意.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） m10时,只需m102 m18 m1,所以, m01,9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、利用函数的最值（或值域）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ） fxm 对任意 x 都成立f x minm .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

27、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） fxm 对任意 x 都成立mf x max .简洁计作：“大的大于最大的,小的小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于最小的”.由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3：在ABC 中,已知求实数 m 的范畴.解析：由f B4sinB sin 2 4Bcos 2 B, 且 |2f Bm |2 恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页

28、,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f B 4 sinB sin 2 4B cos 2 B 22 sin B1,0B,sin B0,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f B 1,3 ,| f B m |2 恒成立,2f B mm2 ,即f B2恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mf B2m1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4：（ 1）求使不等式

29、asin xcos x, x0, 恒成立的实数a 的范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由于函asin xcos x2 sin x, x4344 ,4 ,明显函数有最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ,a2 .假如把上题略微改一点,那么答案又如何了？请看下题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求使不等式asin xcos x, x40, 恒成立的实数a 的范畴.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：我们第一要仔细对比上面两个例题的区分,主要在于自变量的取值范畴的

30、变化,这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_样使得 ysin xcos x 的最大值取不到2 ,即 a 取2 也满意条件,所以a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,我们对这类题要留意看看函数能否取得最值,由于这直接关系到最终所求参数a的取值.利用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也叫分别参数法.四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5：已知 a值范畴.0,a1, f xx 2a x ,当x1,1时, 有f x1恒成立2,求实数 a 的取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由f xx 2a x1,得 x 221 a x ,在同始终角坐标系中做出两个函数的图2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_象,假如两个函数分别在x=-1和 x=1 处相交,就由 1212a及1 212a 1 得到 a 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_别等于 2 和 0.5 ,并作出函数y2 x 及yx 1 x2的图象,所以,要想使函数x21