2022年高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版知识精讲.docx

《2022年高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版知识精讲.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版知识精讲.docx（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版【本讲训练信息 】一. 教学内容：求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式,求函数的定义域,求函数的值域,求函数的最值二. 学习目标1、进一步懂得函数的定义域与值域的概念.2、会应用代换、方程思想求简洁的函数解析式.3、会求基本初等函数、简洁的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值.4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题,重视函数单调性在确定函数最值中的作用.5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题.6、会用集合、区间或不等式表示函

2、数的定义域和值域.三. 学问要点（一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y f（ x ）,不能把它写成f（ x ,y ） 0.2、求函数解析式一般要写出定义域,但如定义域与由解析式所确定的自变量的范畴一样时,可以不标出定义域.一般的,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形.3、求函数解析式的一般方法有：（ 1）直接法：依据题给条件,合理设置变量,查找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y .（ 2）待定系数法：如明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值.（ 3）换元法：如给出了复合函数f

3、g（ x）的表达式,求f （ x）的表达式时可以令tg（ x ）,以换元法解之.（ 4）构造方程组法：如给出f （ x）和 f（ x）,或 f （ x）和 f（ 1/x）的一个方程,就 可以 x 代换 x （或 1/x ）,构造出另一个方程,解此方程组,消去f （ x ）（或 f（ 1/x ）即可求出 f（ x）的表达式.（ 5）依据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后,查找或构造它们之间的等量关系, 列出等式,解出y 的表达式. 要留意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,仍受其实际意义限定.（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示.2

4、、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置打算了自变量的范畴,最终将求定义域问题化归为解不等式组的问题.3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,仍受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等.4、对复合函数y f g（ x）的定义域的求解,应先由y f（ u）求出 u 的范畴,即g（ x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - -

5、 - - - - - - - -的范畴,再从中解出x 的范畴 I 1.再由 g（ x）求出 y g（ x ）的定义域I2, I1 和 I 2 的交集即为复合函数的定义域.5、分段函数的定义域是各个区间的并集.6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类争论,如参数在不同的范畴内定义域不一样,就在表达结论时分别说明.7、求定义域时有时需要对自变量进行分类争论,但在表达结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域.（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法就确定,常用集合或区间来表示.2、在函数 f：A B 中,集合 B 未必就是该函数的值域,如记该

6、函数的值域为C,就 C 是B 的子集.如C B,那么该函数作为映射我们称为“满射”.3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集.4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类争论.表达结论时要就参数的不同范畴分别进行表达.5、如对自变量进行分类争论求值域,应对分类后所求的值域求并集.6、求函数值域的方法非常丰富,应留意总结.（四）求函数的最值1、设函数 y f（ x ）定义域为 A ,就当 x A 时总有 f （x ） f（ x o） M ,就称当 x x o时 f （x ）取最大值 M .当 x A 时总有 f（ x） f（ x 1） N ,就称当 x x 1 时 f（ x ）取最小值 N

7、.2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题.3、闭区间的连续函数必有最值.【典型例题】考点一：求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接查找或构造变量之间的联系.例 1. 已知函数y f （x ）满意 xy 0, 4x29y 2 36,求该函数解析式.解： 由 4x 29y2 36 可解得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x229 , x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2x93可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32x239 , x3.2x29y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 这是一个分段函数,必需分区间写解析式,

8、不行以写成3的形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、待定系数法： 由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值.例 2. 已知在肯定条件下,某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m 时,水流量为340m 3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函 数关系式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总

9、结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y解： 设y780 , x0k/s,故所求函数关系式为x ,代入 x , y 的值可求得反比例系数k 780m 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x.3、换元法： 题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换.2f x1xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 已知xx2,试求f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t解： 设x1x x,就1t1 ,代入条件式可得：f t t2t1 , t1.故得：可编辑资料 - -

10、 - 欢迎下载精品_精品资料_f xx2x1, x1.说明： 要留意转换后变量范畴的变化,必需确保等价变形.4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联立求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4. （ 1）已知f x2 f 1 3 x2x4 x5,试求f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）已知f x2 f x3x24x5 ,试求f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）由条件式,以x 代 x,就得f 2 f x32

11、xx45x,与条件式联立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ffx28x24x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_消去x,就得：x23x33 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由条件式,以x 代 x 就得： f x2 f x3x24x5 ,与条件式联立,消可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_去 fx,就得：fxx24x53 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 此题虽然没有给出定义域,但由于变形过程始终保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出.5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点

12、题型,一般难度不大,所涉及学问点也不多,关键是合理设置变量,建立等量关系.例 5. 动点 P 从边长为1 的正方形 ABCD 的顶点 B 动身,顺次经过C、D 再到 A 停止.设 x 表示 P 行驶的路程,y 表示 PA 的长,求y 关于 x 的函数.解： 由题意知：当x 0, 1时： y x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x （ 1, 2）时：yx21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -

13、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y当 x （ 2, 3）时：23x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故综上所述,有x,x0,1yx21,x1,223x1,x2,3考点二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置打算了变量不同的范畴,所以解题时要仔细分析变量所在的位置.最终往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2例 6. 求x3x4 的定义域.可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品_精品资料_解： 由题意知：x20x4,从而解得：x 2 且 x 4.故所求定义域为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x|x 2 且 x 4 .2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集.例 7. 已知函数由下表给出,求其定义域X123456Y2231435 617解： 1 , 2, 3, 4, 5, 6 .3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（ u）的定义域可以确定内函数g（ x ）的范畴,从而解得x I1 ,又由 g（ x）定义域可以解得x I2.就 I 1 I 2 即为该复合函数的定义域.也可先求出复合函数的表达式后再行求解.可编辑资料 - - - 欢迎

15、下载精品_精品资料_例8 已知 fxx3, g xxx24 x,求yf g x的定义域 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由f x解：x3x3g x3x3x24x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 x 2 4x 30*联立 *、 * 两式可解得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_933x1或3x933可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求定义域为933x |x1或3x933可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44例 9. 如函数 f（ 2x ）的定义域是1, 1

16、,求 f （ log2x）的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解： 由 f （ 2x ）的定义域是1, 1可知： 2 1x 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,故 log2x 1, 2,解得22 2,所以 f （x ）的定义域为2x4 ,故定义域为2,4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4、求解含

17、参数的函数的定义域：一般的,须对参数进行分类争论,所求定义域随参数取值的不同而不同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10. 求函数f xax1 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 如 a0 ,就 x R.如 a0 ,就 x1.a如 a0 ,就 x1.a故所求函数的定义域：11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时为 R,当 a0 时为x| x,当 aa0 时为x | x.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 此处求定义域是对参变量a 进行分类争论, 最终表达结论时不行将分类争论的结果写成并集的形式,必需依

18、据a 的不同取值范畴分别论述.考点三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法非常丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法.随着高中学习的深化,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法.1、分别变量法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xy例 11. 求函数xy2 x3231 的值域.x111120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：x1x1x1 ,由于 x1,故 y2,所以值域为 y|y 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量x ,可通过等价变形,让变量只显现在分母中,再行求解.2、配方法例 12.

19、求函数 y2x2 4x 的值域.解： y 2x24x 2（x 22x 1） 2 2（ x 1） 2 2 2,故值域为 y|y 2 . 说明： 这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域.类似的, 对于可以化为二次函数的函数的值域也可采纳此方法求解,如yaf 2（ x ） bf （x） c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、判别式法例 13. 求函数 yx22 x4x25x3 的值域.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22 xy2解：4 x5 x36 可变形为：（ 4y 1）x2（ 5y 2）x 6y 3 0,由 0可解得：可编辑资料 - - - 欢迎

20、下载精品_精品资料_y2663 , 26637171.说明： 对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采纳此法.要留意两点： 第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出.假如题中条件另外给 出了定义域, 那么一般情形下就不能用此法求解值域.其次, 用判别式法求解函数值域的理 论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次方程后,该可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

21、资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方程的解集就是原函数的定义域,故 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、单调性法例 14. 求函数 yy23 , x 4, 5的值域.x23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由于函数x为增函数,故当x 4 时, ymin 5 .当 x 5 时, ymax 13 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以函数的值域为255 , 132 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、换元法例 15. 求函数 y2x41

22、x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 t1x0 ,就 y 2t2 4t 2（ t 1）2 4,t0,故所求值域为 y|y 4.6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 16. 求函数x, xyx2 , x1,22,3的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1,x3,4解： 当 x 1, 2时, y 1, 2.当 x 2, 3时, y 4,9.当 x 3, 4时, y 5, 7.综上所述, y 1, 2 3, 9.本讲所涉及的主要数学思想方法1、分类争论的数学思想：对含有参变量的函数定义域

23、、值域及最值的求解,一般情形下都要对参变量进行分类争论,在参变量不同的取值范畴内进行求解.要特殊留意对结果的表述.2、换元的思想：对复合函数定义域、值域及最值的求解,以及对某些无理函数（根号中含有自变量的函数）的处理,通常可以考虑换元,以达到化繁为简的目的.3、方程的思想：对某些函数解析式的求解,以及某些函数值的求解,均渗透了方程的思想,主要思路是转变原先的变量之间的角色,重新确定主元,依此主元构造方程进行求解.【模拟试题】 答题时间： 30 分钟一. 挑选题1、函数 y f （ x ）的值域是2, 2,就函数y f （ x 1）的值域是（）A. 1, 3B. 3,1C. 2,2D. 1, 1

24、2、已知函数f（ x） x 2 2x,就函数f（ x ）在区间2, 2上的最大值为（）A. 2B. 4C. 6D. 83、一等腰三角形的周长为20,底边长 y 是关于腰长x 的函数,那么其解析式和定义域是（）A. y 20 2x（ x 1）0B. y 20 2x（ x10 ）C. y 20 2x（ 4 x10）D. y 20 2x（ 5x10 ）4、二次函数y x2 4x 4 的定义域为 a,b（ a2,就可解得a 3.4x,联立两式可解得：212、解：由条件式,以x 替换 x 可得： 2f（ x） f（ x） xx24 xf （ x）3.13、解：（ 1） y x （ 60 x）, x （ 0, 60） .（ 2）y x（ 60 x ）（ x 30）2 900 900,当 x 30 时取等号, 故当 x 30 米时, 鸡场面积最大为900 平方米.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载