2022年高中数学必修《三角函数》知识点归纳总结.docx

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1、精品_精品资料_【学问网络】三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弧长公式同角三角函数的基本关系式诱导应用公式运算与化简证明恒等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任意角的概念应用角度制与弧度制任意角的三角函数三角函数的图像和性质应用已知三角函数值求角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和角公式应用倍角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用差角公式应用一、任意角的概念与弧度制1、将沿 x

2、 轴正向的射线,环绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为 正角 ,顺时针旋转为 负角 ,不旋转为零角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、同终边的角可表示为k 360kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 轴上角：k 180kZy 轴上角：90k 180kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、第一象限角：0k 36090k 360kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次象限角：90k 360180k 360kZ第三象限角：180k 360270k 360kZ第四象限角：270k 360360k 360kZ4、区分第一象限角、锐角

3、以及小于90 的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一象限角：0k 36090k 360kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_锐角：090小于 90 的角：90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、如为其次象限角,那么为第几象限角？2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k2k2kk422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k0,42k1, 53,42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以在第一、三象限26、弧度制：弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作 1rad .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

4、品_精品资料_7、角度与弧度的转化：13045609012013515018023564323468、角度与弧度对应表： 角度0弧度01800.01745118057.3057 183602可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、弧长与面积运算公式弧长： lR.面积： S1 lR1R2,留意：这里的均为弧度制 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、任意角的三角函数y1、正弦： sinr.余弦 cosxy.正切 tanrxPx, yr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

5、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中x, y 为角终边上任意点坐标,rx2y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、三角函数值对应表：304560901201351501802356432346度0270360弧度0322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin01232313222211210102223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos10222222101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan03313无31330无0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、三角函数在各象限中的符号

6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_口诀：一全正,二正弦,三正切,四余弦. （简记为“全 s t c”）sintancos第一象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,其次象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,第三象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,第四象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,4、三角函数线设任意角的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交与P x, y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过 P 作 x 轴的垂线,垂足为M .过点延长线交于点T.A1,0 作单位圆的切线,它与

7、角的终边或其反向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yyTPP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AMoxAoMx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）T（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yTy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MP由四个图看出：Ao x（）MAo xPT（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当角的终边不在坐标轴上时,有向线段yyOMx, MPy ,于是有xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinyMPr1,c o sxOMr1,可

8、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanyMPATxOMOAAT 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们就分别称有向线段MP , OM, AT 为正弦线、余弦线、正切线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、同角三角函数基本关系式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2tancos2sin cos1tancot1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sincos212 sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2cos12 sincos可编辑资料 - -

9、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sincos, sincos, sincos,三式之间可以相互表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、诱导公式n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_口诀：奇变偶不变 , 符号看象限 所谓奇偶指的是2n中整数 n 的奇偶性, 把看作锐角 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin n 1 2 sin, n为偶数. cos n 12 co s,n为偶数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n 1 1 22cos, n为奇数n 1 1 2sin, n为奇数可编辑资料

10、- - - 欢迎下载精品_精品资料_. 公式（一）：与2k , kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2 ksin. cos2kcos. tan2 ktan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. 公式（二）：与sinsin. coscos. tantan. 公式（三）：与sinsin. coscos. tantan. 公式（四）：与sinsin. coscos. tantan. 公式（五）：与2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2cos. cos2sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. 公式（六）：与2可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品_精品资料_sin2cos. cos2sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. 公式（七）：与 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin32cos. cos 32sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. 公式（八）：与 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin32cos. cos32sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、三角函数的图像与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 、将函数ysinx 的图象上全部的点,向左（右）平移个单位长度,得到函数可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ysinx的图象.再将函数ysinx的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原先的 1 倍（纵坐标不变） ,得到函数 ysinx的图象. 再将函数 ysinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 图象 上 所 有 点 的 纵 坐 标 伸 长 （ 缩 短 ） 到 原 来的 A 倍 （ 横 坐 标 不 变 ）, 得 到 函 数yAsinx的图象.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、函数yAsinxA0,0的

13、性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_振幅： A.周期： T2.频率： f1.相位：x.初相：.T2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、周期函数：一般的,对于函数fx ,假如存在一个非零常数T ,使得定义域内的每一个 x 值,都满意 fxTfx ,那么函数fx 就叫做周期函数, T 叫做该函数的周期 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 yAsinx对称轴：令kxk,得 x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称中心：xk,得 xk, k,0kZ .可编辑资料 - - - 欢迎下载

14、精品_精品资料_ yA cosx对称轴：令xk,得 xk.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称中心：x周期公式 :kk,得 x22k, 2,0 kZ .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数yA sinx 及 yAcosx 的周期 T2A 、 为常数,且 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yA tanx的周期 TA 、 、为常数,且 A0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、三角函数的图像与性质表格可编辑资料 - - - 欢迎下

15、载精品_精品资料_函性 质数ysin xycosxytan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义RR域x xk, kZ2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域1,11,1R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x2kkZ 时,2当 x2kkZ时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最值当 xymax1 .2kkZ 时,ymax1 .当 x2k既无最大值也无最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ymin1 kZ时, ymin1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

16、资料_周期22性奇偶奇函数偶函数奇函数性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在2 k,2k 22在2k,2 kkZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单kZ上是增函数. 调性3在 2k上是增函数.,2 kkZ在 k, k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在2 k,2kkZ上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22kZ上是减函数上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对对称中心k,0kZ对称中心对称中心k,0kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称性对称轴

17、xkkZ 2k,0kZ 22无对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称轴 xkkZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 五点法作 yAsinx 的简图 ,设 tx,取 0、 3、 2来求相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. yAsinx的的图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 函数的变换：（1） 函数的平移变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xyf xaa0将 yf x 图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位

18、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（左加右减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xyf xbb0 将 yf x 图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（上加下减）（2） 函数的伸缩变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yfxyf wx w0 将 yf x 图像纵坐标不变,横坐标缩到原先的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 倍（ ww1 缩短, 0w1伸长）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

19、载精品_精品资料_ yfxyAfx A0将 yf x 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原先可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 A 倍（ A1 伸长, 0A1缩短）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 函数的对称变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xyf x 将 yf x 图像绕y 轴翻折 180（整体翻折）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

20、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xyf x 将 yf x 图像绕x 轴翻折 180（整体翻折）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yfxyf x将 yf x 图像在y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕y 轴翻可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_折到左侧（偶函数局部翻折）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xyf x 保留 yf x 在x 轴上方图像,x 轴

21、下方图像绕x 轴翻折可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上去（局部翻动） 四、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ） sin2 ） sinsinsincos cossin sincos cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 ） cos4 ） coscoscoscos cossin sinsin sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 ）tantantant ant a nt a n1t a nt a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tantan可编辑资料 -

22、 - - 欢迎下载精品_精品资料_6 ）tantantant ant ant a n1t ant a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7asin1bcostan=a2tanb2 sin 其中 , 帮助角所在象限由点a, b 所在的象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_限打算 ,sinba 2b2,cosaa2b2, tanb,该法也叫合一变形 .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_81 1tan tantan41tan1tantan4可编辑资料 - - -

23、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 二倍角公式（1） sin 2a2 sinacosa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） cos 2 acos2 asin 2 a1 2 sin 2 a2 cos2 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）tan2a2 tana1tan2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 降幂公式：cos2 a1（ 1）4. 升幂公式cos2a 2（ 2）sin 2 a1cos2

24、a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 1cos2 cos22（ 2） 1cos2sin 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 1sinsin2cos22（ 4） 1sin 2cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5） sin2 sincos22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 半角公式 （符号的挑选由所在的象限确定）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（

25、1）sin a21cosa,2（ 2）cosa21cosa,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan a1cos asin a1cos a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）21cosa1 cosasin a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 万能公式 :（1） sin2 tan21tan22,（ 2）cos1tan22 ,1 tan22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） tan2

26、 tan2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan227. 三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换才能,要学会创设条件, 敏捷运用三角公式,把握运算、化简的方法技能.（ 1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,仍可作添加、删除角的恒等变形（ 2） 函数名称变换：三角变形中经常需要变函数名称为同名函数.采纳公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_asinbcosa2b2 sin 其中cosaa2b2,sinba2b2 ,比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ysin x如：3 cos x123 2 1213

27、 2sin x3123 2cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212sin x3 cos x22sinxcos3cos x sin 32 sin x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）留意“凑角”运用：,12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如： 已知 、 3,4 , sin3,sin 512,就 cos.4134可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数,特可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

28、别是常数“ 1”可转化为“sin 2cos2”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采纳降幂处理,有时需要升幂例如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1cosa常用升幂化为有理式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）公式变形：三角公式是变换的依据,应娴熟把握三角公式的顺用、逆用及变形.（ 7）结构变化：在三角变换中经常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除, 或求差等等. 在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、 配方等.（ 8）消元法：假如所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可

29、用此法（ 9）思路变换：假如一种思路无法再走下去,试着转变自己的思路,通过分析比较去挑选更合适、简捷的方法去解题目.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 10）利用方程思想解三角函数.如对于以下三个式子：sin acosa, sin acosa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin acosa ,已知其中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元.8. 函数的最值 （ 几种常见的函数及其最值的求法）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ya sin xb （或a cos xb 型：利用三角函数的值域,须留意对字母的争论可编辑资料 - - - 欢

30、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ya sin xb cosx型：引进帮助角化成ya2b2 sin x 再利用有界性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ya sin 2 xb sin xc 型：配方后求二次函数的最值,应留意sin x1的约束可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ya sin xb 型：反解出sinx ,化归为sin x1解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c sin xd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ya sin xcos xbsin xcos xc 型：常用到换元法：tsin xcosx ,但须可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意 t 的取值范畴： t2 .9. 三角形中常用的关系：ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin BC ,cos AcosBC ,sin2cos,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料