2022年高中数学知识点总结之三角函数篇 2.docx

《2022年高中数学知识点总结之三角函数篇 2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学知识点总结之三角函数篇 2.docx（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_第三章三角函数、解三角形第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、必记3 个学问点1. 角的概念按旋转方向不同分为正角、负角、零角.(1) 分类按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2) 终边相同的角：全部与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合S | k 360 , k Z 2. 弧度的定义和公式(1) 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角,弧度记作rad.(2) 公式：弧度与角度的换算：360 2 弧度. 180 弧度.弧长公式：l | |r .112扇形面积公式：S 扇形 lr 和| |r .223. 任意角的三角函数(1) 定义：设 是一个任

2、意角,它的终边与单位圆交于点Px,y,就 sin y,cos x, ytan xx 0 (2) 几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x 轴上, 余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是1,0 如图中有向线段MP ,OM , AT 分别叫做角 的正弦线, 余弦线和正切线 二、必明 3 个易误区1. 易混概念： 第一象限角、 锐角、 小于 90 的角是概念不同的三类角第一类是象限角,其次、第三类是区间角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 利用 180 rad 进行互化时,易显现度量单位的混用3. 三角函数的定义中,当Px, y 是单位圆上的点时有ysin

3、 y, cos x, tan x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但如不是单位圆时,如圆的半径为r,就三、必会 2 个方法sin y, cos x, tanrr y.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2. 对于利用三角函数定义解题的题目,假如含有参数,肯定要考虑运用分类争论,而在求解简洁的三角不等式时,可利用单位圆及三角函数线,表达了数形结合的思想 考点一角的集合表示及象限角的判定1.给出以下四个命题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

4、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34是其次象限角.43限角其中正确的命题有是第三象限角.400 是第四象限角.315 是第一象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1 个B 2 个C 3 个D 4个解析：选 C 344可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是第三象限角,故错误. ,从而4333是第三象限角,故正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确. 400 360 40,从而正确. 315 360 45,从而正确kk2设集合M x x 2180 45, k Z, N x x 4180 45, k Z,那么A M NB M. NC N

5、. MD MN.解析：选 B法一 ：由于 M x x k 18045,k Z , , 45, 45, 135 ,2225 , , ,kN x x 4 180 45, k Z , 45 ,0, 45 , 90 , 135 , 180 , 225, , ,明显有 M. N ,应选 B.法二 ：由于 M 中, xk180 45 k90 45452k 1,2k 1 是奇数.而 N 中, 2kx4180 45 k45 45 k 1 45, k 1 是整数,因此必有 M. N,应选 B.3. 终边在直线 y 3x 上的角的集合为解析： 终边在直线 y 3x 上的角的集合为 |k 3, k Z 答案： |

6、k3, k Z 4. 在 720 0范畴内找出全部与 45终边相同的角为解析：全部与 45 有相同终边的角可表示为： 45 k 360k Z ,就令 720 45k 360 0 ,得 765 k 360 45 ,解得 765 k0 时, r 10k , sin 3110 k3 3k3, 10 , 10sin 10 310 0.10k10cos kcos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k0 时, r 10k , sin 3k 3, 10k1 10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 10sin 10k10 cos k33 310 3 10 0. 综上, 10

7、sin 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos cos 考点三扇形的弧长及面积公式 典例 已知扇形周长为10 ,面积是 4 ,求扇形的圆心角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2r r 10r 1,r 4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解 ：设圆心角是 ,半径是 r ,就 12. 4舍 ,1故扇形,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1圆心角为 2. 类题通法 2r 82弧度制应用的关注点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 弧度制下1l | r, Snr2lr ,此时 为弧度在角度制下,弧长l 180,扇形面

8、积 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ nr2 ,此时 n 为角度,它们之间有着必定的联系3602 在解决弧长、面积及弓形面积时要留意合理应用圆心角所在的三角形4 3 针对训练 ：已知扇形的圆心角是 120 ,弦长 AB 12 cm ,求弧长 l .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设扇形的半径为r cm ,如图由 sin 606 ,得r 4 3 cm , l | r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 33 cm r3课后作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 试一试 1如 k180 45kZ ,就 在 AA 第一或第三象限C

9、其次或第四象限B 第一或其次象限D 第三或第四象限12. 已知角 的终边经过点 3, 1 ,就 sin . 答案： 2 练一练 ：如 sin 0,就 是A 第一象限角B 其次象限角C第三象限角D 第四象限角由 sin 0,知 在第一或第三象限,因此 在第三象限 做一做 1如下列图,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆 O 于点 P,如 AOP ,就点P 的坐标是 A cos , sin B cos , sin C sin , cos D sin , cos 解析：选 A由三角函数的定义知Pcos , sin ,选 A.2已知扇形的周长是6 cm ,面积是2 cm2,就扇形的圆心角的弧度数是A

10、 1 或 4B 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 4D 8l 2r 6 ,l 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：选 A设扇形的半径和弧长分别为r , l ,就易得 1解得或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l 2,r 2.故扇形的圆心角的弧度数是4 或 1.2lr 2 ,r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知角 的终边经过点 3a 9, a 2 ,且 cos 0 , sin 0,就实数 a 的取值范畴是A 2,3B 2

11、,3C 2,3D 2,3解析： 选 A cos 0, sin 0,角 的终边落在其次象限或y 轴的正半轴上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3a 9 0,a 20 , 2a 3. 应选 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 在与 2 010 终边相同的角中,肯定值最小的角的弧度数为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,与解析： 2 010 6756 12 62 010终边相同的角中肯定值最小的角的弧度数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_556 .答案： 65 2022 辽源模拟 如三角形的两个内角, 满意 sin cos 0,就此

12、三角形为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： sin cos 0,且 , 是三角形的两个内角角sin 0, cos 0, 为钝可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故此三角形为钝角三角形答案： 钝角三角形, ,求 的三角函数值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知角 的终边过点 P 3cos , 4cos ,其中 2224, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 2 3, 1cos 0, r 9cos 16cos 5cos ,故 sin 5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

13、资料_cos , tan 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_537. 已知 cos tan 0,那么角 是 A 第一或其次象限角B其次或第三象限角 C第三或第四象限角D第一或第四象限角解析： 选 C易知 sin 0 . cos 2 200 cos 40 cos 40 0. tan 10 tan3 100 , tan 90.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan 9tan 911 在直角坐标系中,O 是原点, A3, 1,将点 A 绕 O 逆时针旋转90到 B 点,就 B点坐标为解析： 依题意知 OA OB 2, AOx 30 , BOx 120 ,设点 B 坐

14、标为 x,y ,所以 x 2cos 120 1, y 2sin 120 3,即 B 1, 3 答案： 1 , 312. 如下列图,在平面直角坐标系xOy 中,角 的终边与单位圆交于点A,点 A 的纵坐标为 4,就 cos .5解析： 由于 A 点纵坐标 yA 4,且 A 点在其次象限,又由于圆O 为单位圆,所以A 点5横坐标 xA 3,由三角函数的定义可得cos 3 .答案： 355513 一个扇形 OAB 的面积是 1 cm 2,它的周长是4 cm ,求圆心角的弧度数和弦长AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm ,就12lr 1,

15、解得 r 1,l圆心角 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l 2r 4,l 2.r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.如图,过 O 作 OH AB 于 H. 就 AOH 1 弧度 AH 1 sin 1 sin 1cm, AB 2sin1cm 三角函数1. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 ,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？l R1（ l R,S 扇1 R2）22R1 弧度OR2. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义sinMP , cosOM , tanATyTBSPOMAx如：如0,就 sin, cos , tan的大小次序是8可编辑资料 -

16、- - 欢迎下载精品_精品资料_又如：求函数 y12 cosx 的定义域和值域.2（ 12 cosx ）12 sin x02 sin x2 ,如图：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2k5x2kkZ , 0y1244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？sin x1 , cosx1yytgxxO22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称点为 k, 0 , kZ2ysin x 的增区间为2k, 2kkZ223减区间为 2k, 2kkZ22图象的对称点为 k, 0 ,对

17、称轴为 xkkZ2ycosx 的增区间为2k, 2kkZ减区间为 2k, 2k2kZ图象的对称点为k, 0 ,对称轴为 xkkZ2ytan x 的增区间为k, kkZ224. 正弦型函数 y = A s i n x +的图象和性质要熟记.或 yA c o s x2（ 1）振幅 |A|,周期 T|如 f x 0A ,就 xx 0 为对称轴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f x 00,就 x 0 , 0 为对称点,反之也对.（ 2）五点作图：令x依次为0, , 3 , 2,求出 x 与 y,依点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22（ x, y ）作图象.（ 3

18、）依据图象求解析式.（求A 、 、 值）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图列出x 1 0x 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解条件组求、 值正切型函数 yA tanx,T| |5. 在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如： cos x, x623,求 x 值.2（ x3, 7x5, x x13 ）266364125,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数

19、的有界性了吗？如：函数 ysin xsin|x|的值域是（x0 时, y2sin x2, 2 , x0 时, y0, y2, 2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 娴熟把握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换） 平移公式：（ 1）点 P（ x, y）a h , k P （ x , y ）,就xxh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平移至yyk（ 2）曲线 f x ,y0 沿向量 a h,k 平移后的方程为 f xh,y k 0如：函数y2 sin 2x1 的图象经过怎样的变换才能得到ysin x 的4图象？y2 sin 2x（ y2 sin 2x1横坐

20、标伸长到原先的2 倍11424左平移个单位上平移个单位2sin x14y2 sin x11y2 sin x4纵坐标缩短到原先的1 倍2ysin x ）8. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： 1sin 2cos2sec 2tan 2tan cotcos sectan4sincos0, 称为1 的代换.2“ k”化为的三角函数“奇变,偶不变,符号看象限”,2“奇”、“偶”指k 取奇、偶数.如： cos 9tan7sin 2146可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又如：函数 ysintan,就 y 的值为可编辑资料 - - -

21、 欢迎下载精品_精品资料_coscotA. 正值或负值B.负值C.非负值D.正值sinsinsin 2cos1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ ycoscoscos sincos2sin0 ,0）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9娴熟把握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗？ 懂得公式之间的联系：令sinsincoscossinsin 22 sin coscoscoscossinsin令cos2cos 2sin 2tantantan2 cos 21 12 sin21 tan tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan 22 tan1

22、tan 2cos 21cos2221cos2 sin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_asinb cosa2b2 sin, tanbasincos2 sin4sin3 cos2 sin3应用以上公式对三角函数式化简.（化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值.）详细方法：（ 1）角的变换：如, 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）名的变换：化弦或化切（ 3）次数的变换：升、降幂公式（ 4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算.如：已知 sincos1, tan2 ,求 tan2的值.1cos23sincoscos1可

23、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（由已知得：又 tan2sin 22 sin231, tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21 tan2tan1tantantan tan132211 ）83210.正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？余弦定理： a 2b2c22bccosAcosAb 2c2a22bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（应用：已知两边一夹角求第三边.已知三边求角.）a2R sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正弦定理：abc2Rb2R sin B可编辑资料 - - - 欢迎

24、下载精品_精品资料_sin A1Sa bsin C2sin Bsin Cc2R sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC, ABC sin ABsin C, sin ABcos C22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 ABC 中, 2 sin 2AB2（1）求角 C.cos2C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 ab22 c2,求 cos2A2cos2B 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）由已知式得：1cos AB2 cos 2 C 1 1又 ABC, 2 cos 2 C cosC1 01 cosC或 cosC1（舍）2又 0C, C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由正弦定理及a2b 21 c2 得：22 sin 2 A2 sin2 Bsin 2 Csin 23341 cos2A1 cos2B cos2Acos2B343 ）411.用反三角函数表示角时要留意角的范畴.反正弦： arcsin x, x1, 122反余弦： arccosx0, , x1, 1反正切： arctan x, xR22可编辑资料 - - - 欢迎下载