2022年全等三角形第讲全等三角形与旋转问题教师版.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第四讲全等三角形与旋转问题中考要求考试要求板块A 级要求B 级要求C级要求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_全等三角形的性质及判定会识别全等三角形把握全等三角形的概念、判定和性质,会用全等三角形的性质和判定解决简洁问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点睛基本学问把图形 G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度,得到图形G ,这样的由图形G 到 G 变换叫做旋转变换,点 O 叫做旋转中心,叫做旋转角,G 叫做 G 的象. G 叫做 G

2、的原象,无论是什么图形,在旋转变换下, 象与原象是全等形很明显,旋转变换具有以下基本性质：旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等.对应直线的交角等于旋转角旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规章的图形上,其功能仍是把分散的条件盯对集中,以便于诸条件的综合与推演重、难点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -重点： 本节的重点是全等三角形的

3、概念和性质以及判定,全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础,也是学好全章的关键.同时全等三角形的判定也是本章的重点,特殊是几种判定方法,特殊是当在直角三角形中时,HL 的判定是整个直角三角形的重点难点： 本节的难点是全等三角形性质和判定定理的敏捷应用.为了能娴熟的应用性质定理及其推论, 要把性质定理和推论的条件和结论弄清晰,哪几个是条件,打算哪个结论,如何用数学符号表示,即书写格式,都要在讲练中反复强化例题精讲【例 1】 如图,有四个图案,它们绕中心旋转肯定的角度后,都能和原先的图案相互重合,其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同,它是【解析】 A【例 2】 如图,同学们曾玩过万花筒,

4、它是由三块等宽等长的玻璃片围成的,其中菱形AEFG 可以看成是把菱形 ABCD 以 A 为中心 A 顺时针旋转60 得到B顺时针旋转120 得到C 逆时针旋转60 得到D逆时针旋转120 得到GFAEBDC【解析】 D【例 3】 已知：如图,点C 为线段 AB 上一点,ACM 、CBN 是等边三角形求证：ANBM 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

5、 - -NMFDEACB【解析】 ACM 、CBN 是等边三角形, MCAC , CNCB ,ACNMCBACN MCB , ANBM【点评】此题放在例题之前回忆,此题是旋转中的基本图形【例 4】 如图, C 是线段 BD 上一点,分别以BC、CD 为边在 BD 同侧作等边 ABC 和等边 CDE ,AD 交 CE于F, BE 交 AC 于 G,就图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有 A 1 对B 2 对C 3 对D 4 对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 CEAKGFBCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【补充】已知：如图,点C 为线段 AB 上一点

6、,ACM 、CBN 是等边三角形求证：CF 平分AFB NNMFMFHDDEGEACBACB【解析】 过点 C 作 CGAN 于 G , CHBM 于 H ,由ACN MCB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用 AAS 进而再证BCH NCD,可得到 CGCH , 故 CF 平分AFB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【补充】如图,点C 为线段 AB 上一点,ACM 、CBN 是等边三角形请你证明： ANBM . DE AB . CF 平分AFB NMFDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 此图是旋转中的基本图形其中包蕴了很多等量关系

7、ACB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -MCN60 与三角形各内角相等,及平行线所形成的内错角及同位角相等.全等三角形推导出来的对应角相等推到而得的：AFCBFC .ANBM , CDCE , ADME , NDBE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AM CN, CM BN.

8、 DE AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACN MCB,ADC MCE,NDC BEC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DEC 为等边三角形ACM 、CBN 是等边三角形, MCAC , CNCB ,ACNMCB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACN 由ACN MCB MCB, ANBM易推得NDC BEC,所以 CDCE ,又MCN60 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_进而可得DEC 为等边三角形易得DE AB 过点 C 作 CGAN 于 G , CHBM 于 H ,由ACN MCB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精

9、品_精品资料_利用 AAS 进而再证BCH NCD,可得AFCBFC ,故 CF 平分AFB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 5】 如图, B , C , E 三点共线,且ABC 与DCE 是等边三角形,连结BD , AE 分别交 AC , DC 于M , N 点求证：CMCN ADMNBEC【解析】 ABC 与DCE 都是等边三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BCAC , CDCE 及 B , C , E 三点共线ACBDCE60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCDDCEBCDACE180,120BCAACE180可编辑资料 -

10、- - 欢迎下载精品_精品资料_在BCD 与ACE 中BCACBCDACE DCECCANCBMBCD ACE ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCDACE120,BCMNCE60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACD60在BCM 与ACN 中BCAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCMACN60 CBMCANBCM ACN, CMCN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 6】 怀化市中学毕业学业考试试卷 如图,四边形ABCD 、 DEFG 都是正方形,连接AE 、 CG 求证：AECG 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

11、_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -GFABDEC【解析】 ADCEDGCDGADE在CDG 和ADE 中CDAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CDGADE DGDECDG ADE AECG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【补充】 2022 年全国中学数学竞赛海南区初赛 如下图,在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC 和可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品_精品资料_CDE ACE120 ,点 P 与点 M 分别是线段BE 和 AD 的中点,就CPM 是BCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PMAEA 钝角三角形B直角三角形C 等边三角形D 非等腰三角形【解析】 易得ACD BCE 所以BCE 可以看成是ACD 围着点 C 顺时针旋转60 而得到的又M 为线段 AD 中点, P 为线段 BE 中点,故 CP 就是 CM 围着点 C 顺时针旋转60而得所以CPCM 且,PCM60,故CPM 是等边三角形,选C【例 7】 如图,等边三角形ABC 与等边DEC 共顶点于 C 点求证：AEBD AEDBC可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 ABC 是等边三角形,ACB60, ACBC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCDDCA60,同理ACEDCA60, DCEC BCDACE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在BCD 与ACE 中 ,BCAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCDACE DCECBCD ACE , BDAE 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编

14、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【例 8】 如图,点 C 为线段 AB 上一点,ACM 、CBN 是等边三角形,D 是 AN 中点, E 是 BM 中点,求证：CDE 是等边三角形NMDEACB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 ACN MCB, ANBM ,ABMANC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 D 、 E 分别是 AN 、 BM 的中点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCE NCD, CECD ,BCENCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精

15、品_精品资料_DCENCDNCEBCENCENCB60CDE 是等边三角形【例 9】 如图, D 是等边ABC 内的一点,且BDAD , BPAB ,DBPDBC ,问BPD 的度数是否肯定,如肯定,求它的度数.如不肯定,说明理由AAPPDDBCBC【解析】 连 接 CD, 将 条 件 B DA D, BPAB 这 两 个 条 件 , 易 得A C DB C D SSS , 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCDACD1ACB 230, 由 B PA BB C,DBPDBC , BDBD 公 共 边 , 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B D PB D C

16、SAS ,BPDBCD30 故BPD 的度数是定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 10】四川省中考题 如图, 等腰直角三角形ABC 中, B证： BEBF 为定值90, ABa ,O 为 AC 中点, EOOF 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EOEO1423可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BFCBFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 连结 OB 由上可知,1290,2390,13 ,而 4C45, OBOC 可编辑

17、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OBE OCF, BEFC , BEBFCFBFBCa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【补充】如图,正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点 O 旋转,其交点为E 、 F ,求证：AECFAB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -ADGE134O5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

18、精品资料_【解析】 正方形 ABCD 中,1245, OAOBHB2C FK可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而3490,4590可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 35 ,AOE BOF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AEBF , AEFCBFFCBCAB【例 11】 2022河北 如图,已知点E 是正方形ABCD的边CD 上一点,点F是 CB的延长线上一点,且EAAF 求证： DEBF ADEFBC【解析】 证明：由于四边形ABCD 是正方形,所以ABAD ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BADADEABF90 由于 EAAF

19、 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以BAFBAEBAEDAE90 ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BAFDAE , 故 Rt ABF RtADE ,故 DEBF 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【补充】如下列图,在四边形ABCD 中,的面积是16,求 DP 的长ADCABC90 , ADCD , DPAB 于 P ,如四边形ABCDDDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CCAPBAPB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 如图,过点 D 作 DEDP ,延长 BC 交 DE 于点 E ,简洁证得ADP

20、 逆时针旋转90 ,得到正方形DPBE CDE 实际上就是把ADP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 正方形 DPBE 的面积等于四边形ABCD 面积为 16 , DP4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 12】 1997 年安徽省中学数学竞赛题 在等腰 RtABC 的斜边 AB 上取两点 M 、 N ,使AMm , MNx , BNn ,就以 x 、 m 、 n 为边长的三角形的外形是A 锐角三角形C 钝角三角形B直角三角形D随 x 、 m 、 n 的变化而变化学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -MCN45,记第 7 页,共 18 页

21、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -CCDAMNBAMNB【解析】 如图,将CBN 绕点 C 顺时针旋转90 ,得CAD ,连结 MD ,就 ADBNn , CDCN , ACD BCN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ MCD ACM ACDACMBCN904545MCN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222MDC MNC, MDMNx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又易得DAM454590,在 RtAMD 中,有 m

22、nx ,故应选 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巩固】如图,正方形ABCD 的边长为 1,点 F 在线段 CD 上运动,AE 平分BAF 交 BC 边于点 E 求证：AFDFBE 设 DFx 0 x 1 ,ADF 与ABE 的面积和 S 是否存在最大值？如存在,求出此时x 的值及S 如不存在,请说明理由A DADFFB ECGBEC【解析】 证明：如图,延长CB 至点 G ,使得 BGDF ,连结 AG 由于 ABCD 是正方形,所以在RtADF 和 RtABG 中, ADAB ,ADFABG90, DFBG 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ RtADF R

23、tABGSAS ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AFAG ,DAFBAG 又 AE 是BAF 的平分线EAFBAE ,DAFEAFBAGBAE 即EADGAE AD BC ,GEAEAD ,GEAGAE , AGGE 即 AGBGBE AFBGBE ,得证SS ADFS ABE1 DFAD1 BEAB 22 ADAB1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S12DFBE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 知, AFDFBE ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 S1 AF 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在

24、 Rt ADF 中, AD1, DFx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 AFx1 , S1x21 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由上式可知,当x 达到最大值时,S 最大而 0 x 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,当x1 时,S 最大值为1

25、x2112 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22【例 13】 E 、 F 分别是正方形ABCD 的边 BC 、 CD 上的点,且AHAB EAF45 , AHEF , H 为垂足,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A DADFFHHB ECGBEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 延长 CB 至 G ,使 BGDF ,连结 AG ,易证 ABG ADF, BAG DAF, AGAF 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再证 AEG AEF,全等三角形的对应高相等 利用三角形全等可证得 ,就有 AHAB 可编辑资料 - -

26、- 欢迎下载精品_精品资料_【例 14】 通州区 2022 一模第 25 题 请阅读以下材料：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知：如图1 在 Rt ABC 中 ,BAC90, ABAC ,点 D 、 E 分别为线段BC 上两动点,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DAE45探究线段BD 、 DE 、 EC 三条线段之间的数量关系小明的思路是：把AEC 绕点 A 顺时针旋转90 ,得到ABE ,连结 E D ,使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决以下问题： 猜想 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想赐予证明. 当动点 E 在

27、线段 BC 上,动点D 运动在线段CB 延长线上时,如图2,其它条件不变,中探究的结论是否发生转变？请说明你的猜想并赐予证明AACBDECDBE图1图2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 DE 2BD 2EC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：依据AEC 绕点 A 顺时针旋转90 得到ABEAEC ABE BEEC , AEAE ,CABE ,EACE AB在 RtABC 中 ABACABCACB45ABCABE90即E BD90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ E B2BD 2E D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

28、_又DAE45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -BADEAC45E ABBAD45即E AD45AED AED DEDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ DE 2BD 2EC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AAEFBDECDBEC222 关系式 DEBDEC仍旧成立证明：将ADB 沿直线 AD 对折,得A

29、FD ,连 FEAFD ABD AFAB , FDDBFADBAD ,AFDABD又 ABAC , AFACFAEFADDAEFAD45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EACBACBAE90FAEEAC又 AEAEDAEDAB45DAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AFE ACE FEEC ,AFEACE45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AFDABD180ABC135可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DFEAFDAFE135459022 在 Rt DFE 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DF 2FE 2DE 2

30、 即 DE 2BDEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【补充】 1 如图,在四边形ABCD 中, ABAD ,BD 90, E、F 分别是边BC、CD 上的点,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EAF= 12 BAD求证： EF BEFD ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADFBEC 2如图 , 在四边形ABCD 中, ABAD ,B+ D 180 , E、F 分别是边BC、CD 上的点,且EAF=1 BAD , 1 中的结论是否仍旧成立？不用证明 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - -

31、 - - -第 10 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -ABDEFC【解析】 证明：延长EB 到 G,使 BG=DF ,联结 AG ABGABC= D 90 , ABAD ,ABG ADF AGAF,12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1323EAF1BAD 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ GAE= EAF 又 AEAE,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AEG EGEFAEF 可编辑资料 - - -

32、 欢迎下载精品_精品资料_EG=BE+BG EF= BE FD2 1 中的结论 EFBEFD 仍旧成立 【例 15】 北京市数学竞赛试题,天津市数学竞赛试题如下列图,ABC 是边长为 1的正三角形,BDC 是顶角为 120 的等腰三角形,以D 为顶点作一个60的MDN ,点 M 、 N 分别在 AB 、 AC 上,求AMN 的周长AANNMMBCBCEDD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 如下列图,延长AC 到 E 使 CEBM 在BDM 与CDE 中,由于BDCD ,MBDECD90 , BMCE ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以BDM CDE,故 MDED 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于BDC120 ,MDN60 ,所以BDMNDC60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于BDMCDE ,所以MDNEDN