2022年高考数学新增分大一轮新高考第十二章--几何概型 .docx

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1、精品_精品资料_几何概型最新考纲1.明白随机数的意义,能运用模拟方法包括运算器产生随机数来进行模拟估量概率 .2.初步体会几何概型的意义.3.通过阅读材料,明白人类熟悉随机现象的过程1. 几何概型假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度面积或体积 成比例,就称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型2. 在几何概型中,大事A 的概率的运算公式构成大事 A的区域长度面积或体积PA 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.3. 要切实懂得并把握几何概型试验的两个基本特点1无限性：在一次试验中,可能显现的结果有无限多个. 2等可能性：每个结果的发生具有等可能性4. 随机模拟方法(1) 使

2、用电脑或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机大事的概率的近似值的方法就是模拟方法(2) 用运算器或电脑模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用运算器或电脑产生某个范畴内的随机数,并给予每个随机数肯定的意义.统计代表某意义的随机数的N个数 M 和总的随机数个数N.运算频率 fnA M作为所求概率的近似值 概念方法微摸索可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 古典概型与几何概型有什么区分？提示古典概型与几何概型中基本大事发生的可能性都是相等的,但古典概型要求基本大事有有限个,几何概型要求基本大事有无限多个2. 几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概

3、率值吗？提示几何概型中线段的端点,图形的边框是否包含在内不会影响概率值题组一摸索辨析1. 判定以下结论是否正确请在括号中打“”或“” 1在一个正方形区域内任取一点的概率是零 (2) 几何概型中,每一个基本大事就是从某个特定的几何区域内随机的取一点,该区域中的每一点被取到的时机相等(3) 在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 4随机模拟方法是以大事发生的频率估量概率(5) 与面积有关的几何概型的概率与几何图形的外形有关9.(6) 从区间 1,10 内任取一个数,取到1 的概率是 P 1题组二教材改编2. 在线段 0,3 上任投一点,就此点坐标小于1 的概率为 111A. 2B.

4、3C.4D 1答案B.解析坐标小于 1 的区间为 0,1 ,长度为 1 , 0,3 的区间长度为3,故所求概率为 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 有四个嬉戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,假设小球落在阴影部分,就可中奖,小明要想增加中奖时机,应挑选的嬉戏盘是答案A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,解析 PA38PB2,PC82,PD 1,63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PAPC PD PB4. 如下图的正方形及其内部表示的平面区域为D ,在区域 D 内随机取一个点,就此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 可编辑资料

5、- - - 欢迎下载精品_精品资料_4A. B.2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.D.64 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案D,解析如题干图所示,区域D 的面积为 4,而阴影部分 不包括 AC 表示的是区域 D44应选 D.题组三易错自纠65. 在区间 2,4 上随机的取一个数x,假设 x 满意 |x| m 的概率为 5,就 m.答案3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由|x| m,得 m x m.2m5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0m 2 时,由题意得6 6

6、,解得 m2.5,冲突,舍去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 2m4 时,由题意得 m 2 65,解得6mm 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB 的长, 就该矩形面积小于32 cm2 的概率为答案23解析设 ACx cm0 x12,就 CB 12 xcm,就矩形的面积S x12 x 12xx2cm2由 12x x20 ,解得 0x4 或 8x12.在数轴上表示,如下图由几何概型概率运算公式,得所求概率为8 2.123

7、题型一与长度、角度有关的几何概型例 1 在等腰 Rt ABC 中,直角顶点为 C.(1) 在斜边 AB 上任取一点 M ,求|AM |AC|的概率.(2) 在 ACB 的内部,以 C 为端点任作一条射线 CM ,与线段 AB 交于点 M,求|AM |AC|的概率 解1 如下图,在 AB 上取一点 C ,使 |AC | |AC|,连接 CC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意,知 |AB| 2|AC |.由于点 M 是在斜边 AB 上任取的,所以点 M 等可能分布在线段AB 上,因此基本大事的区域应是线段 AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|AB| 所以

8、 P|AM |AC| |AC |AC|22.2|AC|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由于在 ACB 内以 C 为端点任作射线 CM ,所以 CM 等可能分布在 ACB 内的任一位置 如 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下图 ,因此基本大事的区域应是 ACB,所以 P|AM |AC|ACC ACB 2 3.42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度 角度 有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度角度 , 然后求解 要特殊留意 “ 长度型 ” 与“ 角度型 ” 的不同,

9、解题的关键是构建大事的区域长度或角度 跟踪训练 11某公司的班车在 7：00, 8： 00,8： 30 发车,小明在 7： 50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的, 就他等车时间不超过10 分钟的概率是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 13B.12C.23D. 34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案B解析如下图,画出时间轴小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或 DB 上时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_才能保证他等车的时间不超过10 分钟,依据几何概型的概率运算公式

10、,得所求概率 P 10 101B.40 2,应选2如图,四边形ABCD 为矩形, AB 3,BC 1,以 A 为圆心, 1 为半径作四分之一个圆弧DE ,在 DAB 内任作射线 AP,就射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 答案13解析由于在 DAB 内任作射线 AP,所以它的全部等可能大事所在的区域是DAB ,当射线 AP 与线段 BC 有公共点时,射线AP 落在 CAB 内,就区域为 CAB,所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 CAB 30 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ DAB . 90 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二与面积

11、有关的几何概型命题点 1与面积有关的几何概型的运算例 2 2022 全国 如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点,就此点取自黑色部分的概率是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 14B. 8C.12D. 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案B解析不妨设正方形 ABCD 的边长为 2,就正方形内切圆的半径为1,可得 S 正方形 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,得S 黑 S 白 12S 圆,所以由

12、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S黑2 几何概型知,所求概率P .S正方形48命题点 2随机模拟例 3 1如下图,矩形长为6,宽为 4,在矩形内随机的撒300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆为 96 颗,以此试验数据为依据估量椭圆的面积为A 7.68 C16.32答案C300解析由随机模拟的思想方法, 可得黄豆落在椭圆内的概率为300 96 0.68.由几何概型的概可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率运算公式,可得S椭圆S矩形 0.68,而 S 矩形 6 4 24,就 S 椭圆 24 16.32.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设采纳随机模拟的

13、方法估量某运发动射击击中目标的概率先由运算器给出0 到 9 之间取整数的随机数,指定0,1,2,3 表示没有击中目标, 4,5,6,7,8,9 表示击中目标,以4 个随机数为一组,代表射击4 次的结果,经随机模拟产生了20 组如下的随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281依据以上数据估量该运发动射击4 次至少击中 3 次的概率为 答案解析依据数据得该运发动射击4 次至少击中 3 次的数据分别为7527985786366947可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

14、料_4698804595977424,共 8 个,所以该运发动射击4 次至少击中 3 次的概率为 8 0.4.20思维升华 求解与面积有关的几何概型的留意点求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某大事对应的面积,必要时可依据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解跟踪训练 2 2022 全国 从区间 0,1 内随机抽取 2n 个数 x1, x2, xn, y1, y2, yn,构成 n 个数对 x1, y1, x2, y2, xn, yn ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,就用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 4nA. m2nB. mC

15、.4mnD.2mn答案C解析由题意得xi, yi i 1,2, , n在如下图方格中,而平方和小于1的点均在如下图的4m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_阴影中,由几何概型概率运算公式知1 n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4m,应选 C.n题型三与体积有关的几何概型例 4 如图,正方体ABCD A1B1C1D 1 的棱长为 1,在正方体内随机取点M ,就使四棱锥1M ABCD 的体积小于 6的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1答案2解析过点 M 作平面 RS 平面 AC,就两平面间的距离是四棱锥MABCD 的高, 明显点 M在平面 RS

16、 上任意位置时, 四棱锥 M ABCD 的体积都相等 假设此时四棱锥 M ABCD 的体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1积等于 6,只要 M 在截面以下即可小于16,当 VM ABCD 1时,即611 1 1 h311,解得 h ,62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即点 M 究竟面 ABCD 的距离,所以所求概率P1 1 21211 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思维升华 求解与体积有关的几何概型的留意点对于与体积有关的几何概型问题,关键是运算问题的总体积总空间 以及大事的体积 大事空间,对于某些较复杂的也可利用其对立大事去求跟踪训练

17、 3 在一个球内有一棱长为1 的内接正方体, 一动点在球内运动,就此点落在正方体内部的概率为 6A. 33B.2 C.D.233答案解析D由题意可知这是一个几何概型,棱长为1的正方体的体积V1 1,球的直径是正方体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的体对角线长,故球的半径R 3V243 3 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ,球的体积 322 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V1233V就此点落在正方体内部的概率P .221. 在区间 0 , 上随机的取一个数x,就大事“ sin x 1”发生的概率为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

18、品资料_3211A. 4B. 3C.2D. 3答案D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,解析在0 , 上,当 x 0656 , 时, sin x1,故概率为231 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22. 在区间 1,3 上随机取一个数 x,假设 x 满意 |x| m 的概率为 1,就实数 m 为A 0B 1C 2D 3答案B解析区间 1,3 的区间长度为4.不等式 |x| m 的解集为 m, m,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 1m 3 时,由题意得 m 11m 1舍,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 2,解得可编辑资料

19、- - - 欢迎下载精品_精品资料_,就当 0m 1 时,由 2m41mm 1. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 2022 益阳市、湘潭市调考 假设正方形 ABCD 的边长为 4, E 为四边上任意一点,就AE的长度大于 5 的概率等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 1 32B.78C.38D.18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案D解析设 M,N 分别为 BC,CD 靠近点 C 的四等分点,就当 E 在线段 CM ,CN 不包括 M,N上时, AE 的长度大于 5,由于正方形的周长为16, CM CN 2,所以 AE 的长度大

20、于 5 的概率为 21D.16 8,应选4 2022 广东七校联考 在如下图的圆形图案中有12 片树叶,构成树叶的圆弧均相同且所对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的圆心角为,假设在圆内随机取一点,就此点取自树叶3 即图中阴影部分 的概率是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2 33B 4 63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_132C 3 2D. 3答案B解析设圆的半径为r ,依据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24 1r2 32 4r2

21、 63r2,圆的面积 S r2,所以此点取自树叶即图中阴影部分 的概可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_64 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S率为 S 463 ,应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PB52022 石家庄模拟 已知 P 是 ABC 所在平面内一点, PC2PA 0,现将一粒黄豆随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_机撒在 ABC 内,就黄豆落在PBC 内的概率是 1121A. 4B. 3C.3D. 2答案D解析以 PB, PC 为邻边作平行四边形PBDC , 就PB

22、 PC PD ,由于 PB PC 2PA 0,PB PC 2PA,得 PD 2PA,所以 由此可得, P 是 ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点, 点 P 到 BC 的距离等于点 A 到 BC 的距离1的2,1所以 S PBC 2SABC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S PBC所以将一粒黄豆随机撒在 ABC 内,黄豆落在 PBC 内的概率为S ABC1,应选 D.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_62022 惠州模拟 我国古代数学家赵爽在 周髀算经 一书中给出了勾股定理的巧妙证明如下图是赵爽的弦图弦图是

23、一个勾股形 即直角三角形之弦为边的正方形,其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱红色及黄色,其面积称为朱 实、黄实,利用 2勾股 股勾 2 4朱实黄实弦实弦2,化简得：勾 2股 2 弦 2.设勾股形中勾股比为13,假设向弦图内随机抛掷1 000 颗图钉 大小忽视不计 ,就落在黄色图形内的图钉数大约为A 866B 500C 300D 134答案D解析设勾为 a,就股为3a,所以弦为 2a,小正方形的边长为3a a,所以题图中大正方3 1 2形的面积为 4a2,小正方形的面积为3 12a2,所以小正方形与大正方形的面积比为 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

24、_ 132 ,所以落在黄色图形小正方形 内的图钉数大约为132 1 000 134.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_72022 山东 在 1,1 上随机的取一个数k,就大事“直线 y kx 与圆 x 52 y2 9 相交” 发生的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案34解析由已知得, 圆心 5,0 到直线 y kx 的距离小于半径, |5k|33,解得3,由几可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34何概型得 P 34 3.k2 14k4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 148. 在等腰直角三角形ABC 中, C 90,在直角边

25、BC 上任取一点 M,就 CAM n.如图,由题意知,在矩形ABCD 内任取一点 Qm,n,点 Q 落在阴影部分 不包括 m n 这条直线 的概率即为所求的概率,易知直线mn 恰好将矩形平分,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 所求的概率为 2.11已知向量 a 2,1 ,b x, y(1) 假设 x, y 分别表示将一枚质的匀称的正方体骰子 六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6先后抛掷两次时第一次、其次次显现的点数,求满意ab 1 的概率.(2) 假设 x, y 在连续区间 1,6 上取值,求满意ab0 的概率解1 将一枚质的匀称的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本大事

26、总数为6 6 36, 由 ab 1,得 2x y 1,所以满意 ab 1 的基本大事为 1,1 , 2,3, 3,5,共 3 个故满意 ab 1 的概率为 3 1 .36122假设 x, y 在连续区间 1,6 上取值,就全部基本大事的结果为 x, y|1 x6,1 y 6 满意 ab0 的基本大事的结果为A x, y|1 x 6,1 y 6 且 2x y0 画出图象如下图,矩形的面积为S 矩形 25,1阴影部分的面积为S 阴影 25 2 2 421,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故满意 ab0 的概率为 21.2512甲、乙两船驶向一个不能同时停靠两艘船的码头,它们在一昼夜

27、内到达该码头的时刻是等可能的假如甲船停靠时间为1 h,乙船停靠时间为2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与 y,记大事 A 为“ 两船都不需要等待码头空出” ,就 0 x 24,0 y 24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上,即 y x1 或 x yA x,y|y x 1 或 x y 2,x 0,24 , y 0,24 A 为图中阴影部分,全部结果构成的集合 为边长是 24 的正方形及其内部 所求概率为 PA A的面积的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24 112

28、 24 222422 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. ,576 1 0131 152可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 在长为 1 的线段上任取两点,就这两点之间的距离小于1的概率为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4答案3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析设任取两点所表示的数分别为x, y,就 0 x 1,且 0 y 11A x, y|x y|2, 0x 1, 0y 1,如图中阴影部分所示,如下图1为大事2A,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

29、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空白部分所占的面积为21112221,所以所求两点之间的距离小于413114的概率 PA . 214可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 向圆 C：x 22 y 32 4 内随机投掷一点, 就该点落在 x 轴下方的概率为答案1 364解析如下图,连接 CA, CB,依题意,圆心 C 到 x 轴的距离为3,所以弦 AB 的长为 2.又圆的半径为 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ACB 60,所以 S 圆 C 22 4,所以 S 弓形 ADB 60 221 2 32 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

30、料_360 2323 31346所以向圆 C 内随机投掷一点,就该点落在x 轴下方的概率 P4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. 在区间 0,1 上随机取两个数 x,y,记 p1 为大事“ xy11”的概率, p2 为大事“ |x y| ”33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的概率, p3 为大事“ xy1”的概率,就 3A p1p2p3B p2p3p1Cp3p1p2D p3 p2p1答案B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由于 x, y 0,1 ,所以大事 “ x y11” 表示的平面区

31、域如图31阴影部分 含边界 S1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大事 “|x y| 3” 表示的平面区域如图 2 阴影部分 含边界 S2 ,大事 “ xy 3” 表示的平面区域如图3阴影部分 含边界S3,由图知, 阴影部分的面积满意 S2S3S1,正方形的面积为 1 11,依据几何概型概率运算公式可得p2p3p1.16. 如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以 OA, OB 为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点,求此点取自空白部分的概率解设分别以 OA, OB 为直径的两个半圆交于点C, OA 的中点为 D ,如图,连接OC, DC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不妨令 OA OB 2, 就 OD DA DC 1. 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在以 OA 为直径的半圆中,空白部分面积S1 1 1 424 2 1 1 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以整个图形中空白部分面积S2 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1又由于 S 扇形 OAB 4 22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2所以 P .可编辑资料 - - - 欢迎下载